章末综合测评(一) 平面向量
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2 C．1 D．0
D [根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．]
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
D [2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.]
3．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝( )
A．2
B．
C．
D．
D [设||＝x，
则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.]
4
.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝2
B．＝
C．＝3
D．2＝
B [因为D为BC的中点，所以＋＝2.
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.]
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．
B．
C．
D．
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x，2＋y)，a＋b＝(3，－1)，
由已知可得
解得即c＝.]
6．一质点受到平面上的三个力f
1，f
2，f
3的作用而处于平衡状态．已知f
1与f
2的夹角为60°，且f
1，f
2的大小分别为2
N和4
N，则f
3的大小为( )
A．6
N
B．2
N
C．2
N
D．2N
D [由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|f
3|2＝|－f
1－f
2|2＝|f
1|2＋|f
2|2＋2|f
1|·|f
2|·cos
60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|f
3|＝2
N．]
7．如图，已知点
C
为△OAB边AB上一点，且AC＝2CB，若存在实数m，n，使得＝m＋n，则m－n的值为( )
A．－
B．0
C．
D．
A [＝＋＝＋＝＋＋＝＋，所以m－n＝－.故选A．]
8．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1)
B．(9，－1)
C．(9，1)
D．(－9，－1)
C [设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
AB [对于A，∵向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，∴a＝e，b＝－e
，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，要使非零向量a，b是共线向量，由共线定理即可成立，故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)如果x＝y＝0则不能使a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，＝a
，＝b，如果AB，CD是梯形的上下底，则正确，否则错误；故选AB．]
10．已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是( )
A．(1，0)
B．(0，1)
C．(－1，0)
D．(0，－1)
AC [a＝λ1e1＋λ2e2＝(－λ1＋2λ2，2λ1＋λ2)，
若a＝(1，0)，则
，解得λ1＝－，λ2＝，λ1λ2<0，满足题意；
若a＝(0，1)，则
，解得λ1＝，λ2＝，λ1λ2>0，不满足题意；
因为向量(－1，0)与向量(1，0)共线，所以向量(－1，0)也满足题意．故选AC．]
11．如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是( )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝－
ABD [＝＋＝＋，A正确；
＝＋＝＋＝＋＝＋，B正确；
＝＋＋＝－＋＋＝－，C错误；
＝＋＋＝－＋＋＝－，D正确．故选ABD．]
12.
△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足＝3a，＝3a＋b，则下列结论中正确的有( )
A．a为单位向量
B．b∥
C．a⊥b
D．⊥
ABD [对于A，∵＝3a，∴a＝，则＝＝1，A正确；
对于B，∵＝3a＋b＝＋b，∴b＝－＝，∴b∥，B正确；
对于C，a·b＝·＝×32×cos≠0，所以a与b不垂直，C错误；
对于D，(6a＋b)·＝·＝2－2＝0，所以，(6a＋b)⊥，D正确．
故选ABD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.
8 [向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，则a·b＝0，－4×6＋3m＝0，m＝8.]
14．已知点A(2，5)，B(3，－2)，则向量＝________，与向量同向的单位向量为________．(本题第一空2分，第二空3分)
(1，－7) [由向量的坐标定义，可知：＝(3－2，－2－5)＝(1，－7)．
∵||＝＝5.∴与向量同向的单位向量为：＝＝.]
15．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
2 [法一：·＝·(－)＝2－2＝22－×22＝2.
法二：以A为原点建立平面直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)．
∴＝(1，2)，＝(－2，2)．
从而·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.]
16．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
8 [∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)x＝0，解得x＝4，
∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．
∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，
即6－3(－2－y)＝0，
解得y＝－4，
∴＝(y－x，x－y)＝(－8，8)，
∴||＝8.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)．
(1)求证：a－b⊥a－c垂直；
(2)若a＋λb与c是共线向量，求实数λ的值．
[解] (1)证明：因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，c＝(1，－1)，
所以a－b＝(4，－1)，a－c＝(1，4)．
从而(a－b)·(a－c)＝4×1＋(－1)×4＝0，
且(a－b)与a－c均为非零向量，
所以a－b⊥a－c垂直．
(2)因为a＝(2，3)，b＝(－2，4)，所以a＋λb＝(2－2λ，3＋4λ)，
又c＝(1，－1)，且a＋λb与c是共线向量，
所以(2－2λ)×(－1)－(3＋4λ)×1＝0，
解得λ＝－.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解] (1)由题设，知＝(3，5)，＝(－1，1)，则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设，知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
19．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A
＝
60°，D
为线段
BC
中点，E为线段AD中点．
(1)
求·的值；
(2)
求·的值．
[解] (1)由题意得＝2，＝4，·＝cos
60°＝4×2×＝4，
＝(＋)，＝－.
∴·＝(＋)(－)
＝(2－2)＝×(16－4)＝6.
(2)＝＋＝－＋
＝×＋＝－.
＝＋＝－＋
＝×＋＝－＋.
·＝
＝－2＋·－2＝－.
20．(本小题满分12分)设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得＜0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＜0.(
)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos
60°＝1.
∴(
)式化简得：2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．
对比系数得，∴
∴所求实数t的取值范围是∪.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，已知A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，AD⊥BC于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)求证：AD2＝BD·DC．
[解] (1)设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5，5)，
＝(x＋1，y＋2)．
因为AD⊥BC，所以·＝0，
即5(x－2)＋5(y－4)＝0.
所以x＋y＝6.
①
又因为B，D，C三点共线，
所以∥，
所以5(x＋1)－5(y＋2)＝0，
所以x－y＝1.
②
联立①②，解得所以点D的坐标为.
(2)证明：因为＝，
＝，＝，
所以||2＝＋＝，
||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2))))＝，
||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝，
从而||·||＝×＝.
故||2＝||·||，
即AD2＝BD·DC．
22．(本小题满分12分)已知A(－1，0)，B(0，2)，C(－3，1)，·＝5，2＝10.
(1)求D点坐标；
(2)若D点在第二象限，用，表示；
(3)若＝(m，2)，3＋与垂直，求的坐标．
[解] (1)设D(x，y)，＝(1，2)，＝(x＋1，y)．
由题得
即
∴或
∴D点坐标为(－2，3)或(2，1)．
(2)∵D点在第二象限，
∴由(1)知D(－2，3)．
∴＝(－1，3)．
∵＝(－2，1)，
设＝m＋n，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，
∴∴
∴＝－＋.
(3)∵3＋＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)，＝(m，2)，(3＋)·＝0，
∴m＋14＝0，∴m＝－14.
∴＝(－14，2)．
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