课时分层作业(二十四) 复数的三角形式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列表示复数1＋i的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是( )
A．1
B．2 C．3 D．4
B [∵r＝＝，cos
θ＝，sin
θ＝，∴辐角主值为，
∴1＋i＝＝，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选B．]
2．已知i为虚数单位，z1＝(cos
60°＋isin
60°)，z2
＝
2(sin
30°－icos
30°)，则z1·z2＝( )
A．4(cos
90°＋isin
90°)
B．4(cos
30°＋isin
30°)
C．4(cos
30°－isin
30°)
D．4(cos
0°＋isin
0°)
D [∵
z2
＝
2(sin
30°－icos
30°)
＝
2·(cos
300°＋
isin300°)，
∴
z1
·z2
＝
(cos
60°＋isin
60°)×2×(cos
300°＋isin
300°)
＝
4(cos
360°＋isin
360°)故选D．]
3．计算的结果是( )
A．－9
B．9
C．－1
D．1
B [
＝9
＝9＝9，故选B．]
4．若复数z＝r(cos
θ＋isin
θ)(r＞0，θ＜R)，则把这种形式叫作复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角．若一个复数z的模为2，辐角为，则＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－i
D．＋i
D [由复数z的模为2，辐角为，可得z＝2＝－1＋i.
所以＝＝＝＋i.故选D．]
5．适合＝1且arg
z＝π的复数z的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无穷多
[答案] C
二、填空题
6．复数的代数形式是________．
－i
[
＝
cos－isin
＝－i.]
7．设z＝1－2i对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数的虚部为________．
－ [所得向量对应的复数为(1－2i)·＝(1－2i)
＝－i，故虚部为－]
8．(一题两空)复数1＋i的辐角主值是
________，三角形式是_________________．
[复数1＋i的模是＝，
因为1＋i对应的点在第一象限且辐角的正切tan
θ＝1，它的辐角主值为.
三角形式为(cos＋isin)．]
三、解答题
9．已知z＝－2i，z1－·z2＝0，arg
z2＝，若z1，z2在复平面上分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1的立方根．
[解] 由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg
z2＝，
所以z2＝，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2，
所以z1的立方根为，k＝0,1,2，
即，，.
10．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg
z∈.
(1)求z的三角形式；
(2)记A、B、C分别表示复数z、ω、－2ω在复平面上的对应点．已知A、B、C三点成逆时针顺序，且△ABC为等边三角形，求tan(arg
ω)．
[解] (1)由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
∵arg
z∈，∴z＝－1－i应舍去，∴z＝－1＋i＝2.
(2)由题意，CA：z－(－2ω)＝z＋2ω，CB：ω－(－2ω)＝3ω，
∵|CA|＝|CB|，C、A、B位置成逆时针顺序，又∠ACB＝，
∴把CA按逆时针方向旋转60°即得CB，∴3ω＝(z＋2ω)，
将z＝2代入上式，解得ω＝－，
由点B在第三象限知tan(arg
ω)＝.
1．复数z＝tan
θ＋i的三角形式是( )
A．(sin
θ＋icos
θ)
B．(cos
θ＋isin
θ)；
C．－
D．－
D [因为<θ<π，所以cos
θ<0，
所以z＝tan
θ＋i＝－[－sin
θ＋i(－cos
θ)]＝－，故选D．]
2．(多选题)欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是( )
A．eπi＋1＝0
B．＝1
C．cos
x＝
D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
AB [eπi＋1＝cos
π＋isin
π＋1＝0，A对；
＝|cos
x＋isin
x|＝1，B对；
cos
x＝，C错；
依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos
x，sin
x)，故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos
12，sin
12)，显然该点位于第四象限，D错．故选AB．]
3．(多选题)已知复数z＝cos
α＋icos
2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为( )
A． B． C．π D．
ACD [由题意得：cos
α＝－cos
2α，∴2cos2α＋cos
α－1＝0，解得：cos
α＝－1或.
∵0<α<2π，∴α＝π或或，故选ACD．]
4．复数z＝cos＋isin是方程x5－α＝0的一个根，那么α的值等于________.
＋i [由题意得，α＝＝cos＋isin＝＋i.]
5．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
[解] 由题意可设z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β＋isin
β.
∵△AOB的重心G对应的复数为＋i，
∴＝＋i，即，
∴
∴tan＝，
故tan(α＋β)＝
＝.
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