课时分层作业(二十九) 空间两条直线的位置关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线
B．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线
C．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线
D．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线
C [A只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C从反面肯定了两直线的异面；D中的两条直线可能在同一平面内．故选C．]
2．在三棱锥S?ABC中，与SA是异面直线的是( )
A．SB
B．SC
C．BC
D．AB
C [如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
]
3．如果l和n是异面直线，那么和l，n都垂直的直线条数为( )
A．0
B．1 C．2 D．无数
D [l和n是异面直线，则和l，n都垂直相交的直线有一条m，与m平行的直线和l，n都垂直．]
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形具体的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．正方形
B [易证四边形EFGH为平行四边形，∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]
5．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE，B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
C [CC1与B1E共面，CC1与AE异面，故A、B错；AE与BC垂直，BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故D错．]
二、填空题
6．如图，A是△BCD所在平面外一点，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若MN＝6，则BD＝________.
18 [连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，则E，F分别为BC，CD的中点，连接EF.由题意知，＝＝，
∴EF＝×6＝9，∴BD＝2EF＝18.]
7．如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，则所有与∠A1AB相等的角是________．
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B [因为四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AA1∥DD1.又AB∥CD，所以∠A1AB与∠D1DC相等．又由于侧面A1ABB1，D1DCC1为平行四边形，所以∠A1AB与∠A1B1B，∠D1C1C也相等．]
8．如图，过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．
4 [连接AC1(图略)，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也都相等．故这样的直线l可以作4条．]
三、解答题
9．如图，E，F分别是长方体ABCD?A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 如图，设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
∴EQB1C1，∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1EC1Q.
又∵Q，F是矩形DD1C1C的两边的中点，∴QDC1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QDF.
又∵B1EC1Q，∴B1EDF，∴四边形B1EDF是平行四边形．
10．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，求EF的长．
[解] 取BC中点G.连接GE，GF.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴EG∥AC，GF∥BD，GE＝AC＝，GF＝BD＝，
∴BD，AC所成的角是∠EGF(或其补角)，若∠EGF＝60°，则EF＝GE＝，
若∠EGF＝120°，则EF＝2GFsin
60°＝2××＝.
1．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
A．①③
B．②④ C．②③ D．③④
A [把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
2．(多选题)关于异面直线的说法错误的是( )
A．若a?α，b?β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
ABC [选项A、B、C中的两直线可能平行、相交或异面，故A、B、C均错误；由异面直线的定义可知，D正确．故选ABC．]
3．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是________．
60° [如图，连接BC1，A1B．
∵BC1∥EF，A1B∥CD1，
则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．
又∵∠A1BC1为60°，
∴直线EF与D1C所成的角为60°.]
4.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是________．
相交或异面 [如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线．]
5．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
[解] (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝BD，FG＝AC，AC＝BD，得EG＝FG，
求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
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