章末综合测评(四) 复数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i<5i
B．a＝0?|a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
B [A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.]
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4
B．－
C．4
D．
D [因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，故z的虚部等于.]
3．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为z1＝z2，所以解得m＝1或m＝－2，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．]
4．如图，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,
0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
D [＝＋＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C对应的复数为－1＋3i.]
5．设复数z满足＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
C [由题意得z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，＝＝1，则x2＋(y－1)2＝1.故选C．]
6．若1＋x＋x2＝0，则1＋x＋x2＋…＋x100＝( )
A．0
B．1
C．－±i
D．±i
D [因为1＋x＋x2＝0，
所以x＝－±i，
又1＋x＋x2＋…＋x100
＝1＋x＋x2(1＋x＋x2)＋…＋x98(1＋x＋x2)
＝1＋x＝1＋
＝±i.]
7．复数2＋i与复数在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于( )
A．
B．
C．
D．
B [∵＝＝－i，
∴它在复平面上的对应点为B，
而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，
显然AO＝，BO＝，AB＝.
由余弦定理得cos
∠AOB＝＝，∴∠AOB＝.故选B．]
8．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．z1－是纯虚数或零
D [举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则1＝a－bi，故z1－1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．故D正确．]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．已知复数z的共轭复数为，则下列关系中一定正确的是( )
A．||＝|z|
B．z·≥0
C．＋z∈R
D．若＝z，则z2≥0
ABCD [设z＝x＋yi，(x，y∈R)，则＝x－yi，所以，||＝|z|＝，
z·＝(x＋yi)(x－yi)＝x2＋y2≥0,
＋z＝2x∈R，所以ABC正确；
因为＝z，所以y＝0，所以z2＝x2≥0，所以D正确，故选ABCD．]
10．复数z＝a－1＋3ai
(i为虚数单位，
a∈R)在复平面内对应的点Z可能经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
ABC [因为复数z在复平面内对应的点Z(a－1,3a)始终在直线3x－y＋3＝0上，因为该直线经过第一、二、三象限，所以故选ABC．]
11．如果复数z＝，则下面正确的是( )
A．z的共轭复数为－1＋i
B．z的虚部为－1
C．|z|＝2
D．z的实部为－1
ABD [因为z＝＝＝＝－1－i，
所以z的实部为－1，共轭复数为－1＋i，故选ABD．]
12．在复平面内，下列命题是真命题的是( )
A．若复数z满足∈R，则z∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝
D．若复数z∈R，则∈R
AD [对于A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，
若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A真命题；对于B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z?R，故B假命题；
对于C．若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；
对于D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题.
故选AD．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．
8 [a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.从而a＋b＝8.]
14．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
－1＋5i [因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以＝＝＝＝－1＋5i.
因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，
则|z|＝.]
15．向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按顺时针方向旋转90°，得到.则向量对应的复数的幅角主值为__________
[向量对应的复数为＝＝－(－1＋i)i＝1＋i＝.所以该幅角主值为.]
16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
4i [设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，
即解得∴m＝4i.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋；
(3)
.
[解] (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)1
010
＝－1＋i－1
＝－2＋i.
(3)＝eq
\f(1,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))))))＝
＝＝＝－－i.
18．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
[解] (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
19．(本小题满分12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
[解] (1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，
∵(1＋3i)z是纯虚数，
∴3－3b＝0且9＋b≠0，
则b＝1，
∴z＝3＋i.
(2)ω＝＝＝＝－i.
∴|ω|＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))))＝.
20．(本小题满分12分)已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
[解] (1)z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋i(cos
2θ－1)＝－1－2sin2θ·i.
(2)点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，
又θ∈(0，π)，
∴sin
θ>0，
因此sin
θ＝，
∴θ＝或θ＝π.
21．(本小题满分12分)已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求?ABCD的面积．
[解] (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴
解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos
B，
∴cos
B＝＝＝＝.
∴sin
B＝，
∴S?ABCD＝||||sin
B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
22．(本小题满分12分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)．
(1)若复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a的取值范围；
(2)若复数|z1|＝1,
arg
z1＝θ(0≤θ≤π)，求|z－z1|的取值范围．
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，＝×(x＋yi)(2＋i)＝×[(2x－y)＋(x＋2y)i]，
∵z＋2i，均为实数，
∴
解之得
∴z＝4－2i.
(1)(z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝16－(a－2)2＋8(a－2)i＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
∵(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，
∴
解之得2
即实数a的取值范围是(2,6)．
(2)因为|z1|＝1,
arg
z1＝θ(0≤θ≤π)，
所以z1＝cos
θ＋isin
θ.
z－z1＝(4－cos
θ)－(2＋sin
θ)i，
则|z－z1|2＝(4－cos
θ)2＋[－(2＋sin
θ)]2
＝21＋4sin(θ－φ)，
∴21－4<|z－z1|2<21＋4，
∴2－1<|z－z1|<2＋1.
1/9