课时分层作业(三十一) 直线与平面垂直
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线a和b在正方体ABCD?A1B1C1D1中的两个不同平面内，下列使a∥b成立的条件个数是( )
①a和b垂直于正方体的同一个平面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
A．1
B．2 C．3 D．4
C [①②③一定能使a∥b成立，④不一定使a∥b成立，例如在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥AB，BC⊥AB，显然AA1与BC不平行．]
2．下列语句中不正确的是( )
A．l⊥α?l与α相交
B．m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α
C．l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α
D．l⊥α，m⊥α?l∥m
B [B中若m∥n，不能得出l⊥α.]
3．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．正方形
D．菱形
D [如图，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD．]
4．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．
其中为真命题的是( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
D [①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD?平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC．故选D．]
5．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A [取AC的中点D，连接DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角，在△ABC中，易得BD＝.
在△DCC1中，易得DC1＝，
在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝，
即∠BC1D＝30°.]
二、填空题
6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．
4 [如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD．
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，
∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC．
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，
在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4，即P到BC的距离为4.]
7．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为________．
垂直 [∵AA1⊥平面ABC，
∴BC⊥AA1，
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面AA1B1B，又AM?平面AA1B1B，
∴AM⊥BC．]
8．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
2 [∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD．
又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，
∴QD⊥平面PAQ，
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD．
(1)证明：PA∥平面BDE；
(2)证明：AC⊥平面PBD．
[证明] (1)设AC∩BD＝H，连接EH.
在△ADC中，
因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点．
又由题设，E为PC的中点，
故EH∥PA，
又EH?平面BDE，
且PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE.
(2)因为PD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．
由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，
故AC⊥平面PBD．
10．如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
[证明] (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC．
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC．
又AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，SB∩BC＝B，
∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，
∴SC⊥平面AEF.
又AF?平面AEF，∴AF⊥SC．
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC．
又AD⊥DC，SA∩AD＝A，
∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，
∴SC⊥AG，
又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．
1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；
③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
能判定直线与此平面垂直的有( )
A．①②
B．①③ C．②④ D．③④
B [由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．]
2．如图，四棱锥S?ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是________．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
①②③④ [因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确；因为AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确；因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确；因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．故①②③④均正确．]
3．如图所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为________．
AC⊥BC [取AC中点Q，连接MQ，NQ，
则MQ∥AP，NQ∥BC，
由已知条件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC，
则NQ⊥AC，所以AC⊥平面MNQ，
所以AC⊥MN.]
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．
[由题意，知△AED′为等腰直角三角形，平面AED′⊥平面ABCE，∴AD′在底面的射影在AE上，∴∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成角，且∠D′AE＝45°，其正弦值为.]
5．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥P?ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA⊥CD．
又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
又∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
1/8课时分层作业(三十) 直线与平面平行
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?α，CD?α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
D [由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．]
2．若直线l不平行于平面α，且l?α，则下列四个命题正确的是( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l相交
B [依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．]
3．若P为异面直线a，b外一点，则过P且与a，b均平行的平面( )
A．不存在
B．零个或一个
C．可以有两个
D．有无数多个
B [记a与P所确定的平面为α，当b∥α时，与a，b均平行的平面不存在，当b不平行α时，与a，b均平行的平面有一个，故选B．]
4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上—点，当PA∥平面EBF时，＝( )
A．
B．
C．
D．
D [连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.因为AD∥BC，AD＝BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.故选D．]
5．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，若AB∥α，则CD与EF的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或相关
A [∵?AB∥CD，
同理可证AB∥EF，∴EF∥CD．]
二、填空题
6．如图，三棱锥A?BCD中E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
m∶n [∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC．
∴EF＝HG＝·m.
同理，EH＝FG＝·n，
∴·m＝·n，
∴AE∶EB＝m∶n.]
7．正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，M是A1B1的中点，N是AB上的点，且AN∶NB＝1∶2，过D1，M，N的平面交AD于点G，则NG＝________.
a [由题意易知GN∥D1M，由AN∶NB＝1∶2，M为A1B1的中点得AN＝AB＝A1B1＝A1M.
∴＝＝，
∴GN＝D1M＝eq
\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a)))＝a.]
8．如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，则四边形BCFE的形状一定是________．
梯形 [∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD．∵AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，∴四边形BCFE为梯形．]
三、解答题
9．如图，已知A1B1C1?ABC是正三棱柱，D是AC的中点．求证：AB1∥平面DBC1.
[证明] ∵A1B1C1?ABC是正三棱柱，
∴四边形B1BCC1是矩形．
连接B1C交BC1于点E，
则B1E＝EC．
连接DE，在△AB1C中，
∵AD＝DC，B1E＝EC，
∴DE∥AB1.
又∵AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1，
∴AB1∥平面DBC1.
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.
[证明] ∵AC∥A1C1，而AC?平面A1EC1，A1C1?平面A1EC1.
∴AC∥平面A1EC1.
而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC?平面AB1C，
∴AC∥FG.
1．下列说法中正确的是( )
A．平行于同一平面的两直线平行
B．若直线a平行于平面α内的一条直线b，则直线a∥平面α
C．若两平行直线中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交
D．若直线a与平面α内的无数条直线相交，则直线a在平面α内
C [A中两直线可以平行也可以相交或异面，B中a也有可能在平面α内，D中直线a也可能与平面α相交．]
2．如图所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下面的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线条数有( )
A．1
B．2 C．3 D．4
B [如图，过F作FG∥AD交AC于G，连接HG，HE，EF，显然平面EFGH就是平面α.
在△BCD中，EF∥BC，EF?α，
BC?α，
∴BC∥α.同理，AD∥α.
所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．]
3．在四面体A?BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．
平面ABC，平面ABD [连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F(图略)，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．]
4．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[因为直线EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC．又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：
EF＝AC．又因为在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝.]
5．如图，直线l是过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交线．
求证：B1D1∥l.
[证明] ∵BB1DD1，
∴四边形BDD1B1是平行四边形，
∴B1D1∥BD．
∵B1D1?平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴B1D1∥平面ABCD．
∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1?平面AB1D1，
∴B1D1∥l.
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