课时分层作业(三) 向量的减法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．化简下列向量式，结果为0的个数是( )
①－＋；②＋＋－；③－－；④＋－.
A．1 B．2 C．3 D．4
D [①－＋＝0；
②＋＋－＝＋＝0；
③－－＝－(＋)＝0；
④＋－＝0.]
2．如图所示，在正方形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是( )
A．
B．
C．
D．
B [由已知得，
a－b＝－＝，c＝，
∴a－b＋c＝＋＝.]
3．如图，已知ABCDEf
是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于( )
A．b－c
B．b＋c
C．－b－c
D．－b＋c
A [＝＝＝－＝b－c.]
4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2
B．4
C．16
D．8
A [因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，||＝||＝2.]
5．如图，D，E，f
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
A [A项，＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0；
B项，－＋＝(＋)－＝－≠0；
C项，＋－＝＋(－)＝＋≠0；
D项，－－＝(－)－＝－＝＋≠0.]
二、填空题
6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)
＝ [以a，b为邻边的平行四边形是矩形，
矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|.]
7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.
5或9 [∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，
当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.]
8．如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
a＋c－b [因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.]
三、解答题
9．化简：
(1)－＋－；
(2)＋＋－.
[解] (1)－＋－＝(＋)－(＋)
＝－＝0.
(2)＋＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝0.
10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
[解] (1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，
使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.
所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接BD，Cf
，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
1．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．2
B．
C．
D．1
B [如图所示，|－|＝|＋|＝||，
又||＝1，||＝1，∠ABC′＝120°，
∴在△ABC′中，||＝.]
2.
(多选题)设a，b是非零向量，则下列不等式中恒成立的是( )
A．|a＋b|≤|a|＋|b|
B．|a|－|b|≤|a＋b|
C．|a|－|b|≤|a|＋|b|
D．|a|≤|a＋b|
ABC [由向量模的不等关系可得：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|，故B恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．令a＝－b，|a|＝2，则|a＋b|＝0，则D不成立．故选ABC．]
3．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
[如图，设＝a，＝b，＝a＋b，则＝－＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB．
∴△OAB为正三角形，设其边长为1,
则|a－b|＝||＝1，|a＋b|＝2×＝.∴＝＝.]
4．如图，D，E，f
分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于________．
或 [由图易知＝，∴－＝－＝，又＝，∴－＝.]
5．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
[解] 如图，作直径BD，连接DA，DC，
则＝－，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC．
∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴＝.
又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.
6/6课时分层作业(二) 向量的加法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，f
，G，H，则＋＝( )
A. B． C． D．
D [在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.
]
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反
A [因为a∥b且|a|＞|b|＞0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，因为|a|＞|b|，所以a＋b的方向仍与a相同．]
3．如图所示，在正六边形ABCDEf
中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1
B．2
C．3
D．2
D [由正六边形知＝，
所以＋＋＝＋＋＝，
所以|＋＋|＝||＝2.故选D.]
4．若向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2
km
B．向北偏东30°方向航行2
km
C．向北偏东60°方向航行2
km
D．向东北方向航行(1＋)
km
B [如图，易知tan
α＝，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.
又|a＋b|＝2
km，故选B.]
5．下列命题中正确的命题( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
B [对于A：若a与b的方向相反且a＋b＝0，故A错误；
对于B：＋＋＝＋＝0，所以B正确；
对于C：当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0，所以C错误；
对于D：只有当a与b同向时才相等．所以D错误；故选B.]
二、填空题
6．若a与b是互为相反向量，则a＋b＝________.
0 [由题意可知，a＋b＝0.]
7．如果||＝8，||＝5，那么||的取值范围为________．
[3,13] [根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．]
8．已知||＝||＝1，且∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
[如图所示：
＋＝，
|＋|＝||.在△OAC中，∠AOC＝30°，||＝||＝1，所以||＝.]
三、解答题
9．如图所示，两个力f
1和f
2同时作用在一个质点O上，且f
1的大小为3
N，f
2的大小为4
N，且∠AOB＝90°，试作出f
1和f
2的合力，并求出合力的大小．
[解] 如图所示，表示力f
1，表示力f
2，以OA，OB为邻边作?OACB，
则是力f
1和f
2的合力．
在△OAC中，||＝3，||＝||＝4，且OA⊥AC，则||＝＝5，
即合力的大小为5
N.
10．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，f
为BC的中点．求证：＋＝＋.
[证明] 如图所示，在四边形EABf
中，＝＋＋，
①
在四边形EDCf
中，
＝＋＋，
②
①＋②得
＋＝(＋＋)＋(＋＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，f
分别是AD，BC的中点，∴＋＝0，＋＝0，∴＋＝＋.
1．(多选题)已知△ABC是正三角形，下列等式中正确的是( )
A．|＋|＝|＋|
B．|＋|＝|＋|
C．|＋|＝|＋|
D．|＋＋|＝|＋＋|
ACD [|＋|＝||，|＋|＝||，从而||＝||，故A正确；||≠|＋|，故B不正确；画图(图略)可知C，D正确．]
2．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，错误的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
B [∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，∴A、C、D正确．]
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝________.
1 [在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1.]
4．(一题两空)已知△ABC
中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC是__________三角形；若点G是△ABC的重心，则＋＋＝________
.
等腰直角 0 [以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，则该四边形为正方形．∴∠BAC＝90°.
所以△ABC是等腰直角三角形；
如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.]
5．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
[解] (1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以||即|a＋e|最大，最大值是3.
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