课时分层作业(四) 向量的数乘
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知λ∈R，则下列说法正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
C [当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]
2．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝( )
A．(b－a)
B．(b－a)
C．(a－b)
D．(a－b)
A [＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．]
3．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．P1，P2，P3
B．P1，P3，P4
C．P2，P3，P4
D．P1，P2，P4
D [∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴P1，P2，P4三点共线．]
4．已知a，b是两个不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
B [∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]
5．在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．a－b
A [法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，f
，则四边形AEDf
为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，
所以＝＋＝a＋b，故选A．
法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．]
二、填空题
6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
e2－e1 [∵＝，∴＝－＝3e2－2e1.
又∵＝2，∴＝e2－e1.]
7．＝________.
2b－a [＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]
8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________.
－2 [∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0.
又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，
即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.
∴∴]
三、解答题
9．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．
[证明] 如图所示．
∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC．
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
[解] (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又与有公共点A，∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，
若点B在线段AM上，则与同向，
∴||>||>0，∴λ>1.
1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心．
取BC的中点D，则＋＝2.
又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝，
∴＋＝3，即m＝3.]
2．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )
A．
B．
C．
D．
C [法一：因为＝，所以＝.
设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，
又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，
得，解得t＝λ＝，故选C．
法二：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，
因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，选C．]
3．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin
α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A．
B．
C．
D．
CD [因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin
α·b＝2λa－λb，所以解得sin
α＝－.
又α∈(0,2π)，故α可为或.选CD．]
4．(一题两空)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________.
[－＝2－2，∴3＝＋2，∴＝＋.]
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求＋的值．
[解] 法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.
由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.
法二：连接AD．因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·.
又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.
又＝，所以－＝－，所以＝＋.
比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3.
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