课时分层作业(三十四) 空间图形的表面积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列有四个结论，其中正确的是( )
A．各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥
C．底面是正三角形的棱锥是正三棱锥
D．顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥
D [A不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；B缺少第一个条件；C缺少第二个条件；而D可推出以上两个条件，故正确．]
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A．
B．
C．
D．
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]
3．轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A．4倍
B．3倍
C．倍
D．2倍
D [设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底＝πa2，
S侧＝πa×2a＝2πa2，所以S侧＝2S底.
故选D．]
4．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4
B．4＋4
C．12
D．8＋4
A [连接A1B．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4，故选A．]
5．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D．∶2
C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.]
二、填空题
6．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________．
20＋20 [由题意可知S侧＝2×5×4×sin
60°＋5×4＝20＋20.]
7．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．
4 [∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，
∴l＝4.]
8．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为________．
S1>S2 [斜高h′＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×?4－2?)))＝，
S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，∴S1>S2.]
三、解答题
9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392
cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
[解] 法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm.即A′O′＝x
cm，AO＝3x
cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D．
在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x
cm，所以A′D＝AD＝2x
cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14
cm，母线长AA′＝OO′＝14
cm，上、下底面的半径分别为7
cm和21
cm.
法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x
cm和3x
cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x
cm，
又SO′＝A′O′＝x
cm，所以OO′＝2x
cm.
又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.
综上，圆台的高OO′＝14
cm，母线长AA′＝OO′＝14
cm，上、下底面的半径分别为7
cm,21
cm.
10．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱为12
cm，小棱锥底面边长为4
cm，求截得棱台的侧面积和全面积．
[解] (1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，
∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a×
＝3a
，
S小棱锥侧＝c2h2＝×3a×
＝a
，
S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(6a＋3a)×
＝a
，
∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，
S上＝6××4×4×sin
60°＝24(cm2)，
S下＝6××8×8×sin
60°＝96(cm2)，
∴S全＝S侧＋S上＋S下
＝144＋120(cm2)．
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶
C．1∶
D．∶2
C [设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.]
2．(多选题)如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的一动点，则下列选项正确的是( )
A．DP的最小值为
B．DP的最小值为
C．AP＋PC1的最小值为
D．AP＋PC1的最小值为
AD [求DP的最小值，即求△DA1B底边A1B上的高，易知A1B＝A1D＝，BD＝，所以A1B边上的高为h＝，连接A1C1，BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′(图略)，则AC′即为所求的最小值，易知AA1＝2，A1C′＝，cos∠AA1C′＝－，
所以AC′＝＝.
故选AD．]
3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周所成空间图形的表面积为________．
24π＋12π [如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，
将四边形ABCD绕AB所在直线旋转一周得到的空间图形是由直角梯形ADCE旋转得到的圆台与△CBE旋转得到的圆锥拼接而成的组合体．
由已知条件计算可得CE＝4，AE＝2，BE＝3，BC＝5，
∴S表＝π·AD2＋π(CE＋AD)·CD＋π·CE·BC
＝4π＋π·(4＋2)×2＋π×4×5
＝24π＋12π.]
4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________.
∶2∶2 [由题意可把三棱锥A1?ABC与四棱锥A1?BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC?A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为.而四棱锥A1?BCC1B1的高为，则h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2.]
5．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6
m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01
m2)．
[解] 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，所以塑料片面积S＝πr2＋2πr·(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.所以当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米.
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