课时分层作业(十三) 两角和与差的正切
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．tan
255°＝( )
A．－2－
B．－2＋
C．2－
D．2＋
D [tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.]
2．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
αtan
β＝( )
A．2 B． C．1 D．
D [tan(α＋β)＝＝＝4，
∴1－tan
αtan
β＝，tan
αtan
β＝.]
3．已知A，B都是锐角，且tan
A＝，sin
B＝，则A＋B＝( )
A．
B．
C．
D．
A [∵B∈，sin
B＝，∴cos
B＝.
∴tan
B＝.
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又A，B∈，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝.]
4．已知tan
α，tan
β是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝( )
A．
B．
C．－
D．±
D [由已知tan
α＝－3＋，tan
β＝－3－或tan
α＝－3－，tan
β＝－3＋，
∴tan(α－β)＝＝±.]
5．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，tan2B＝tan
Atan
C，则角B＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
C [因为A＋B＋C＝180°，
所以tan(A＋C)＝－tan
B，
又tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，
所以tan
A＋tan
C＝3－tan
B，
又tan2B＝tan
Atan
C，
所以由tan(A＋C)＝得－tan
B＝，
所以－tan
B(1－tan2B)＝3－tan
B，
所以tan3B＝3，所以tan
B＝.
又0°二、填空题
6.＝________.
[原式＝＝
＝tan(55°－25°)＝tan
30°＝.]
7．在△ABC中，若0Btan
C<1，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
钝角 [易知tan
B>0，tan
C>0，B，C为锐角．
<1，∴cos
Bcos
C>sin
Bsin
C．
∴cos
Bcos
C－sin
Bsin
C>0，∴cos(B＋C)>0，即cos
A＜0，故A为钝角．]
8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sin
α＝________.
－ [∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tan
α＝，
再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，∴P(2，－1)
则sin
α＝＝＝－.]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°；
(2)tan
70°－tan
10°－tan
70°tan
10°.
[解] (1)因为tan(17°＋28°)＝，
所以tan
17°＋tan
28°＝tan
45°(1－tan
17°tan
28°)
＝1－tan
17°tan
28°，
所以tan
17°＋tan
28°＋tan
17°tan
28°＝1.
(2)因为tan
60°＝tan(70°－10°)
＝，
所以tan
70°－tan
10°＝＋tan
70°tan
10°，
所以tan
70°－tan
10°－tan
70°tan
10°＝.
10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tan
Atan
C＝2＋，求角A，B，C的大小．
[解] 由题意知：
解之得：B＝60°且A＋C＝120°，
∴tan(A＋C)＝tan
120°＝－＝，
又∵tan
Atan
C＝2＋，
∴tan
A＋tan
C＝tan(A＋C)·(1－tan
Atan
C)
＝tan
120°(1－2－)
＝－(－1－)＝3＋.
∴tan
A，tan
C可作为一元二次方程
x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，
又∵0＜A＜B＜C＜π，
∴tan
A＝1，tan
C＝2＋.
即A＝45°，C＝75°.
所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.
1．设向量a＝(cos
α，－1)，b＝(2，sin
α)，若a⊥b，则tan等于( )
A．－ B． C．－3 D．3
B [a·b＝2cos
α－sin
α＝0，得tan
α＝2.
tan＝＝.]
2．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tan
A＋tan
B＝，下列各式正确的是( )
A．A＋B＝2C
B．tan(A＋B)＝－
C．tan
A＝tan
B
D．cos
B＝sin
A
CD [在△ABC中，C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以tan(A＋B)＝＝＝，解得tan
Atan
B＝.
由于tan
A＋tan
B＝，tan
Atan
B＝.
所以tan
A和tan
B为方程x2－x＋＝0的两个根，
所以tan
A＝tan
B＝.
所以cos
B＝sin
A．故A、B错误，C、D正确．故选CD．]
3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)
钝角 [由已知得
∴tan(A＋B)＝＝＝，
在△ABC中，tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]
4．已知α，β均为锐角，且tan
β＝，则tan(α＋β)＝________.
1 [∵tan
β＝，
∴tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β，
∴tan(α＋β)＝＝1.]
5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan
·tan
β＝2－
同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由①得＋β＝，∴tan＝＝.
将②代入上式得tan
＋tan
β＝3－.
因此，tan
与tan
β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.
若tan
＝1，由于0＜＜，∴这样的α不存在．
故只能是tan
＝2－，tan
β＝1.
由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.
故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.
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