课时分层作业(三十三) 两平面垂直
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
C [A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误；
B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误；
C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；
D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误．]
2．设α?l?β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
C [当a，b都与l平行时，则a∥b，所以AD错．
如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β.又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．排除B，故选C．]
3．下列四个命题中错误的是( )
A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直
B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行
C．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行
D．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内
B [根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故A正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故B不正确；根据平面与平面平行的性质定理知C正确；根据两个平面垂直的性质知D正确．]
4．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
D [连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，
所以B′C2＝B′D2＋DC2，
所以∠B′DC＝90°.]
5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A?BCD，则在四面体A?BCD中，下列说法正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ACD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BCD
D．平面ACD⊥平面ABD
D [由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD．故选D．]
二、填空题
6．如图所示，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小为________．
90° [∵PA⊥平面ABC，BA，CA?平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B?PA?C的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角B?PA?C的大小为90°.]
7．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是________．
垂直 [因为PC⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．
同理PD⊥AB．又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD．
设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH.
因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，
所以∠CHD是二面角C?AB?D的平面角．
又PC＝PD＝1，CD＝，
所以CD2＝PC2＋PD2＝2，
即∠CPD＝90°.又PC⊥α，CH?α，所以PC⊥CH，同理PD⊥DH，所以在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.]
8．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1?BD?C的大小为________．
30° [如图，取BD中点O，连接OC，OC1.
∵AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝.
∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD．
∴∠C1OC为二面角C1?BD?C的平面角，
∴tan∠C1OC＝＝＝，
∴∠C1OC＝30°，即二面角C1?BD?C的大小为30°.]
三、解答题
9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1C1∥AC．
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D．
又因为B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．
(1)求证：平面MNF⊥平面NEF；
(2)求二面角M?EF?N的平面角的正切值．
[解] (1)证明：∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.
而MN?平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.
又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形，
∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，
∴MN⊥NE.又NF∩NE＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.
由(1)得知MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，
∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M?EF?N的平面角．
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M?EF?N的平面角的正切值为.
1．(多选题)在正方体ABCD?A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点)，M为线段AP的中点，则( )
A．CM与PN是异面直线
B．CM＞PN
C．平面PAN⊥平面BDD1B1
D．过P，A，C三点截正方体的截面一定是等腰梯形
BCD [由C，N，A共线，即CN，PM交于点A，共面，因此CM，PN共面，A错误；
记∠PAC＝θ，则PN2＝AP2＋AN2－2AP·ANcos
θ＝AP2＋AC2－AP·ACcos
θ，
CM2＝AC2＋AM2－2AC·AMcos
θ＝AC2＋AP2－AP·ACcos
θ，又AP＜AC，CM2－PN2＝(AC2－AP2)＞0，CM2＞PN2，即CM＞PN.B正确；
由于正方体中，AN⊥BD，BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AN，BB1∩BD＝B，可得AN⊥平面BB1D1D，AN?平面PAN，从而可得平面PAN⊥平面BDD1B1，C正确；
在C1D1上取点K，使D1K＝D1P，连接KP，KC，A1C1，易知PK∥A1C1，又正方体中，A1C1∥AC，∴PK∥AC，PK，AC共面，PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形，D正确．故选BCD．]
2．如果一个三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面内的射影是底面三角形的( )
A．垂心
B．重心 C．内心 D．外心
A [三侧面两两垂直，
则三条侧棱也两两垂直，
∴PC⊥平面PAB，
∴AB⊥PC．
作PO⊥平面ABC于点O，
则AB⊥PO，∴AB⊥平面POC，∴AB⊥OC．
同理，OB⊥AC，∴O为△ABC的垂心．]
3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α和β之外的两条不同直线，下列四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
①③④?②(或②③④?①) [由面面垂直的判定定理可知，由m⊥n，m⊥α，n⊥β可推出α⊥β；由面面垂直的性质定理可知，由m⊥α，n⊥β，α⊥β可推出m⊥n.]
4．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC．底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1，
∴CF⊥B1D，
∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)即可，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]
5．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
[证明] (1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD．
(2)如图，连接PG.
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD．
由(1)知BG⊥AD，
又PG?平面PGB，BG?平面PGB，且PG∩BG＝G，
∴AD⊥平面PGB．
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．
(3)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：
F为PC的中点时，在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE?平面DEF，DE?平面DEF，FE∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB．
易知PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．
1/9课时分层作业(三十二) 两平面平行
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β
C [由面面平行的定义、性质得C正确．]
2．若平面α∥平面β，且α，β间的距离为d，则在平面β内，下列说法正确的是( )
①有且只有一条直线与平面α的距离为d；
②所有直线与平面α的距离都等于d；
③有无数条直线与平面α的距离等于d；
④所有直线与平面α的距离都不等于d.
A．①③
B．②③ C．②④ D．①④
B [由两平行平面间的距离可知，②③正确．]
3．已知夹在两平行平面α，β之间的线段AB的长为6，AB与α所成的角为60°，则α与β之间的距离为( )
A．2
B．3
C．2
D．3
D [过B作BC⊥α于C，则∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin
60°＝3.]
4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C [取CD的中点H，连接EH，FH(略)．在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．]
5．已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，＝，则AC＝( )
A．12
B．15
C．18
D．21
B [∵α∥β∥γ，∴＝.
由＝，得＝，即＝，
而AB＝6，
∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.]
二、填空题
6．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥α，垂足为F，l?α，C，D∈α
，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD．
垂直 [l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD．]
7．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
M∈线段FH [∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.]
8．平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为________．
[设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，
∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]
三、解答题
9．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD．
[解] (1)证明：连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD分别于点P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
∴＝＝＝2.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD．
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD．又MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD．
同理NG＝AC，MN＝CD．
∴△GNM∽△ACD，其相似比为1∶3.
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9.
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
[解] 如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，
所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1．下列命题中是真命题为( )
A．若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行
D．分别在两个平行平面内的直线一定平行
C [A、B中α与β还可能相交，D中的直线还能异面．]
2．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．点P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下列四个命题，正确的为( )
①MN∥平面APC；
②C1Q∥平面APC；
③A，P，M三点共线；
④平面MNQ∥平面APC
A．①②
B．②③ C．①④ D．③④
B [E，F分别为AC，MN的中点，G为EF与BD1的交点，显然△D1FG∽△BEG，故＝＝，即BG＝BD1.又BP＝BD1，故点G与点P重合，所以平面APC和平面ACMN重合，MN?平面APC，故命题①不正确，命题④也不正确．]
3．如图，在多面体ABC?A1B1C1中，如果在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是________．
平行 [在平面AB1内，∠1＋∠2＝180°知A1B1∥AB，在平面BC1内，∠3＋∠4＝180°，知B1C1∥BC，所以平面ABC与平面A1B1C1平行．]
4．已知平面α∥平面β，直线m?α，直线n?β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则a，b，c之间的大小关系为________．
c≤b≤a [在如图所示的棱长为1的正方体中，上、下底面分别记为α，β.直线m即直线AD1，直线n即直线BD．显然点A，B之间的距离为a＝，点A到直线n的距离为b＝，直线m和n的距离为c＝1，则c
5．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，如图所示．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC．
[解] (1)证明：因为在正方体ABCD?A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D．又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD．所以AB1∥平面C1BD．
同理可证，B1D1∥平面C1BD．
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD．
(2)如图所示，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC，交BD于点O；连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC．
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即FC＝EF，
所以A1E＝EF＝FC．
1/8