课时分层作业(十二) 两角和与差的正弦
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．sin
255°＝( )
A．
B．－
C．
D．－
B [sin
255°＝－sin
75°＝－sin(45°＋30°)＝－.]
2．sin
45°cos
15°＋cos
45°sin
15°的值为( )
A．－ B． C．－ D．
B [sin
45°cos
15°＋cos
45°sin
15°＝sin(45°＋15°)＝sin
60°＝，故选B．]
3．在△ABC中，2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．不确定
B [在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cos
Bsin
A＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B．
∴－sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝0.
即sin(B－A)＝0.∴A＝B．]
4.＝( )
A．－1
B．1
C．－
D．
A [
＝
＝＝＝－1.]
5．函数f
(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)的最大值为( )
A．
B．1
C．
D．2
B [∵f
(x)＝sin(x＋2φ)－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ＋cos(x＋φ)sin
φ－2sin
φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos
φ－cos(x＋φ)sin
φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin
x，
∴f
(x)的最大值为1.]
二、填空题
6．要使sin
α－cos
α＝有意义，则实数m的取值范围是________．
[∵sin
α－cos
α＝2sin，
∴2sin＝，
∴sin＝，
∴≤1，解得－1≤m≤.]
7．(一题两空)当－≤x≤时，函数f
(x)＝sin
x＋cos
x的最大值为________，最小值为________．
2 －1 [f
(x)＝sin
x＋cos
x＝2
＝2
＝2sin.
∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π，
∴－≤sin≤1，
即－1≤f
(x)≤2.]
8．已知关于x的方程sin
x＋cos
x＋k＝0在x∈[0，π]上有解，则实数k的取值范围为________．
[－，1] [∵sin
x＋cos
x＋k＝0，
∴sin
x＋cos
x＝－k，
即sin＝－k.
又∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤π，
∴－1≤sin≤.
∴－1≤－k≤，即－≤k≤1.]
三、解答题
9．已知cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且＜β＜α＜π，求sin
2α.
[解] ∵＜β＜π，
∴－π＜－β＜－.
∵＜α＜π，
∴－＜α－β＜.
又∵β＜α，∴0＜α－β＜，
则sin＝.
∵sin(α＋β)＝－，π＜α＋β＜π，
∴cos(α＋β)＝－.
∴sin
2α＝sin
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
10．若函数f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x，0≤x＜.
(1)把f
(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；
(2)判断f
(x)在上的单调性，并求f
(x)的最大值．
[解] (1)f
(x)＝(1＋tan
x)cos
x
＝cos
x＋··cos
x
＝cos
x＋sin
x
＝2
＝2
＝2sin.
(2)∵0≤x＜，∴≤x＋＜，
由x＋≤，得x≤.
∴f
(x)在上是单调增函数，
在上是单调减函数．
∴当x＝时，f
(x)有最大值为2.
1．cos－sin＝( )
A．0 B．－ C． D．2
C [原式＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝.]
2．已知函数f
＝asin
2x－cos
2x的图象关于直线x＝－对称，若f
·f
＝－4，则a的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
B [∵f
(x)的图象关于直线x＝－对称，
∴f
(0)＝f
，即－＝－a－，a＝1，
则f
(x)＝sin
2x－cos
2x＝2sin，
∵f
(x1)f
(x2)＝－4，∴f
(x1)＝2，f
(x2)＝－2或f
(x1)＝－2，f
(x2)＝2，
即f
(x1)，f
(x2)一个为最大值，一个为最小值，则|x1－x2|的最小值为，
∵T＝π，∴|x1－x2|的最小值为，即a的最小值为.故选B．]
3．已知cos＋sin
α＝，则sin的值是________．
－ [∵cos
α·＋sin
α·＋sin
α＝，
∴sin
α＋cos
α＝，
∴＝，
∴sin＝，∴sin＝sin
＝－sin＝－.]
4．sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
1 [原式＝sin
50°
＝sin
50°·
＝2sin
50°·＝
＝
＝＝＝1.]
5．已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)sin(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)＋cos
αsin(α－β)
＝×＋×＝.
(2)sin
β＝sin[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝，
又因为β∈，所以β＝.
6/6
