课时分层作业(十一) 两角和与差的余弦
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．cos(x＋27°)cos(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于( )
A．0 B． C． D．
C [原式＝cos(x＋27°＋18°－x)＝cos
45°＝.]
2．若x∈[0，π]，sin
sin
＝cos
cos
，则x的值是( )
A．
B．
C．
D．
D [∵cos
cos
－sin
sin
＝0，
∴cos＝0，∴cos
x＝0.
∵x∈[0，π]，∴x＝.]
3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
C [易知sin
α＝，cos
β＝，又∵α，β为锐角，
∴cos
α＝，sin
β＝，∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.]
4．已知向量a＝(cos
75°，sin
75°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则|a－b|＝( )
A．
B．
C．
D．1
D [|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cos
75°
cos
15°＋sin
75°
sin
15°＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝.
∴|a－b|＝＝＝1.]
5．已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
B [由题意，知sin
α＋sin
β＝－sin
γ，
①
cos
α＋cos
β＝－cos
γ.
②
①2＋②2，得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.]
二、填空题
6．已知cos
α＝，α∈，则cos＝________.
[因为cos
α＝，α∈，
所以sin
α＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))))＝，
所以cos＝cos
αcos
＋sin
αsin
＝×＋×＝.]
7．在△ABC中，若sin
Asin
B＜cos
Acos
B，则△ABC一定为________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
钝角 [由sin
Asin
B＜cos
Acos
B得
cos(A＋B)＞0，
∴cos
C＜0.
∴C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．]
8．已知a＝(cos
α，sin
β)，b＝(cos
β，sin
α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________.
[a·b＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝cos(α－β)＝，
又0<β<α<，
所以0<α－β<，故α－β＝.]
三、解答题
9．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，
cos＝＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
10．已知函数f
(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f
＝－，f
＝，求cos(α＋β)的值．
[解] (1)∵f
(x)＝2cos(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝，∴ω＝.
(2)由(1)知f
(x)＝2cos，
而α，β∈，f
＝－，f
＝，
∴2cos＝－，
2cos＝，
即cos＝－，cos
β＝，
于是sin
α＝，cos
α＝，sin
β＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
1．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos
A，sin
A)，b＝(cos
B，sin
B)且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
B [因为a·b＝cos
Acos
B＋sin
Asin
B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．]
2．(多选题)若cos
5xcos(－2x)－sin(－5x)sin
2x＝0，则x的值可能是( )
A． B． C．
D．－
BCD [因为cos
5xcos(－2x)－sin(－5x)sin
2x＝cos
5xcos
2x＋sin
5xsin
2x＝cos(5x－2x)＝cos
3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
所以当k＝0时，x＝.当k＝1时，x＝.当k＝－1时，
x＝－，故选BCD．]
3．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.
[由已知sin
α＝，cos
α＝，
cos(30°－α)＝cos
30°
cos
α＋sin
30°sin
α＝×＋×＝.]
4．已知sin＝，则cos
α＋sin
α＝________.
[sin＝cos＝cos
＝coscos
α＋sinsin
α
＝cos
α＋sin
α
＝(cos
α＋sin
α)＝，
∴cos
α＋sin
α＝.]
5．已知sin
α＋sin
β＝，求cos
α＋cos
β的取值范围．
[解] 由sin
α＋sin
β＝，
平方可得
sin2α＋2sin
αsin
β＋sin2β＝，
①
设cos
α＋cos
β＝m，平方可得
cos2α＋2cos
αcos
β＋cos2β＝m2，
②
①＋②得2＋2cos
αcos
β＋2sin
αsin
β＝＋m2，
即m2＝＋2cos(α－β)．
∵cos(α－β)∈[－1，1]，
∴m2∈，
∴0≤m2≤，∴－≤m≤，
故cos
α＋cos
β的取值范围为.
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