课时分层作业(五) 向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
D [∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，
∴e1·e2＝|e1||e2|cos
θ＝±1.]
2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝( )
A．
B．
C．－
D．±
D [(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.]
3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝( )
A．－
B．0
C．
D．1
C [∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，
∴a·b＝|a||b|cos
120°＝－.
又a·a＝|a|2＝1，
∴a·a＋a·b＝1－＝.]
4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是( )
A．－25
B．25
C．－60
D．60
A [∵||＝13，||＝5，||＝12，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形．
又cos∠ABC＝，
∴·＝||||cos(π－∠ABC)
＝13×5×＝－25.]
5．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·，
即|＋|2>|－|2，因为－＝，
所以|＋|>||；
当|＋|>||成立时，|＋|2>|－|2?·>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件，故选C．]
二、填空题
6．(一题两空)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________．
[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，
解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是(|b|cos
45°)＝××＝.]
7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
4 [由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，
∴(a－b)·(－a－b)＝0，
即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]
8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
－1 [在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos
30°＋5×2×cos
180°－12－2×2×cos
150°＝15－10－12＋6＝－1.]
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，
∴k＞0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．
1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．－8 B．8 C．－6 D．6
B [由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos
θ＝－，sin
θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin
θ＝2×5×＝8.]
2.
(多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是( )
A．在方向上的投影向量为－
B．·＝·
C．在方向上的投影向量为
D．·＝·
BCD [由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，||＝2，所以在上的投影向量为＝×＝，故C正确．因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故BD正确．]
3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．
[由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，
所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－|b|2，
所以a·b＝|a|·|b|cos
θ＝－|b|2，
所以cos
θ＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
[设||＝x(x＞0)，则·＝x，
所以·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.]
5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
[解] (1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos
120°－|b||c|cos
120°＝0，∴(a－b)⊥c.
(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.
∵a·c＝a·b＝b·c＝cos
120°＝－，
∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
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