课时分层作业(六) 平面向量基本定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
C [如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底．
]
2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
B [a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]
3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
D [易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴∴k＝－8.]
4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝( )
A．
B．2
C．
D．4
B [由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，
∴＝2.]
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A．
B．
C．
D．
A [∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.]
二、填空题
6．(一题两空)如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．
a＋b 2a＋c [由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.]
8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，f
，则＋＋＝________.
0 [原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.]
三、解答题
9．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，E，f
分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与.
[解] ＝＋＝＋
＝＋＝a＋b.
＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋a＝－a＋b.
10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.
[解] 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则
－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，
∴∴
∴a＝－b＋c.
1．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
ACD [B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．]
2．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A． B． C． D．
B [如图，分别在，上取点E，f
，
使＝，＝，
在上取点G，使＝，则EG∥AC，f
G∥AE，
∴＝＋＝，
∴M与G重合，∴＝＝.]
3．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
[设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－，∴∴m＝λ＝.]
4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
∪ [当a∥b时，设a＝mb，
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，
即e1＋2e2＝mλe1＋me2，
所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b是一组基底，
所以a与b不共线，所以λ≠.]
5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解] (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
6/6
