课时分层作业(二十一) 复数的加减与乘法运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A．
B．－ C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，
所以解得a＝，b＝－，
故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．]
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
D [由题意知a－i＝2－bi，∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]
4．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5
B．
C．3
D．
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A．]
5．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1
B．2
C．
D．
C [由z＝－ai，a∈R，得z2＝－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.]
二、填空题
6．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
－1＋10i [∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，由复数相等定义，得x＝2且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.]
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
－2 [∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.]
8．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.
－i [∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]
三、解答题
9．计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)．
[解] (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i；
(2)原式＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝－－i＋i－
＝－＋i.
10．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．
[解] z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i，
由z2＋az＋b＝1－i，得
(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
∴a＋b＋i(a＋2)＝1－i(a，b∈R)，
∴解得
则b＋ai＝4－3i，
则b＋ai的共轭复数是4＋3i.
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i
B．1－i C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]
2．复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
C [∵z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，
∴＝2－3i.故选C．]
3．已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于________．
2＋2i [(－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，∴∴p＝q＝2.
故z＝p＋qi＝2＋2i.]
4．已知z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β－isin
β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[∵z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β－isin
β，
∴z1－z2＝(cos
α－cos
β)＋i(sin
α＋sin
β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.]
5.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，求z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.
1/4课时分层作业(二十二) 复数的乘方与除法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．i为虚数单位，＝( )
A．－1
B．1 C．－i D．i
A [＝＝＝－1.]
2．＝( )
A．－－i
B．－＋i
C．－－i
D．－＋i
D [＝＝－＋i，故选D．]
3．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
A [因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i，所以应选A．]
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1
024
B．1
024
C．0
D．512
C [(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10
＝0.]
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A．
B．
C．1
D．2
A [∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.]
二、填空题
6．复数的共轭复数是________．
－1＋2i [∵＝＝－1－2i.
∴的共轭复数是－1＋2i.]
7．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值是________．
2 [＝＝，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.]
8．设i是虚数单位，则等于________．
－1 [∵＝－＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.]
三、解答题
9．计算：(1)＋；
(2)＋＋.
[解] (1)原式＝＋i6
＝i＋i2＝i－1.
(2)原式＝＋＋
＝i＋＋
＝i＋(－i)＋0＝0.
10．(1)若＝－i，求实数a的值；
(2)若复数z＝，求＋3i.
[解] (1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－.
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴＝－1－i，
∴＋3i＝－1＋2i.
1．计算＋的值是( )
A．0
B．1
C．i
D．2i
D [原式＝＋
＝＋
＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)),－i)＋i＝＋i＝＋i＝2i.]
2．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )
A．a－5b＝0
B．3a－5b＝0
C．a＋5b＝0
D．3a＋5b＝0
D [z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意，得＝－－b，即3a＋5b＝0.]
3．复数z满足(1＋2i)·＝4＋3i，则z＝________.
2＋i [∵＝＝＝＝2－i，
∴复数＝2－i，∴z＝2＋i.]
4．当z＝－，z100＋z50＋1的值等于________．
－i [z2＝＝－i，
∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1
＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.]
5．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.
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