课时分层作业(八) 向量数量积的坐标表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )
A．14 B．11 C．10 D．5
B [a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，
∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]
2．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
C [因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．]
3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
B [由于2a＋b＝(4，2)，则b＝(4，2)－2a＝(2，0)，
则a·b＝2，|a|＝，|b|＝2.
设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.]
4．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量＝(－1，2)，＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝( )
A．
B．2
C．4
D．或4
D [在Rt△AOB中，＝(4，m－2)，
若∠OAB为直角时，·＝0，可得m＝4；
若∠AOB为直角时，·＝0，可得m＝；
若∠OBA为直角时，无解．]
5．以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则的坐标为( )
A．(－2，5)或(2，－5)
B．(－2，5)
C．(2，－5)
D．(－2，－5)或(2，5)
A [设＝(x，y)，由||＝||，得＝.
①
由⊥，得5x＋2y＝0
②
联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.
故＝(－2，5)或＝(2，－5)．]
二、填空题
6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos
θ＝________.
－ [因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，
则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos
θ＝＝＝－.]
7．已知a＝(4，2)，则与a垂直的单位向量b＝________.
或 [设b＝(x，y)，
则由得或]
8．已知＝(2，2)，＝(4，1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点的坐标为________．
(3，0) [设P(x，0)，所以·＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，·有最小值，此时P(3，0)．]
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝.
10．已知＝(4，0)，＝(2，2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ)．
(1)求·及在上的投影向量；
(2)求||的最小值．
[解] (1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
∴在上的投影向量为(||cos
θ)＝4××＝＝(1，)．
(2)||2＝(1－λ)22＋2λ(1－λ)·＋λ22＝16λ2－16λ＋16＝16＋12，
∴当λ＝时，||取到最小值为2.
1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2 B．－ C．0 D．
D [由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos，解得m＝.]
2．已知a＝(4，7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝( )
A．81
B．9
C．
D．9
B [因为a－b＝(9，9)，所以|a－b|＝＝9.]
3．(一题两空)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
1 1 [以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，
设E(1，a)(0≤a≤1)．
所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，
·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，
故·的最大值为1.]
4．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形Ef
GH，且E，f
，G，H分别是Af
，BG，CH，DE的中点，则·的值为________．
0 [如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立直角坐标系.
则A，D，延长Af
与BC交于点I，
tan∠f
AB＝＝＝，故I为BC中点．
直线AI：y＝x，同理可
得：直线GB：y＝－2x＋2，
直线HC：y＝x＋；
解得：f
，G，
故＝，＝，·＝0.]
5．已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取得最小值时的；
(2)根据(1)中求出的点C，求cos∠ACB．
[解] (1)因为点C是直线OP上一点，
所以向量与共线，设＝t，
则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t，7－t)，
＝－＝(5－2t，1－t)．
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2)．
(2)当＝(4，2)时，＝(－3，5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8.
所以cos∠ACB＝＝－.
3/6课时分层作业(七) 向量的坐标运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列选项中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
A [由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．]
2．已知点A＝，B＝，向量＝，则向量＝( )
A．
B．
C．
D．
A [依题意＝(2，2)，所以＝－＝(2，1)－(2，2)＝(0，－1)，故选A．]
3．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝( )
A．(2，4)
B．(2，－4)
C．(－2，4)
D．(－2，－4)
D [＝＋
＝－
＝(2，3)－(4，7)
＝(－2，－4)．]
4．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为( )
A．(5，14)
B．(5，4)
C．(7，14)
D．(7，4)
A [设B点坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5)，
∵＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2，3)＝(6，9)，
∴∴]
5．若向量a＝(x＋3，y－4)与相等，已知A(1，2)和B(3，2)，则x，y的值分别为( )
A．1，4
B．－1，4
C．1，－4
D．－1，－4
B [∵＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)＝(x＋3，y－4)，
∴解得]
二、填空题
6．(一题两空)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝____________，b＝________.
(3，5) (－2，－2) [由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，
∴2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，∴a＝(3，5)，
2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]
7.如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．
(－，1) [过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，
则x＝||cos
150°＝－，
y＝||sin
150°＝1.
所以的坐标为(－，1)．]
8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为________．
[设P(x，y)，则
＝(x－3，y＋2)，
＝(－8，1)＝，
∴
∴
∴P点的坐标为.]
三、解答题
9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求x的值；
(2)已知点P1(2，－1)，P2(0，5)，点P在线段P1P2上且||＝2||，求P点的坐标．
[解] (1)∵＝(2，0)，又∵a＝，
∴∴x＝－1.
(2)设P(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(－x，5－y)，
∵点P在线段P1P2上且||＝2||，
∴＝2，
∴∴
∴P.
10．已知四边形ABCD的顶点坐标为A，B，D，且＝λ(λ>0)．
(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；
(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．
[解] (1)因为A，B，所以＝，
设点C的坐标为，则＝，
而＝λ(λ>0)，所以
解得
因为点C在第一象限，所以1<λ<.
(2)由＝＋得2(－)＝3(－)，即2＝3，
若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且＝λ(λ>0)，
根据三角形相似得到＝λ，所以λ＝.
1．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝( )
A． B． C． D．
B [过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
]
2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．
(0，2) [因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以
即
所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．]
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________.
(－3，－5) [由向量的平行四边形法则可知
＝＋，
∴＝－
＝(1，3)－(2，4)
＝(－1，－1)，
∴＝－
＝(－1，－1)－(2，4)
＝(－3，－5)．]
4．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ1(3，4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，λ2∈R}，则M∩N等于________．
{(－2，－2)} [令(1，2)＋λ1(3，4)
＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，
即(1＋3λ1，2＋4λ1)
＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
∴
解得
故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．]
5．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
7/7
