章末综合测评(二) 三角恒等变换
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知sin＝，则cos＝( )
A． B． C． D．
D [cos＝cos2＝1－2sin2＝1－＝.]
2．已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．
B [tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.]
3．已知α∈，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝( )
A．
B．
C．
D．
B [由2sin
2α＝cos
2α＋1，得4sin
αcos
α＝1－2sin2α＋1，即2sin
αcos
α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos
α＝，所以2sin
α＝1－sin2α，解得sin
α＝，故选B．]
4．已知0＜α＜＜β＜π，又sin
α＝，cos(α＋β)＝－，则sin
β等于( )
A．0
B．0或
C．
D．0或－
C [因为0＜α＜＜β＜π，sin
α＝，
cos(α＋β)＝－，
所以cos
α＝，sin(α＋β)＝或－.
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)·sin
α＝或0.
因为＜β＜π，所以sin
β＝.]
5．已知A，B均为钝角，sin
A＝，sin
B＝，则A＋B的值为( )
A．
B．
C．
D．
A [因为＜A＜π，＜B＜π，
所以cos
A＝－，cos
B＝－.
所以cos(A＋B)＝cos
Acos
B－sin
Asin
B
＝－×－×＝.
又因为π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.]
6．若＝，则tan＝( )
A．－2
B．2
C．－
D．
C [因为＝，
所以＝，
所以tan
α＝－3.
所以tan
＝＝＝－.]
7．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝( )
A．
B．
C．
D．
D [因为θ∈，
所以2θ∈，
所以cos
2θ≤0，
所以cos
2θ＝－
＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(7),8))))＝－.
又cos
2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
所以sin
θ＝.]
8．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,3cos
A＋4sin
B＝1，则C的大小为( )
A．
B．
C．和
D．和
A [由已知可得(3sin
A＋4cos
B)2＋(3cos
A＋4sin
B)2＝62＋12，即9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
所以sin(A＋B)＝.所以在△ABC中sin
C＝.
所以C＝或C＝.
又1－3cos
A＝4sin
B＞0，
所以cos
A＜.
又＜，
所以A＞，所以C＜，
所以C＝不符合题意，
所以C＝.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝2m·n＋＋1，下列命题中正确的是( )
A．f＝2－f(x)
B．f的图象关于x＝对称
C．若0D．若x1，x2，x3∈，则f(x1)＋f(x2)>f(x3)
BD [函数f＝2m·n＋＋1＝2sin＋1，
对于A：当x＝0时，f＝f＝1,2－f＝2－f＝1＋，故A错；
对于B：f＝2sin＋1，当x＝时，对应的函数值取得最小值为－1，所以B正确；
对于C：x∈时，2x－∈
，所以函数f＝2sin＋1在不单调，故C错；
对于D：因为x∈，所以2x－∈，
∴f(x)∈，
又2>3，即2f(x)
min>f(x)
max，x1，x2，x3∈，f(x1)＋f(x2)
>f(x3)恒成立，故D对．
故选BD.]
10．关于函数f(x)＝cos＋cos，下列命题中正确的是( )
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)在区间上是减函数
D.
将函数y＝cos
2x的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合
ABCD [f(x)＝cos＋cos＝cos＋sin＝cos－sin＝＝cos＝cos，
∴函数f(x)的最大值为，最小正周期为π，故A、B正确；
又当x∈时，2x－∈[0，π]，
∴函数f(x)在上是减函数，故C正确；
y＝cos
＝cos＝f(x)，故D正确.
故选ABCD.]
11．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为( )
A．
B．
C．
D．
AC [由题意知f(x)＝cos
2xsin
2x＋cos
4x
＝sin
4x＋cos
4x＝sin
，
因为f(α)＝sin
＝，
所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z.
因为α∈(0，π)，所以α＝或α＝＋＝，故选AC．
]
12．已知函数f(x)＝sin
2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)在区间上是减函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到
BC [f(x)＝sin
2x－2sin2x＋1＝sin
2x＋cos
2x＝sin
对于A，因为ω＝2，则f的最小正周期T＝π，结论错误；
对于B，当x∈时，2x＋∈，
则f(x)在区间上是减函数，结论正确；
对于C，因为f＝为f的最大值，则f的图象关于直线x＝对称，结论正确；
对于D，设g(x)＝sin
2x，则g＝sin
2＝sin＝cos
2x≠f(x)，结论错误．故选BC．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．化简：·＝________.
tan
2α [原式＝·＝tan
2α.]
14．tan
19°＋tan
41°＋tan
19°tan
41°的值为________．
[tan
19°＋tan
41°＝tan
60°(1－tan
19°tan
41°)
＝－tan
19°tan
41°，∴原式＝－tan
19°tan
41°＋tan
19°tan
41°＝.]
15．已知函数f(x)＝sin
ωx，g(x)＝cos
ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为________；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)
2π [函数f(x)＝sin
ωx，g(x)＝cos
ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，
当ω＝1时，f(x)＝sin
x，g(x)＝cos
x.
所以A，B间的距离为一个周期2π，高为
·＋·＝2.所以S△ABC＝·2π·＝2π.
如图所示：
①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；
②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
则＝2·，
解得ω的最小值为
.]
16．已知＝－，则sin的值是________．
[由＝＝＝－，得3tan2α－5tan
α－2＝0，
解得tan
α＝2，或tan
α＝－.
sin＝sin
2αcos＋cos
2αsin
＝
＝
＝，
当tan
α＝2时，上式＝×＝；
当tan
α＝－时，
上式＝×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋1)))＝.
综上，sin＝.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求－sin
10°·的值．
[解] 原式＝－2sin
10°·
＝－2sin
10°·
＝－2cos
10°＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin
x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
[解] (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin
xcos
θ＋cos
xsin
θ＝－sin
xcos
θ＋cos
xsin
θ，故2sin
xcos
θ＝0，所以cos
θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此，函数的值域是.
19．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝(sin
α，1)，m与n为共线向量，且α∈[－π，0]．
(1)求sin
α＋cos
α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为m与n为共线向量，
所以·1－(－1)·sin
α＝0，
所以sin
α＋cos
α＝.
(2)因为1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2＝，
所以sin
2α＝－，所以(sin
α－cos
α)2＝(sin
α＋cos
α)2－4sin
αcos
α＝－2×＝.
又因为α∈[－π，0]，sin
α·cos
α<0，
所以α∈，所以sin
α－cos
α<0，
所以sin
α－cos
α＝－.
所以＝.
20．(本小题满分12分)在①函数f＝sin的图象向右平移个单位长度得到g的图象，g图象关于原点对称；②向量m＝，n＝，ω>0，f(x)＝m·n；③函数f＝cos
ωxsin－这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知________，函数f的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若0<θ<，且sin
θ＝，求f(θ)的值；
(2)求函数f(x)在上的单调递减区间．
[解] 方案一：选条件①
由题意可知，T＝＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝sin，∴g(x)＝sin，
又函数g图象关于原点对称，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
∵<，∴φ＝，∴f(x)＝sin，
(1)∵0<θ<，sin
θ＝，∴θ＝，∴f(θ)＝f＝sin＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f(x)在上的单调递减区间为，.
方案二：选条件②
∵m＝，n＝，
∴f(x)＝m·n＝sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx＝＝sin，
又T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin，
(1)∵0<θ<，sin
θ＝，∴θ＝，∴f(θ)＝f＝sin＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤，
∴函数f在上的单调递减区间为，.
方案三：选条件③
f(x)＝cos
ωxsin－
＝cos
ωx－
＝sin
ωxcos
ωx＋cos2ωx－＝sin
2ωx＋cos
2ωx
＝＝sin，
又T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin，
(1)∵0<θ<，sin
θ＝，∴θ＝，
∴f(θ)＝f＝sin＝；
(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0，得≤x≤，令k＝1，得≤x≤.
∴函数f在上的单调递减区间为，.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos
x(sin
x＋cos
x)－.
(1)若0＜α＜，且sin
α＝，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解] f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－
＝sin
2x＋－
＝sin
2x＋cos
2x＝sin.
(1)∵0＜α＜，sin
α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin＝sin＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
22．(本小题满分12分)如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
(1)将十字形的面积表示成θ的函数；
(2)求十字形的最大面积．
[解] (1)设S为十字形面积，
则S＝2xy－x2＝2sin
θcos
θ－cos2θ.
(2)S＝2sin
θcos
θ－cos2θ＝sin
2θ－cos
2θ－
＝×－
＝sin(2θ－φ)－(设φ为锐角且tan
φ＝)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝时，S最大．
即当θ＝＋时，十字形取得最大面积－.
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