章末综合测评(六) 统
计
(满分:150分 时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某次体检5位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是( )
A.1.74
B.1.75
C.1.76
D.1.77
C [将5位同学的身高按照从小到大的顺序排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80,则位于中间的数是1.76,即中位数是1.76.]
2.当前,国家正分批修建保障性住房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、1
80户.第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,若采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A.30
B.40
C.45
D.50
B [从甲社区中抽取低收入家庭的户数为×90=40.]
3.已知一组数据8,9,10,x,y的平均数为9,方差为2,则x2+y2=( )
A.162
B.164
C.168
D.170
D [由题意知
解得x2+y2=170.]
4.如图是2020年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述正确的是( )
①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省只有1个;
②与去年同期相比,2020年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长;
③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省;
④2019年同期A省的GDP总量也是第三位.
A.①②
B.②③④
C.②④
D.①③④
B [①2020年第一季度GDP总量和增速居同一位的省有2个,B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位,故①错误;由题图知②正确;由题图计算2019年同期五省的GDP总量,可知前三位为D省、B省、A省,故③正确;由③知2019年同期A省的GDP总量是第三位,故④正确.故选B.]
5.已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A,B,C三个等级,现针对某加工厂同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测,采用分层抽样的方法进行抽取,设从三个等级A,B,C中抽取的箱数分别为m,n,t,若2t=m+n,则420箱中等级为C级的箱数为( )
A.120
B.140
C.160
D.180
B [由2t=m+n,可知等级为C级的腌菜箱数占全部箱数的,故420箱腌菜中等级为C的腌菜箱数为420×=140.]
6.为了解学生“阳光体育”活动的情况,随机统计了n名学生的“阳光体育”活动时间(单位:分钟),所得数据都在区间[10,110]内,其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在[10,35)内的频数为80,则n的值为( )
A.700
B.800
C.850
D.900
B [根据频率分布直方图,知组距为25,所以活动时间在[10,35)内的频率为0.1.因为活动时间在[10,35)内的频数为80,所以n==800.故选B.]
7.2016年1月1日我国全面实施二孩政策后,某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中,30岁以下的约2
400人,30岁至40岁的约3
600人,40岁以上的约6
000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查,已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60,则N=( )
A.180
B.186
C.194
D.200
D [由题意得=,解得N=200.]
8.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1,x2,…,xn的平均数
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数
B [标准差能反映一组数据的稳定程度.]
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.)
9.甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表,某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
ABC [甲、乙两班学生成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均数相同,A正确;s=191>110=s,甲班成绩不如乙班稳定,即甲班的成绩波动较大,B正确.
甲、乙两班人数相同,但甲班的中位数为149,乙班的中位数为151,从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班,C正确;由题表看不出两班学生成绩的众数,D错误.故选ABC.]
10.在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标来显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( )
A.平均数≤3
B.平均数≤3且标准差s≤2
C.平均数≤3且最大值与最小值的差小于或等于2
D.众数等于1且极差小于或等于4
CD [对于A,举反例:0,0,0,0,2,6,6,其平均数=2≤3,不符合指标.
A错;对于B,
举反例:0,3,3,3,3,3,6,其平均数=3,且标准差s=≤2,B错;对于C,若最大值与最小值的差等于0或1,在≤3的条件下,显然符合指标;若最大值与最小值的差等于2且≤3,则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能:(1)0,2,(2)1,3,(3)2,4,符合指标,
C对;对于D,若众数等于1且极差小于或等于4,则最大值不超过5,符合指标,D对.
故选CD.]
11.
AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述正确的是( )
A.这12天中有6天空气质量为“优良”
B.这12天中空气质量最好的是4月9日
C.这12天的AQI指数值的中位数是90
D.从4日到9日,空气质量越来越好
ABD [由图可知,AQI不大于100天有6日到11日,共6天,所以A对;
AQI最小的一天为9日,所以B对;中位为是=99.5,C错.从图中可以4日到9日AQI越来越小,D对.所以选ABD.]
12.某地区经过一年的建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中正确的是( )
A.建设后,种植收入减少
B.建设后,其他收入增加了一倍以上
C.建设后,养殖收入增加了一倍
D.建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
BCD [设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知:
种植收入
养殖收入+第三产业收入
养殖收入
其他收入
建设前经济收入
0.6a
0.36a
0.3a
0.04a
建设后经济收入
0.74a
1.16a
0.6a
0.1a
根据上表可知B、C、D结论均正确,结论A不正确,故选BCD.]
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.下列数据的70%分位数为________.
20,14,26,18,28,30,24,26,33,12,35,22.
28 [把所给的数据按照从小到大的顺序排列可得:
12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35,
因为有12个数据,所以12×70%=8.4,不是整数,所以数据的70%分位数为第9个数28.]
14.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为________.
400 [由题意可得=,解得z=400.]
15.某高中在校学生有2
000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的,为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人.
36 [根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×=36.]
16.某班有48名学生,在一次考试后统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的分数登记错了,甲实际得了80分却记成了50分,乙得了70分却记成了100分,更正后平均分为__________.方差分别为________.
70 50 [平均数没有变化、方差有变动.
登记错了的情况下,s2=[…+(50-70)2+(100-70)2+…]=75,
实际上,s2=[…+(80-70)2+(70-70)2+…]=50.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出1盒该产品获得的利润为30元,未售出的产品,每盒亏损10元.该大学生通过查询资料得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该大学生为这个开学季购进了160盒该产品,以x(单位:盒,100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的众数和平均数;
(2)将y表示为x的函数;
(3)根据直方图估计利润y不少于4
000元的概率.
[解] (1)由题中频率分布直方图得,这个开学季内市场需求量x的众数是150盒,
需求量在[100,120)内的频率为0.005
0×20=0.1,
需求量在[120,140)内的频率为0.010
0×20=0.2,
需求量在[140,160)内的频率为0.015
0×20=0.3,
需求量在[160,180)内的频率为0.012
5×20=0.25,
需求量在[180,200]内的频率为0.007
5×20=0.15.
则平均数=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153(盒).
(2)因为每售出1盒该产品获得的利润为30元,未售出的产品,每盒亏损10元,
所以当100≤x<160时,y=30x-10×(160-x)=40x-1
600;
当160≤x≤200时,y=160×30=4
800.
所以y=
(3)因为利润y不少于4
000元,所以当100≤x<160时,由40x-1
600≥4
000,解得140≤x<160;
当160≤x≤200时,y=4
800>4
000恒成立,所以140≤x≤200时,利润y不少于4
000元.
故由(1)知利润y不少于4
000元的概率P=1-0.1-0.2=0.7.
18.(本小题满分12分)某初级中学共有学生2
000名,各年级男、女生人数如下表:
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应在初三年级抽取多少名?
[解] (1)∵=0.19,∴x=380.
(2)初三年级人数为y+z=2
000-(373+377+380+370)=500,现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,应在初三年级抽取的人数为×500=12(名).
19.(本小题满分12分)2016年8月7日,在里约奥运会射击女子10米气手枪决赛中,中国选手张梦雪以199.4环的总成绩夺得金牌,为中国代表团摘得本届奥运会首金,俄罗斯选手巴特萨拉斯基纳获得银牌.下表是两位选手的其中10枪成绩.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
张梦雪
10.2
10.3
9.8
10.1
10
9.3
10.9
9.9
10.3
9.2
巴特萨拉斯基纳
10.1
10
10.4
10.2
9.2
9.2
10.5
10.2
9.5
9.7
(1)请计算两位射击选手的平均成绩,并比较谁的成绩较好;
(2)请计算两位射击选手成绩的方差,并比较谁的射击情况比较稳定.
[解] (1)张=×(10.2+…+9.2)=10,巴=×(10.1+…+9.7)=9.9,可知张梦雪的成绩较好.
(2)s=×(0.22+0.32+(-0.2)2+0.12+0+(-0.7)2+0.92+(-0.1)2+0.32+(-0.8)2)=0.222,
s=×(0.22+0.12+0.52+0.32+(-0.7)2+(-0.7)2+0.62+0.32+(-0.4)2+(-0.2)2)=0.202.
因为s>s,所以巴特萨拉斯基纳成绩较稳定.
20.(本小题满分12分)根据空气质量指数AQI(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
AQI
0~50
51~100
101~150
151~200
201~250
251~300
>300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅵ2
Ⅴ
状况
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的AQI数据按照区间[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图.
(1)求直方图中x的值;
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数.
[解] (1)根据频率分布直方图可知:
x=÷50=.
(2)一年中空气质量为良和轻微污染的天数分别是×50×365=119(天);×50×365=100(天).
21.(本小题满分12分)从某高校自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,把成绩分组,得到的频率分布表如下:
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.05
第2组
[165,170)
①
0.35
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.20
第5组
[180,185]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)求出频率分布表中①②位置的相应的数据;
(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内?
(3)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中利用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮面试,求从第3、4、5组分别抽取多少人进行第二轮面试.
[解] (1)由题意知第2组的频数为100-5-30-20-10=35;第3组的频率为1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30.
(2)第1组和第2组的频数和为40,第4组和第5组的频数和为30,所以这次笔试成绩的中位数落在第3组内.
(3)因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样法在60名学生中抽取6名学生,从第3组抽取×6=3(人),从第4组抽取×6=2(人),从第5组抽取×6=1(人).
所以从第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进行第二轮面试.
22.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面频数直方图:
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),
n表示购机的同时购买的易损零件数.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
[解] (1)当x≤19时,y=3
800;当x>19时,y=3
800+500(x-19)=500x-5
700,
所以y与x的函数解析式为y=
(x∈N).
(2)由频数直方图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,
故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800,20台的费用为4
300,10台的费用为4
800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3
800×70+4
300×20+4
800×10)=4
000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4
000,10台的费用为4
500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4
000×90+4
500×10)=4
050.
比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
1/12