课时分层作业(十四) 二倍角的三角函数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．sin
10°sin
50°sin
70°＝( )
A． B． C． D．
C [sin
10°sin
50°sin
70°＝sin
10°cos
40°cos
20°＝＝＝.]
2．已知sin
＝cos
，则cos
2α＝( )
A．1
B．－1
C．
D．0
D [因为sin
＝cos
，所以cos
α－sin
α＝cos
α－sin
α，即sin
α＝－cos
α，所以tan
α＝＝－1，所以cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D．]
3．设cos
2θ＝，则cos4θ＋sin4θ＝( )
A．
B．
C．
D．
C [cos4θ＋sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2cos2θsin2θ＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)
＝＋cos22θ＝＋×＝.]
4．若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝( )
A．
B．
C．
D．
A [由tan
θ＋＝＋＝＝4，
得sin
θcos
θ＝，则sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2×＝.]
5．若α∈，且sin2α＋cos
2α＝，则tan
α＝( )
A．
B．1
C．
D．
D [∵sin2α＋cos
2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，
∴cos2α＝.
又α∈，∴cos
α＝，sin
α＝.∴tan
α＝.]
二、填空题
6．已知tan＝，tan＝－，则tan(α＋β)＝________.
[∵tan＝tan
＝
＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝.]
7．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．
[∵α为锐角，∴α＋∈，
又∵cos＝，
∴sin＝，
∴sin＝2sincos＝，
cos＝2cos2－1＝，
∴sin
＝sin
＝sincos
－cossin
＝×－×＝.]
8．若θ∈，且2sin2θ＋sin
2θ＝－，则tan＝________.
[由2sin2θ＋sin
2θ＝－，得1－cos
2θ＋sin
2θ＝－，得cos
2θ－sin
2θ＝，
2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，
则tan＝，所以tan＝tan＝＝.]
三、解答题
9．已知sin
α＋cos
α＝，0<α<π，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值．
[解] ∵sin
α＋cos
α＝，
∴sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝，
∴sin
2α＝－且sin
αcos
α＝－<0.
∵0<α<π，sin
α>0，∴cos
α<0.
∴sin
α－cos
α>0.
∴sin
α－cos
α＝＝
＝.
∴cos
2α＝cos2α－sin2α＝(sin
α＋cos
α)(cos
α－sin
α)＝×＝－.
tan
2α＝＝.
10．已知函数f
(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f
＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f
＝－，α∈，求sin的值．
[解] (1)因为f
(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝，所以f
(x)＝－sin
2x(a＋2cos2x)，
由f
＝0得－(a＋1)＝0，得a＝－1.
(2)由(1)得，f
(x)＝－sin
4x，因为f
＝－sin
α＝－，即sin
α＝，又α∈，从而cos
α＝－，所以有sin＝sin
αcos
＋cos
αsin
＝.
1．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin
18°，若m2＋n＝4，则＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
C [因为m＝2sin
18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.故选C．]
2．(多选题)下列各式中，值为的是( )
A．2sin15°cos15°
B．
C．1－2sin215°
D．
BCD [2sin
15°cos
15°＝sin
30°＝；
＝＝tan(45°＋15°)＝tan
60°＝；
1－2sin2
15°＝cos
30°＝；
＝·＝·tan
30°＝.
故选BCD．]
3．化简：－sin
10°的值为___________．
[原式＝－sin
10°
＝－sin
10°×＝＝＝＝.]
4．若sin＝，则cos＝________.
－ [∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
∴cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
5．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30
m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10
m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
[解] ∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30
m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，
∴AD＝CD＝10
m.
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin
4θ＝10sin
4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin
2θ＝30sin
2θ(m)，
∴10sin
4θ＝30sin
2θ，
即20sin
2θcos
2θ＝30sin
2θ，∴cos
2θ＝，
又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，
∴AE＝30sin＝15(m)，
∴θ＝，建筑物AE的高为15
m.
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