章末综合测评(七) 概 率
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1
534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石
B．169石
C．338石
D．1
365石
B [因为样品中米内夹谷的比例为，所以这批米内夹谷为1
534×≈169(石)．]
2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
B [某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.]
3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
C [“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件．]
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为( )
A．
B．
C．
D．
D [∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，
∴P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]
5．2020年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )
A．
B．
C．
D．
D [最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝＝，所以选D．]
6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A．0.35
B．0.45
C．0.55
D．0.65
B [由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.]
7．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [两名同学分3本不同的书，试验的样本空间为Ω＝{(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)}，共8个样本点，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.]
8．端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )
A．
B．
C．
D．
B [“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P(
)＝P()P()·P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分)
9．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是
( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
ACD [对于A、C、D甲胜，乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．故选ACD．]
10．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法错误的是( )
A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件
ABC [由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选ABC．]
11.
给出下列四个命题，其中属于假命题的是( )
A．有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是
C．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是
D．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
ABD [A错，不一定是10件次品；B错，是频率而非概率；对于C，数字不小于6有6,7,8,9共4个样本点，而试验空间中样本点的总数为10，故P＝＝.所以C正确；D错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．]
12．已知：随机事件A发生的概率为P(A)＝0.4，则下列说法正确的是( )
A．若P(A＋B)＝0.7，则
P(B)＝0.3
B．若A，B为互斥事件，
P(A＋B)＝0.7,
P(B)＝0.3
C．若P(A)＝0.4，P(AB)＝0.24，则
P(B)＝0.6
D．若A，B为相互独立事件，P(A)＝0.4，P(A)＝0.24，则A、B中最多一个发生的概率为0.84
BD [∵A，B为互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
所以A错误，B正确；
对于C，只有A，B为相互独立事件，结论才成立，所以C错误；
对于D，∵A，B为相互独立事件，∴A、为相互独立事件，
因为P(A)＝0.4，P(A)＝0.24，所以P(A)＝P(A)
P()，所以P()＝0.6，
由对立事件的概率公式得P(B)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，
事件D“A、B中最多一个发生”的对立事件为“A、B同时发生”，
所以P(D)＝1－P()＝1－P(AB)＝1－P(A)
P(B)＝1－0.16＝0.84，所以D正确．故选BD]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为_______．
[当“时”的两位数字的和小于9时，则“分”的那两位数字和要求超过14，这是不可能的．所以只有“时”的和为9(即“09”或“18”)，“分”的和为14(“59”)；或者“时”的和为10(即“19”)，“分”的和为13(“49”或“58”)．共计有4种情况．因一天24小时共有24×60分钟，所以概率P＝＝.]
14．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是________．
[试验发生包含的事件是分别从两个集合中取1个数字，共有4×3＝12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的事件，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有3＋2＝5个，∴根据古典概型的概率公式得E发生的概率是.]
15．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．
(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；
(2)请你估计袋中红球接近________个．
；15 [(1)∵20×400＝8000，∴摸到红球的概率为：＝0.75，
因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，
所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是
；
(2)设袋中红球有x个，根据题意得：
＝0.75，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．∴估计袋中红球接近15个．]
16．将号码分别为1,2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中一次摸出两个球，其号码为x，y，则使不等式x＋y＞14成立的事件A发生的概率等于________．
乙从此袋中先后摸出两只球，第一次摸出的球号码为a；放回后，再从此袋中再摸出一个球，号码为b，则使不等式a＋b＞14成立的事件B发生的概率等于________．
[甲从袋中一次摸出两个球，其样本空间为Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(7,8)，(7,9)，(8,9)}；共有8＋7＋6＋…＋2＋1＝36个样本点，使不等式x＋y＞14成立的事件A＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)}，所以该事件发生的概率为P(A)＝＝；乙从此袋中先后摸出两只球，其样本空间为Ω2＝{
(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，共81个样本点．使不等式a＋b＞14成立的事件B＝{(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,7)，(8,8)，(8,9)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)}，
所以该事件发生的概率为P(B)＝.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.
[解] (1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
18．(本小题满分12分)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
[解] 记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.
(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率为：
P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
19．(本小题满分12分)随机抽取一个年份，对南京市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计南京市在该天不下雨的概率；
(2)南京市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，南京市不下雨的概率为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
20．(本小题满分12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
[解] (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知样本点共18个，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4个，故所求概率P＝＝.
21．(本小题满分12分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：
若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07.
(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；
(2)已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．
[解] (1)由题意知＝0.07，解得n＝200，
∴×100%＝30%，解得a＝18，
易知a＋b＝30，所以b＝12.
(2)由14＋a＋28>10＋b＋34得a>b＋2，又a＋b＝30且a≥7，b≥6，试验的样本空间为Ω＝{
(7,23)，(8,22)，(9,21)，…，(24,6)}，共18个样本点，而a>b＋2包含的样本点有(17,13)，(18,12)，…，(24,6)，共8个，则所求概率P＝＝.
22．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率
为＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
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