课时分层作业(二十三) 复数的几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．
故选D．]
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D．]
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D．]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
2＋4i [∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，
∴点A(6,5)，B(－2,3)．
∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.]
7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.
[＝－1＋i，则|(1－z)·|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝.]
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．]
三、解答题
9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cos
α＋isin
α，α∈(0,2π)，若z＝＋2i，且|z－w|＝，求角α的值．
[解] 由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i，
则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i.
由|z－w|＝得(1－cos
α)2＋(1－sin
α)2＝5，
整理得sin
α＋cos
α＝－1，∴sin＝－，
∵0<α<2π，∴<α＋<，
∴α＋＝或α＋＝，∴α＝π或α＝.
10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．
(1)求复数z；
(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．
[解] (1)由(z－2)i＝a＋i，
得z－2＝＝1－ai，∴z＝3－ai.
(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，
∵复数z2对应的点在第一象限，
∴解得－3
故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限．
1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是
( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0
B．1
C．
D．
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
3．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
4－4i [由＝＋，知
对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，
又＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.]
4．在复平面内，复数z＝＋i2
022表示的点所在的象限是________．
第二象限 [z＝＋i2
022＝＋i2＝－＋i，对应点的坐标为，故在第二象限．]
5．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．
[解] 因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
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