章末综合测评(三) 解三角形
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
A [由正弦定理得＝，
所以sin
B＝＝>1，即sin
B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]
2．在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3，则cos
C的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
A [根据正弦定理，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
则有cos
C＝＝.]
3．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( )
A．或
B．
C．
D．
C [由＝，得sin
C＝.
∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.]
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为( )
A．6
B．12
C．4
D．2
A [法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin
B＝×4×2×sin
＝6.故选A．
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos
，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.故选A．]
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
B [由已知可得＝－，
即cos
A＝，b＝ccos
A．
法一：由余弦定理得cos
A＝，则b＝c·，
所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．
法二：由正弦定理，得sin
B＝sin
Ccos
A．
在△ABC中，sin
B＝sin(A＋C)，
从而有sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin
Ccos
A，
即sin
Acos
C＝0.在△ABC中，sin
A≠0，
所以cos
C＝0.由此得C＝，
故△ABC为直角三角形．]
6．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A．小时
B．1小时
C．小时
D．2小时
B [在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos
120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．]
7.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为( )
A．
B．
C．
D．
D [设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.
在△ABD中，由余弦定理，得
cos
A＝＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))－a2,2×\f(\r(3),2)a·\f(\r(3),2)a)＝.
又∵A为△ABC的内角，∴sin
A＝.
在△ABC中，由正弦定理得，＝.
∴sin
C＝·sin
A＝·＝.]
8．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为( )
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
A [如图，CD为“泉标”高度，设高为h米，由题意，CD⊥平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°
在△CBD中，BD＝h，在△CAD中，AD＝h，
在△ABD中，BD＝h，AD＝h，AB＝100，∠BAD＝60°，
由余弦定理可得3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，∴(h－50)(h＋100)＝0，
解得h＝50或h＝－100
(舍去)，故选A．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分)
9．在△ABC中，b＝2，B＝45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值可以为( )
A．2
B．
C．
D．2
BC [由题意得??2
10.
若△ABC中，
AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的可能取值为( )
A．2
B．
C．2
D．3
ABC [设BC＝x，则AC＝x.根据三角形的面积公式，
得S△ABC＝·AB·BCsin
B＝x.①
根据余弦定理，得cos
B＝＝＝.②
将②代入①，得S△ABC＝xeq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－x2,4x))))＝.
由三角形的三边关系，得解得2－2故当x＝2时，S△ABC取得最大值2，故选A．不选D；
当x＝1时，S△ABC＝，故选B；
当x＝2时，S△ABC＝2
，故选C，应选ABC．]
11．在△ABC中，a＝7，b＝8，cos
B＝－.
则( )
A．A＝
B．A＝
C．S△ABC＝6
D．S△ABC＝3
AC [在△ABC中，因为cos
B＝－，所以sin
B＝＝.
由正弦定理得sin
A＝＝.由题设知在△ABC中，因为sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
S△ABC＝×7×8×＝6，故选AC．]
12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则( )
A．sin∠CDB＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
BCD [因为cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，故A错误；
设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，
所以S△ABC＝S△DBC＝8，故B正确；
因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos＝－cos∠CDB＝，
在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AC＝2，
所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝＋2＋2＝8＋4，故C正确；
因为AB＝8为最大边，所以cosC＝＝－<0，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确.
故选BCD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．
a2＋b2C＝，且C为钝角，
∴cos
C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin
A＝5sin
B，则角C＝________.
[由3sin
A＝5sin
B，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cos
C＝＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)b))＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)b)),2×\f(5,3)b×b)＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.]
15．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
[如图，在△ABD中，由正弦定理有：＝，而AB＝4，∠ADB＝，
AC＝＝5，sin∠BAC＝＝，cos∠BAC＝＝，所以BD＝.
cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC)＝coscos∠BAC＋sinsin∠BAC＝.]
16．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝6cos
C，则＋＝________.
4 [∵＋＝6cos
C，
∴＝6·，
∴2a2＋2b2－2c2＝c2，
∴＋＝＋＝＝＝＝＝＝＝4.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin
Asin
B＋bcos2A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B．
[解] (1)由正弦定理得，sin2Asin
B＋sin
Bcos2A＝sin
A，即sin
B(sin2A＋cos2A)＝sin
A．
故sin
B＝sin
A，所以＝.
(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，
得cos
B＝.
由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.
可得cos2B＝，又cos
B>0，
故cos
B＝，所以B＝45°.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a＝3c，b＝，cos
B＝，求c的值；
(2)若＝，求sin(B＋)的值．
[解] (1)因为a＝3c，b＝，cosB＝，
由余弦定理cos
B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.
(2)因为＝，
由正弦定理＝，得＝，所以cos
B＝2sin
B．
从而cos2B＝(2sin
B)2，即cos2B＝4，故cos2B＝.
因为sin
B>0，所以cos
B＝2sin
B>0，从而cos
B＝.
因此sin＝cos
B＝.
19．(本小题满分12分)已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，＝
(1)求证：2a＝b＋c；
(2)若cos
A＝，S△ABC＝6，求a的值．
[解] (1)∵＝，∴2sin
A－sin
Acos
B＝sin
B＋sin
Bcos
A，
可得2sin
A＝sin
B＋sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝sin
B＋sin(A＋B)＝sin
B＋sin
C，
所以由正弦定理可得：2a＝b＋c.
(2)∵cos
A＝，A为三角形内角，
∴sinA＝＝，
又S△ABC＝6，∴6＝bcsin
A，∴bc＝20，
由余弦定理可得cos
A＝＝＝＝＝＝.
整理得a2＝24，解得a＝2(负值舍去)．
20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
[解] 如图所示，
设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
在△CBD中，由余弦定理得
cos
β＝
＝＝－，
∴sin
β＝.
而sin
α＝sin(β－60°)＝sin
βcos
60°－sin
60°cos
β＝×＋×＝.
在△ACD中，＝，
∴AD＝＝15(千米)．
所以这人还要再走15千米可到达城A．
21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2.
(1)试问cosA－cos
C是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出S＋S的最大值．
[解] (1)在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝4＋12－8cos
A＝16－8cos
A,
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cos
C，
16－8cos
A＝8－8cos
C，
则8＝8，∴cos
A－cos
C＝1；
所以cos
A－cos
C为定值1.
(2)S1＝×2×2sin
A＝2sin
A，
S2＝×2×2sin
C＝2sin
C，
则S＋S＝12sin2A＋4sin2C＝16－
由(1)知：cos
A＝1＋cos
C，代入上式得
S＋S＝16－12cos2A－42＝－24cos2A＋8cos
A＋12,
配方得S＋S＝－24＋14，
∴当cos
A＝时，S＋S取到最大值14.
22．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin
A＋cos
A＝2.
(1)求角A的大小；
(2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
[解] (1)依题意得2sin＝2，
即sin＝1，
∵0∴A＝.
(2)参考方案：选择①②.
由正弦定理＝，得b＝＝2.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
∴S△ABC＝absin
C＝×2×2×＝＋1.
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