课时分层作业(二十) 复数的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A．，1
B．，5
C．±，5
D．±，1
C [令得a＝±，b＝5.]
2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I
B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝?
D [复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝?，故选D．]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D．＋i
A [3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A．]
4．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
B [由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.]
5．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R，“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．]
二、填空题
6．复数(i为虚数单位)的实部等于________．
－3 [＝＝－3－i，其实部为－3.]
7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________．
－2 [∴x＝－2.]
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
－2 [复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．]
三、解答题
9．已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，
(1)写出复数z的代数形式；
(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？
[解] (1)复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
即复数z的代数形式为z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(2)若z＝0，则
解得m＝2.
若z为纯虚数，则
解得
即m＝－.
10．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数k的值．
[解] 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由两个复数相等的充要条件得
解得或
∴实数k的值为±2.
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
A [∵复数z是纯虚数，
∴
∴sin
θ＝且cos
θ≠，
∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A．]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以解得
所以z＝3－i.]
3．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos
θ＋(λ＋3sin
θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________．
[由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin
θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin
θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin
θ＋4＝4sin2θ－3sin
θ＝4－，因为sin
θ∈[－1,1]，所以4sin2
θ－3sin
θ∈.]
4．若复数z＝＋i(m∈R)是虚数，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞) [∵复数z＝＋i(m∈R)是虚数，
∴
解得m>1或m<0且m≠－2.
故实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,0)∪(1，＋∞)．]
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1[解] 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z11/5
