课时分层作业(三十五) 空间图形的体积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若长方体的长、宽、高分别为3
cm、4
cm、5
cm，则长方体的体积为( )
A．27
cm3
B．60
cm3
C．64
cm3
D．125
cm3
B [长方体即为四棱柱，体积为底面积×高，3×4×5＝60
cm3.]
2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是( )
A．
B．
C．
D．2πC2
C [过球心的圆面圆的半径长就是球的半径长，设半径为r，则2πr＝C，r＝，球的表面积为4πr2＝4π·＝.]
3．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1?ADC的体积是( )
A．
B．
C．
D．1
A [三棱锥D1?ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]
4．已知三棱锥P?ABC中，PA＝，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )
A．16 B．28
C．64
D．96
C [已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线．
∵PA＝，AB＝3，AC＝4，
∴三棱锥外接球的直径为＝4，
∴外接球的内接正方体的体对角线长为4，
∴正方体的棱长为4，∴正方体的体积为64，故选C．]
5．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π
C [∵对角线长为5，∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×＝50π.]
二、填空题
6．将一铜球放入底面半径为16
cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9
cm，则这个铜球的半径为________cm.
12 [设铜球的半径为R
cm，则有πR3＝π×162×9，解得R＝12.]
7．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12 [设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得×6××2××h＝2，∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，∴S侧＝6××2×2＝12.]
8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
[设新的底面半径为r，由题意得
×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8，
∴r2＝7，∴r＝.]
三、解答题
9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，如果AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，求多面体BB1C1CEF的体积．
[解] 在△ABC中，BC边上的高h＝＝2，
V柱＝BC·h·BB1＝×6×2×6＝36，
∴VE?ABC＋V＝V柱＝6，故V＝36－6＝30.
10．如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
[解] 在三棱锥A1?ABD中，AA1⊥平面ABD，
AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，
∵V＝V，∴×a2×a＝××a××a×d.
∴d＝a.
1．正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A?B1DC1的体积为( )
A．1 B． C．3 D．
A [在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，S＝×2×＝.
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．
∴V＝S·AD＝××＝1.]
2．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
[由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为＝2，故圆柱的高为1，所以该圆柱的体积为π××1＝.]
3．(一题两空)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________．
[由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，
圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
∴＝＝.S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2，∴＝＝.]
4．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为________．
4πRr [法一：如图，作DE⊥BC于点E.设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝，故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]
5．如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
[解] (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S＝×(4＋10)×8＝56，
S＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.
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