课时分层作业(一) 向量概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列各量中是向量的是( )
A．密度 B．电流 C．浮力 D．面积
C [只有浮力既有大小又有方向．]
2．若向量a与向量b不相等，则下列关于a与b的说法一定正确的是( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
D [若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向或长度至少有一个不同，所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也可能都是单位向量，故A，B，C都错误，但a与b一定不都是零向量．]
3．若＝且||＝||，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
B [由＝知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．]
4．下列命题中，正确的是( )
A．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
B．a，b是两个单位向量，则a与b相等
C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D．共线的单位向量必是相等向量
A [若a与b中有一个是零向量，则a与b共线．]
5．给出以下条件，不能使a与b共线的是( )
A．a＝b
B．|a|＝|b|
C．a与b的方向相反
D．|a|＝0或|b|＝0
B [根据相等向量一定是共线向量知A成立；
|a|＝|b|但方向可以任意，∴B不成立；
a与b反向必平行或重合，∴C成立；
由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.根据0与任何向量共线，∴D成立．]
二、填空题
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λμ＝________.
1 [∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，
则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线．
∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．]
7．如图所示，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________．
，，，，， [满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：，，，；
模长为3的向量有：，.]
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，f
分别是AD与BC的中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
，， [∵AB∥Ef
，CD∥Ef
，
∴与方向相反的向量为，，.]
三、解答题
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的方位．
[解] (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，∴＝，则B地相对于A地的方位是“北偏东60°距A地6千米”．
10．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCf
B都是正方形．
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)向量与是否相等？
[解] (1)与相等的向量有：，，.
(2)与共线的向量有：，，，，，，，，.
(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等．
1．(多选题)下列说法错误的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|＞|b|，则a＞b
D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反
ABCD [A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．D中，因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定.
D不正确．故选ABCD.]
2．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )
A．4π B．3π C．2π D．π
B [图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S圆环＝π(22－12)＝3π.]
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________
.
2 [结合菱形的性质可知||＝×2＝2.]
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．
[如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，
所以＝＝，
故||＝.]
5．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1
m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1
m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1
m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45°时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
[解] (1)如图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45°.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180°－α)的正多边形，故n(180°－α)＝(n－2)180°，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36°时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30°时需操作12次可回到出发点．
6．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
[证明] 因为＝，
所以||＝||且AB∥DC.
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB，
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
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