课时分层作业(十八) 正弦定理(2)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝
B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋
D．b＝1＋，c＝
A [∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
B [∵＝，
∴sin
B＝sin
A＝sin
45°＝＞.
又∵a＜b，∴B有两个解，即此三角形有两解．]
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin
A，则sin
B＝( )
A． B． C． D．－
B [由正弦定理得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，
所以sin
A＝sin
Bsin
A，故sin
B＝.]
4．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．2
B [由a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C得＝2R＝＝＝.]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sin
Asin
C，则△ABC的面积S＝( )
A．
B．3
C．
D．6
B [由sin2B＝2sin
Asin
C及正弦定理，得b2＝2ac，①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.]
二、填空题
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是________(填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
④ [①中a＝bsin
A，有一解；②中csin
B
b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]
7．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos
A＝________.
[由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccos
A＋2bc.
又S＝bcsin
A，∴bcsin
A＝2bc－2bccos
A．
∴4－4cos
A＝sin
A，平方得17cos2A－32cos
A＋15＝0.
∴(17cos
A－15)(cos
A－1)＝0.
∴cos
A＝1(舍去)或cos
A＝.]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________.
[在△ABC中，由cos
A＝，cos
C＝，可得sin
A＝，sin
C＝，sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝，由正弦定理得b＝＝.]
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
A＝acos
B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin
C＝2sin
A，求a，c的值．
[解] (1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆半径．
又bsin
A＝acos
B，
所以2Rsin
Bsin
A＝·2Rsin
Acos
B．
又sin
A≠0，
所以sin
B＝cos
B，所以tan
B＝.
又因为0(2)由sin
C＝2sin
A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，
得9＝a2＋c2－ac，
所以a2＋4a2－2a2＝9，
解得a＝，故c＝2.
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．
[解] 由正弦定理知＝，
∴＝.
即sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
∴sin
2A＝sin
2B．
又∵a≠b且A，B∈(0，π)，
∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形且C＝，
由
得a＝6，b＝8.
∴内切圆的半径为r＝＝＝2.
1．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是( )
A．[3，6]
B．(2,4)
C．(3，4)
D．(3,6]
D [∵A＝，∴B＋C＝π.
∴AC＋AB＝(sin
B＋sin
C)
＝
＝2
＝6sin，
∴B∈，
∴B＋∈，
∴sin∈，
∴AC＋AB∈(3,6]．]
2．(多选题)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan
A＋tan
B＋tan
C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos
A＝bcos
B，则△ABC是等腰直角三角形
C．若bcos
C＋ccos
B＝b，则△ABC是直角三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
AD [对于A，∵tan
A＋tan
B＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)，
∴tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
C＝－tan
C＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C>0，
又由A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角，故A正确；
对于B，若acos
A＝bcos
B，则sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，则2sin
Acos
A＝2sin
Bcos
B，则
sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，bcos
C＋ccos
B＝b，sin
B＝sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin(B＋C)＝sin
A，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故C不正确；
对于D，若＝＝，则＝＝，则tan
A＝tan
B＝tan
C，
A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故D正确．故选AD．]
3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
(1，] [∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin
A＋cos
A＝sin.
∵A∈，∴A＋∈，
∴sin∈，∴x∈(1，]．]
4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin
B＝________.
[由正弦定理，得＝，即sin
C＝＝＝.
可知C为锐角，∴cos
C＝＝.
∴sin
B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin
60°·cos
C－cos
60°·sin
C＝.]
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin
A＝acos
C．
(1)求角C的大小；
(2)求sin
A－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．
[解] (1)由正弦定理及已知条件得sin
Csin
A＝sin
Acos
C．因为0A>0，从而sin
C＝cos
C，则C＝.
(2)由(1)知，B＝－A，于是sin
A－cos＝sin
A－cos(π－A)＝sin
A＋cos
A＝2sin.
因为0从而当A＋＝，即A＝时，2sin取得最大值2.
综上所述，sin
A－cos
的最大值为2，此时A＝，B＝.
1/6课时分层作业(十七) 正弦定理(1)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A．＋1
B．2＋1
C．2
D．2＋2
C [由已知及正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝2.]
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
C [∵sin
B＝＝＝，
∴B＝45°或135°.
但当B＝135°时，不符合题意，
∴B＝45°，故选C．]
3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是( )
A．sin
A>sin
B
B．cos
AB
C．sin
2A>sin
2B
D．cos
2A2B
C [A>B?a>b?sin
A>sin
B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos
x单调递减，∴cos
AB，B正确．
cos
2A＝1－2sin2A．
∵sin
A>sin
B>0，∴sin2A>sin2B，
∴cos
2A2B，D正确．]
4．在△ABC中，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝5∶7∶8，则B的大小是( )
A．
B．
C．
D．
A [由正弦定理知：a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C．设sin
A＝5k，sin
B＝7k，sin
C＝8k，
∴a＝10Rk，b＝14Rk，c＝16Rk，
∴a∶b∶c＝5∶7∶8，
∴cos
B＝＝，∴B＝.故选A．]
5．在△ABC中，a＝bsin
A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B [∵a＝bsin
A，∴＝sin
A＝，∴sin
B＝1，
又∵B∈(0，π)，∴B＝，
即△ABC为直角三角形．]
二、填空题
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin
B＝，C＝，则b＝________.
1 [在△ABC中，∵sin
B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，
∴A＝π－－＝.
∵＝，∴b＝＝1.]
8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
2 [由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2.]
三、解答题
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
[解] (1)∵cos
B＝>0，且0B＝＝.
由正弦定理得＝，sin
A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin
B＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
10.
已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos
C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
[解] (1)由acos
C＋c＝b，
得sin
Acos
C＋sin
C＝sin
B．
因为sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C，
所以sin
C＝cos
Asin
C．
因为sin
C≠0，所以cos
A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由正弦定理，得sin
B＝＝.
所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
1．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为( )
A．60°
B．75° C．90° D．115°
B [不妨设a为最大边，c为最小边，
由题意有＝＝，
即＝.
整理得(3－)sin
A＝(3＋)cos
A．
∴tan
A＝2＋.
又∵A∈(0°，120°)，∴A＝75°，故选B．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos
A，sin
A)，若m⊥n，且acos
B＋bcos
A＝csin
C，则角A，B的大小分别为( )
A．，
B．，
C．，
D．，
C [∵m⊥n，∴cos
A－sin
A＝0，
∴tan
A＝，
又∵A∈(0，π)，∴A＝，
由正弦定理得sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin
C＝1，∴C＝，B＝.]
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos
B＝________.
[在△ABC中，因为
所以
所以cos
B＝.]
4．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
2 [∵A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sin
A，b＝2sin
B，c＝2sin
C，
∴＝2.]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＞b，a＝5，c＝6，sin
B＝.
(1)求b和sin
A的值；
(2)求sin的值．
[解] (1)在△ABC中，因为a＞b，
故由sin
B＝，可得cos
B＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，
得sin
A＝＝.
所以b的值为，sin
A的值为.
(2)由(1)及a＜c，得cos
A＝，
所以sin
2A＝2sin
Acos
A＝，
cos
2A＝1－2sin2A＝－.
故sin＝sin
2Acos
＋cos
2Asin
＝×＝.
1/6