课时分层作业(四十六) 互斥事件
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
B [由互斥事件的定义作出判断：A、C、D中描述的两个事件都不能同时发生，为互斥事件；B中当平均分为90分时，描述的两个事件能同时发生．]
2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是( )
A．
B．
C．
D．
C [事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或2”的概率是＋＝.]
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A．0.35
B．0.3
C．0.5
D．0.05
A [事件“抽到的不是一等品”是A的对立事件，故P＝1－P(A)＝0.35.]
4．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，
设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则抛掷一颗骰子“出现奇数点或偶数点”的概率是( )
A．
B．
C．
D．1
D [法一：记“出现奇数点或偶数点”为事件C，则C＝A＋B，因为A，B是互斥事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
法二：因为抛掷一颗骰子出现点数不是奇数就是偶数，所以“抛掷一颗骰子出现奇数点或偶数点”是必然事件，其概率为1.]
5．从甲、乙等5名学生中随机地选出2人，则甲被选中的概率为( )
A．
B．
C．
D．1
C [设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)共10种，甲被选中的情况有4种，故甲被选中的概率为＝.]
二、填空题
6．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．
0.77,0.02 [设生产中出现一级品为事件A，出现二级品为事件B，则A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.98，P(B)＝0.21，所以P(A)＝0.77.
出现三级品的概率P＝1－0.98＝0.02.]
7．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至少一颗骰子出现偶数点的概率是________．
[至少一颗骰子出现偶数点的对立事件为都出现奇数点，出现奇数点的概率是×＝，故至少一颗骰子出现偶数点的概率是1－＝.]
8．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，不是2面涂有颜色的小正方体的概率是________．
[将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从中任取一个出现的可能结果有27种，每种试验结果出现的可能性相同，设事件A为“恰有2面涂有颜色的小正方体”，则事件A的对立事件是事件“不是2面涂有颜色的小正方体”，又事件A所包含的可能结果有12种，所以从这些小正方体中任取1个不是恰有2面涂有颜色的小正方体的概率是.]
三、解答题
9．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
[解] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，则“射中10环或7环”的事件为A＋B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
[解] 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为事件A，B，C，D，且彼此互斥，则有
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
1．现有历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A．
B．
C．
D．
D [记取到历史、生物、地理、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B，D，E概率的和．
所以P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)
＝＋＋＝.]
2．高二某班的50名同学参加了2020年《学业水平测试》化学科目的考试，考试分A，B，C，D四个等级．考试结果如下：获得D等级的同学的概率为0.02，获得B等级以下的同学的概率为0.7.则获得C等级的同学的概率是( )
A．0.3
B．0.68
C．0.7
D．0.72
B [设“获得D等级的”为事件A，“获得B等级以下的”为事件B，“获得C等级的”为事件C，则A，C为互斥事件，且A＋C＝B．
∴P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)．
∴P(C)＝P(B)－P(A)＝0.7－0.02＝0.68.]
3．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
[由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1－＝，结合P(A)＝2P(B)，解得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝.]
4．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．
[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝＋＝.
由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝.]
5．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次．求所得球：
(1)3只球颜色全相同的概率；
(2)3只球颜色不全相同的概率．
[解] (1)“3只球颜色全相同”只可能是这样的3种情况：
“3只球全是红球”(事件A)，
“3只球全是黄球”(事件B)，
“3只球全是白球”(事件C)，
且它们之间是互斥关系，
故“3只球颜色全相同”这个事件可记为A＋B＋C．
由于事件A，B，C不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又由于红、黄、白球个数一样，有放回地抽取3次共有27种结果，故不难得到P(A)＝P(B)＝P(C)＝，故P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝.
(2)记“3只球颜色不全相同”为事件D，则事件为“3只球颜色全相同”，显然事件D与是对立事件，且P()＝P(A＋B＋C)＝.
所以P(D)＝1－P()＝1－＝.故3只球颜色不全相同的概率为.
1/5课时分层作业(四十七) 独立事件
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
C [①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，P(N)＝.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．]
2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．
B．
C．
D．
A [“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝＝，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A．]
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A．
B．
C．
D．
A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.]
4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响，那么其中恰有1人击中目标的概率是( )
A．0.49
B．0.42
C．0.7
D．0.91
B [由题意可知，两人恰有1人击中目标有两种情况：甲击中乙没击中或甲没击中乙击中，设“恰有1人击中目标”为事件A，则P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]
5．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A．
B．
C．
D．
C [记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件，
则P()＝P(A)＋P(B)＋P()＝，则灯亮的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－＝.]
二、填空题
6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．
0.864 [可知K，A1，A2三类元件是否正常工作相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－(1－0.8)2＝0.96，
所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.]
7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
[从甲袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝；从乙袋中任取一球是白球的概率为＝，是红球的概率为＝，故所求事件的概率为×＋×＝.]
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．
0.902 [设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
∴至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]
三、解答题
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
[解] 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
[解] 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件．
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人恰有1人射中”2种情况，
其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为P＝P()＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A．
B．
C．
D．
D [由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．
又P()＝，∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.]
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A．
B．
C．
D．
D [设体型合格为事件A，身体关节构造合格为事件B，A与B为独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，所以两项中至少有一项合格的概率为P＝1－P()＝1－P()·P()＝1－×＝.]
3．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是________．
[由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.通过分析跳三次停在A荷叶上只有这两种情况，所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.]
4．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
0.18 [记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]
5．在一个选拔项目中，每个选手都要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；
[解] 设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，
则P(B)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()
＝××＝.
(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
则P(C)＝P(＋A1＋A1A2)
＝P()＋P(A1)＋P(A1A2)
＝＋×＋××＝.
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