课时分层作业(十六) 余弦定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B [∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝，∴A＝60°.]
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos
C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
C [由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为cos
A＝＝＝－.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
C [由>0得－cos
C>0，所以cos
C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
4．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5,7,8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos
θ，解得cos
θ＝，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]
5．已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝1，b＝3，则c的取值范围是( )
A．(2,4)
B．(2，3]
C．[3，)
D．(2，)
D [由题意得2由题意得0A<1，且0
<
cos
B<
1，且0C<1，所以9＋c2－1>0，且c2＋1－9>0，且1＋9－c2>0,
所以2因为2故选D．]
二、填空题
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
0 [∵b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－2accos
120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
1 [∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos
，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]
8．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．
7 [由条件知：cos
A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝＋AB2－2··ABcos
A＝42＋92－2×4×9×＝49，所以x＝7.
所以AC边上的中线长为7.]
三、解答题
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos
(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
[解] (1)∵cos
C＝cos
[π－(A＋B)]＝－cos
(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos
120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
10．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，b＝，求c.
[解] 在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a＋c)2－2ac
(1＋cos
B)
()2＝82－2ac，
∴ac＝15，∵a＋c＝8,
解得c＝3或5.
1．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [cos
B＝＝
＝＋≥，
∵02．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan
B＝ac，则角B的值为( )
A．
B．
C．
D．
BD [根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accosB，
代入化简可得2accosB·＝ac,
即sinB＝，
因为0所以B＝或B＝，故选BD．]
3．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，则第三边c的长为________．
4 [5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0，
∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos
C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos
C＝52＋32－2×5×3×＝16，
∴c＝4，即第三边长为4.]
4．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________.
(1，)∪(5,7) [①若x>4，则x所对的角为钝角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，则4对的角为钝角，
∴<0且3＋x>4，∴1∴x的取值范围是(1，)∪(5,7)．]
5．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．
[解] 由
得
∴a＞b＞c，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos
120°，
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.
当b＝10时，a＝14，c＝6.
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