沪教版七年级数学秋季班第2讲：整式的加减运算教师版

整式的加减运算
内容分析
本节课主要对同类项的概念和整式加减运算进行讲解，掌握去括号，添括号的法则，重点是能判断同类项，且能熟练的合并同类项，能准确的进行去括号， 添括号，难点是能根据题目的要求,正确熟练地进行整式的加减运算．
知识结构
1990767202247
模块一：合并同类项
知识精讲
1、同类项的概念
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
2、合并同类项及其法则
（1）把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项， 这个多项式就叫做几项式．
（2）合并同类项法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

例题解析

【例1】 下列各组中，两个代数式是同类项的为（ ）．
A ． ?mn 与mnp B ． 2x2 yz 与3yx2 z
C ． 33 a3b2 与33 b3a D ． ?52 与 x2
【难度】★
【答案】B
【解析】同类项的定义：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项， 与系数与字母系数无关，故选择 B．
【总结】本题考查了同类项的定义．
【例2】 下列说法中，错误的是（ ）．
A ．字母相同，次数也相同的项是同类项
B ．若a ? b ，则 1 xa yb 和? 1 xb ya 是同类项
3 7
? 1 ?2
C ． ? ?
?
? x3 yz 和5x3 yz 是同类项
6
?
D ． mx?1ny?2 与my?2 nx?1 不一定是同类项
【难度】★
【答案】A
【解析】同类项的定义：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项， 选项 A 偷换概念，故选择 A．
【总结】本题考查了同类项的概念．
【例3】 若单项式2xm yn 与?2x2 y3 的和为0 ，求m ? n 的值．
【难度】★
【答案】5．
【解析】由题意可知两个单项式可以相加，故为同类项，则：
m ? 2 ，n ? 3 ，故m ? n ? 5 ．
【总结】本题考查了同类项和合并同类项的概念．
【例4】 若3x2 ? 2x ? b ? (?x ? bx ? 1) 中不存在含 x 的项，则b ???．
【难度】★★
【答案】－3．
【解析】去括号，得： 3x2 ? 2x ? b ? x ? bx ? 1， 合并同类项，得： 3x2 ? (3 ? b)x ? (b ?1) ，
∵不存在含 x 的项， ∴ 3 ? b ? 0 ．
解得： b ? ?3 ．
【总结】本题考查了项的概念及存在条件．
【例5】 把3?a ? b?2 ? 2?a ? b?2 ? 7?b ? a?2 ? ?a ? b?2 按?a ? b?2 合并同类项，得（ ）．
A ． ?7a2 ? 7b2
B ． ?17a2 ?17b2
C ． ?7(a ? b)2
D ． 7(a ? b)2
【难度】★★
【答案】D
【解析】原式可转化为： 3(a ? b)2 ? 2(a ? b)2 ? 7(a ? b)2 ? (a ? b)2
? (3 ? 2 ? 7 ?1)(a ? b)2
? 7(a ? b)2 ．
【总结】本题考查了合并同类项的法则．
【例6】 如果a ? 0 ， ab ? 0 ，那么 b ? a ? 1 ? a ? b ? 3 的值等于 ．
【难度】★★
【答案】－2．
【解析】由a ? 0 ， ab ? 0 ，得： b ? 0
?原式 ? b ? a ? 1 ? a ? b ? 3 ? ?2 ．
【总结】本题考查了绝对值的化简和合并同类项．
5231891-603357【例7】 已知3xa ?1 yb?2 与 2 x2 是同类项，求2a2b ? 3a2b ? 1 a2b 的值．
【难度】★★
【答案】9．
5
?a ? 1 ? 2
2
?a ? ?1
【解析】由已知得： ?
?b ? 2 ? 0

， 解得： ? ．
?b ? 2
原式= (3 ? 2 ? 1)a2b
2
= 9 a2b ．
2
当a ? ?1，b ? 2 时，原式= 9 ? (?1)2 ? 2 ? 9 ．
2
【总结】本题考查了同类项及合并同类项的概念．
【例8】 合并同类项．
（1） x3 ? 8xy ? 6 y2 ? 7xy ? 3y2 ? x3 ；
（2） 2 a2 ? 6a3 ? 5a ? 1 ? 5a3 ? 1 ? 4 a2 ；
3 4 2 3
（3） x ? y ? x ? y ? 3(x ? y)2 ? 2 ?x ? y? ? 3 (x ? y) ? 5(x ? y)2 ；
2 3 3 2
（4） 5an ? 2an ? 8an?1 ? 6an ? an?1 （ n 为正整数）．
【难度】★★
【答案】（1） ?xy ? 3y2 ； （2） ?a3 ? 2 a2 ? 5a ? 3 ；
3 4
（3） 2(x ? y)2 ? x ? y ； （4） ?9an?1 ? 9an ．
【解析】（1）原式= (1 ?1)x3 ? (?8 ? 7)xy ? (?6 ? 3) y2
= ?xy ? 3y2 ；
（2）原式= (?6 ? 5)x3 ? ( 2 ? 4)x2 ? 5a ? (? 1 ? 1)
3 3 4 2
= ?x3 ? 2 x2 ? 5a ? 3 ；
3 4
（3）原式= (?3 ? 5)(x ? y)2 ? (1 ? 3)(x ? y) ? (? 1 ? 2)(x ? y)
2 2 3 3
= 2(x ? y)2 ? x ? y ；
（4）原式= (?8 ?1)an?1 ? (5 ? 2 ? 6)an = ?9an?1 ? 9an ．
【总结】本题考查了合并同类项．
【例9】 说明多项式 x3 y3 ? 1 x2 y ? y2 ? 2x3 y3 ? 0.5x2 y ? y2 ? x3 y3 ? 2y3 ? 3 的值与字母 x 无
2
关．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】原式= (1 ? 2 ? 1)x3 y3 ? (? 1 ? 0.5)x2 y ? (1 ? 1) y2 ? 2 y3 ? 3 = 2 y2 ? 2 y3 ? 3 ，
2
∵计算结果不含字母 x ，∴多项式的值与字母 x 无关．
【总结】本题考查了合并同类项．
【例10】 在多项式2006ambn ? 2007xm yn?1 ? 2008a3mb2n ? 2009xn?1 y3 （其中 m、n 为正整数） 中，恰有两项为同类项，求 m ? n 的值．
【难度】★★★
【答案】9．
【解析】∵ m、n 为正整数，∴ 2006ambn与2008a3mb2n 不是同类项．
∴ 2007xm yn?1与? 2009xn?1 y3 是同类项，∴ ?m ? n ? 1 ，解得： ?m ? 5 ．
?
?
?n ? 1 ? 3 ?n ? 4
∴ m ? n ? 9 ．
【总结】本题考查了同类项的概念．
【例11】 任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数字和个位数字交换位置，得到另一个三位数，求证：这两个三位数的差总能被 99 整除．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】设一个三位数的百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c， 则这个三位数是：100a ? 10b ? c ；
百位数字和个位数字交换位置后的数字是：100c ? 10b ? a ；
作差得： (100a ?10b ? c) ? (100c ?10b ? a) =100a ?10b ? c ?100c ?10b ? a
= (100 ?1)a ? (10 ?10)b ? (1?100)c
∴这两个三位数的差总能被 99 整除．
= 99a ? 99c = 99(a ? c) ．
【总结】本题考查了合并同类项以及数的整除的概念．
模块二：整式的加减
知识精讲
1、去添括号法则
括号前面是“+”号，去（添）掉“+”号和括号，括号里的各项符号不变；
括号前面是“-”号，去（添）掉“-”号和括号，括号里的各项变成相反符号．
2、整式的加减运算步骤
（1）去括号；（2）合并同类项．
例题解析
【例12】 下列各式中，去括号正确的是（ ）．
A ． x2 ? (2 y ? x ? z) ? x2 ? 2 y ? x ? z
B ． 3a ? ?6a ? (4a ?1)? ? 3a ? 6a ? 4a ? 1
C ． 2a ? ??6x ? 4 y ? 2? ? 2a ? 6x ? 4 y ? 2
D ． ?(2x2 ? y) ? (z ?1) ? ?2x2 ? y ? z ? 1
【难度】★
【答案】C
【解析】A 选项 x、z 未变号；B 选项4a、
1 符号错误；D 选项 y、
1未变号；
故选择 C．
【总结】本题考查了去括号和添括号法则．
【例13】 下列说法中，正确的是（ ）． A ．单项式与单项式的和或差是单项式B ．单项式与多项式的和或差是多项式C ．多项式与多项式的和或差是多项式D ．多项式与多项式的和或差是整式．
【难度】★
【答案】D
【解析】A 反例： x ? y ； B 反例： (x ? y) ? y ；C 反例： (x ? y) ? (x ? y) ；只有 D 选项正确，选择 D．
【总结】本题考查了整式的加减法法则．
【例14】 ?xyz2 ? 4xy ?1?? (?3xy ? z2 yx ? 3) ? 2(xyz2 ? xy) 的值（ ）．
A ．与 x、y、z 的大小无关
B ．与 x、y 的大小有关，与 z 的大小无关
C ．与 x 大小有关而与 y、z 大小无关
D ．与 x、y、z 大小都有关
【难度】★
【答案】B
【解析】原式= xyz2 ? 4xy ?1 ? 3xy ? xyz2 ? 3 ? 2xyz2 ? 2xy
= (1 ? 1 ? 2)xyz2 ? (?4 ? 3 ? 2)xy ? (?1 ? 3) = ?9xy ? 4 ．
故多项式的值与 x、y 的大小有关，与 z 的大小无关，选择 B．
【总结】本题考查了去括号和合并同类项．
【例15】 若 A ? x2 ? 5x ? 2 ， B ? x2 ? 5x ? 6 ，则 A 与 B 的大小关系是（ ）．
A ． A ? B
【难度】★★
【答案】A
B ． A ? B
C ． A ? B
D ．无法确定
【解析】 A ? B ? (x2 ? 5x ? 2) ? (x2 ? 5x ? 6) ? x2 ? 5x ? 2 ? x2 ? 5x ? 6
? ( 1?
1x)2 ? ? ( ?5
x 5? )
? ( 2=8，故 A>B．
【总结】本题考查了整式的减法以及作差法比较大小．
5231891-665707【例16】 用 4 个相同的小矩形与1 个小正方形镶嵌成一个大正方形图案（小正方形位于大正方形中间），已知大正方形的面积为49 ，小正方形的面积为4 ，若用 x、y 表示小矩形的两边长（ x ? y ），请问，下列关系中不正确的是（ ）．
A ． x ? y ? 7
【难度】★★
【答案】D
B ． x ? y ? 2
C ． 4xy ? 4 ? 49
5186283-461982?x ? 9
D ． x2 ? y2 ? 25
【解析】由题意易得： ?x ? y ? 7 ，解得： ? 2 ，
?
?x ? y ? 2
故 A、B、C 正确，D 错误；
?
?
? y ? 5
? 2
另：C 选项可以从面积角度看，等号左右两边都表示大正方形的面积，故正确．
【总结】本题考查了图形题目的理解与分析．
【例17】 如果 x、y 互为相反数， a、b 互为负倒数， n ? 3 ，
则 1 n2 (ab)3 ? 2 n3 ?x ? y?2 ? 4 n2 ?ab?3 的值是 ．
3 3 3
【难度】★★
【答案】9．
【解析】∵ x、y 互为相反数 ∴ x ? y ? 0
∵ a、b 互为负倒数 ∴
ab ? ?1

∵ n ? 3 ?n ? ?3 ?n2 ? 9
?原式 ? (1 ? 4)n2 (ab)3 ? 2 n2 (x ? y)2
3 3 3
? ?1? 9 ? (?1) ? 0
? 9
【总结】本题考查了相反数、负倒数的概念以及整式的加减法．
3
【例18】 先化简，再求值： ?3a2 ? ab ? 7?? ?5ab ? 4a2 ? 7?，其中a ? 2 ， b ? 1 ．
【难度】★★
【答案】24．
【解析】原式= 3a2 ? ab ? 7 ? 5ab ? 4a2 ? 7 = (3 ? 4)a2 ? (?1 ? 5)ab ? (7 ? 7) = 7a2 ? 6ab ，
当a ? 2 ，b ? 1 时，原式= 7 ? 4 ? 6 ? 2 ? 1 = 28 ? 4 =24．
3 3
【总结】本题考查了整式的加减法．
【例19】 已知 A ? 3a2 ? 2a ? 5 ， B ? 8a2 ? 6a ? 8 ， A ? B ? C ? 1 ，求C 的值．
【难度】★★
【答案】?11a2 ? 8a ? 4 ．
【解析】由已知，得： (3a2 ? 2a ? 5) ? (8a2 ? 6a ? 8) ? C ? 1 ，
则C ? 1 ? (3a2 ? 2a ? 5) ? (8a2 ? 6a ? 8) ? 1? 3a2 ? 2a ? 5 ? 8a2 ? 6a ? 8
? (?3 ? 8)a2 ? (2 ? 6)a ? (1 ? 5 ? 8) ? ?11a2 ? 8a ? 4 ．
【总结】本题考查了整式的加减法的运用．
【例20】 国庆长假里2 名教师带10 名学生外出旅游．教师旅游费每人 x 元，学生每人 y 元，
因为团体予以优惠，教师按8 折优惠，学生按6.5 折优惠，求共需要旅游费多少元，并计算当 x ? 30 ， y ? 20 时的旅游费用．
【难度】★★★
【答案】（1）（1.6x ? 6.5y ）元； （2）178 元．
【解析】0.8? 2x ? 0.65?10 y =（1.6x ? 6.5y ）元，
当 x ? 30 ， y ? 20 时，原式=1.6 ? 30 ? 6.5 ? 20 ? 178元．
答：共需要旅游费（1.6x ? 6.5y ）元，当 x ? 30 ， y ? 20 时旅游费用是 178 元．
【总结】本题考查了整式的加减法及代值求解问题．
5231891-604017【例21】 已知m、x、y 满足：（1）5 ?x ? 5?2 ? 3 m ? 0 ；（2）?2a2by?1 与3a2b3 是同类项．求
2 4
代数式0.375x2 y ? 5m2 x ?{ ? 13 x2 y ? [? 1 xy2 ? 3.475xy2 ] ? 6.275xy2} 的值．
8 4
【难度】★★★
【答案】300．
【解析】由（1）得； x ? 5，m ? 0 ； 由（2）得： y ?1 ? 3 即 y ? 2 ；
原式= 0.375x2 y ? 5m2 x ? [?13 x2 y ? 1 xy2 ? 3.475xy2 ? 6.275xy2 ] 8 4
= 0.375x2 y ? 5m2 x ? 13 x2 y ? 1 xy2 ? 3.475xy2 ? 6.275xy2
8 4
=（0.375 ? 13)x2 y ? (3.475 ? 6.275 ? 1)xy 2 ?5m2 x
8 4
= 2x2 y ? 10xy2 ? 5m2 x
当 x ? 5，m ? 0 ， y ? 2 时，
原式= 2 ? 25 ? 2 ?10 ? 5 ? 4 ? 0 ? 300 ．
【总结】本题考查了零零式、同类项的定义及整式的加减法，有多重括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
【例22】 若
?a ? 1?2 ? b ? 1
a ? b ? 1
? 0 ，那么a ? ?1 ? ??b ? ?1 ? a ??? ? 1?的值是多少？
【难度】★★★
【答案】?6 ．
【解析】由已知得： a ? ?1，b ? ?1． 原式= a ? [1? (b ?1? a) ?1]
= a ? [1? b ?1? a ?1]
= a ?1 ? b ?1 ? a ?1
= 2a ? b ? 3
当a ? ?1，b ? ?1时，原式= ?2 ?1 ? 3 ? ?6 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
1175003-1090675【例23】 观察下列等式：
53 ? 23
53 ? 33
? 5 ? 2
5 ? 3
73 ? 53
，
73 ? 23
? 7 ? 5
7 ? 2
93 ? 53
，
93 ? 43
? 9 ? 5
9 ? 4
，··· ．请你用两
个字母表示这个规律．
【难度】★★★
【答案】
(m ? n)3 ? m3
(m ? n)3 ? n3
? (m ? n) ? m ．
(m ? n) ? n
【解析】观察得：
(m ? n)3 ? m3
(m ? n)3 ? n3
? (m ? n) ? m ．
(m ? n) ? n
(m ? n)3 ? m3 ? [(m ? n) ? m][(m ? n)2 ? (m ? n)m ? m2 ]

(m ? n)3 ? n3
[(m ? n) ? n][(m ? n)2 ? (m ? n)n ? n2 ]
? [(m ? n) ? m][(m ? n)2 ? mn]
[(m ? n) ? n][(m ? n)2 ? mn]
? (m ? n) ? m ．
(m ? n) ? n
【总结】本题综合性较强，考查了立方和公式： a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) 的运用．
师生总结
1、整式加减法的运算步骤？
2、整式的加减法与合并同类项之间的关系？

随堂检测

【习题1】 已知?2xm?1 y3 和 1 xn ym?n 是同类项，则?n ? m?2013 ? ．
2
【难度】★
【答案】－1．
?m ? 1 ? n
?m ? 2
【解析】由已知得： ?m ? n ? 3 ， 解得： ?n ? 1 ，
? ?
∴ (n ? m)2013 ? ?1 ．
【总结】本题考查了同类项的概念．
【习题2】 下列合并同类项错误的个数是（ ）．
① 5x6 ? 8x6 ? 13x12 ；② 3a ? 2b ? 5ab ；③ 8 y2 ? 3y2 ? 5 ；④ 6anb2n ? 6a2nbn ? 0
A ．1个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
【难度】★
【答案】D
【解析】①合并同类项不改变字母的指数； ② 3a和2b 不是同类项，不能合并；
③结果应为5 y2 ； ② 6anb2n和6a2nbn 不是同类项，不能合并；
全部错误，故选 D．
【总结】本题考查了合并同类项．
【习题3】 已知a ? 2 ， b ? 3 ，则（
）．
A ． ax3 y2 和bm3n2 是同类项
C ． bx2a?1 y4 和ax5 yb?1 是同类项
B ． 3xa y3 和bx3 y3 是同类项
D ． 5m2b n5a 和6n2b m5a 是同类项
【难度】★
【答案】C
【解析】A 选项字母不同； B 选项 x 的指数不同； D 选项 m、n 的指数都不相同； 只有 C 选项满足同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，故选 C．
【总结】本题考查了同类项的概念．
【习题4】 已知多项式3x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? 2 y3 减去一个多项式所得的差是4x3 ? 3y3 ，求这个
多项式．
【难度】★
【答案】?x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? y3 ．
【解析】(3x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? 2 y3 ) ? (4x3 ? 3y3 ) = 3x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? 2 y3 ? 4x3 ? 3y3
= (3 ? 4)x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? (?2 ? 3) y3 = ?x3 ? 8x2 y ? 4xy2 ? y3 ．
【总结】本题考查了多项式的减法．
【习题5】 化简求值： ?3x2 ? 2xy ? 5y2 ?? ?3x2 ? 2xy ? 4 y2 ?，其中 x ? 3 ， y ? ?2 ．
4
【难度】★
【答案】2．
【解析】原式= 3x2 ? 2xy ? 5 y2 ? 3x2 ? 2xy ? 4 y2
= (3 ? 3)x2 ? (?2 ? 2)xy ? (?5 ? 4) y2
= ?4xy ? y2 ．
当 x ? 3 ， y ? ?2 时；原式= ?4 ? 3 ? (?2) ? (?2)2 =2．
4 4
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题6】 若 A 是三次多项式， B 也是三次多项式，则3A ? 2B 一定是（ ）．
A ．三次多项式 B ．六次多项式
C ．次数低于3 的多项式 D ．次数不高于3 的整式
【难度】★
【答案】D
【解析】①若 3A 和 2B 的三次项互为相反数，则和的次数低于 3；②若 3A 和 2B 的三次项不是互为相反数，则和的次数等于 3；故选择 D．
【总结】本题考查了整式的加减法．
5231891-651612【习题7】 如果代数式2x2 ? 3x ? 7 的值是8 ，则代数式4x2 ? 6x ? 9 的值是（ ）．
A ． 2 B ． ?17
【难度】★
【答案】C
【解析】由2x2 ? 3x ? 7 ? 8 ，得： 2x2 ? 3x ? 1， 则4x2 ? 6x ? 9 ? 2(2x2 ? 3x) ? 9 ? ?7 ．
【总结】本题考查了整体代入法．
C ． ?7
D ． 7
【习题8】 当 x ? 0 ， y ? 0 且 x ? y 时，则 2x ? 3y ? 3x ? 3y ? （ ）．
A ． 5x B ． ?5x
【难度】★★
【答案】A

C ． 6 y D ． ?6y
167746596138【解析】
x ? 0 ，y ? 0
?2x ? 3y ? 0
x ? y
? 3x ? 3y ?3x ? 3y ?
?原式 ? (2x ? 3y) ? (?3x ? 3y)
? 2x ? 3y ? 3x ? 3y
? 5x
【总结】本题考查了绝对值的化简和合并同类项．
【习题9】 已知2m3x ny?6 与? 1 m?2?4 y n2 x 的和是单项式，则（ ）．
2
?x ? 1
?
A ． ? y ? 2
?x ? 2
?
B ． ? y ? ?2
C ． ?x ? 0
? y ? 0
?
?x ? 3
?
D ． ? y ? 1
【难度】★★
【答案】B
?
?
【解析】由已知得： 2m3x ny ?6和? 1 m?2?4 y n2 x 是同类项，? ?3x ? ?2 ? 4 y ，解得： ?x ? 2 ．
2 ? y ? 6 ? 2x ? y ? ?2
【总结】本题考查了同类项的概念．
【习题10】 现对“a? b”运算作如下定义：“a? b ? a ? 2b”，例如：x2? y3 ? x2 ? 2 y3 ，那么（xy ?
x2 y)? ?x2 y ? xy ?的运算结果是（ ）．
A ． 3x2 y ? xy
B ． 3x2 y ? 3xy
C ． 3x2 y ? 3xy
D ． 3x2 y ? xy
【难度】★★
【答案】D
【解析】原式= (xy ? x2 y) ? 2(x2 y ? xy) = xy ? x2 y ? 2x2 y ? 2xy
= ?xy ? 3x2 y ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题11】 化简： x ? 3?7x ? ?x ? 9 ? 3(1 ? 2x)?????．
【难度】★★
【答案】 x ? 36 ．
【解析】原式= x ? 3[7x ? (x ? 9 ? 3 ? 6x)]
= x ? 3(7x ? x ? 9 ? 3 ? 6x)
= x ? 21x ? 3x ? 27 ? 9 ? 18x
= x ? 36 ．
【总结】本题考查了整式的加减法，注意去括号时按照先去小括号，再去中括号，最后去大括号的顺序．
【习题12】 若 4a2 ? a ? m ? (a ? ma ? 2) 中不存在a 的一次项，则m ???．
【难度】★★
【答案】－2．
【解析】原式= 4a2 ? a ? m ? a ? ma ? 2
= 4a2 ? (2 ? m)a ? (m ? 2) ，
∵不存在a 的一次项，
∴ 2 ? m ? 0 ，
∴ m ? ?2 ．
【总结】本题考查了项与系数的概念．
5231891-603992【习题13】 无论字母 a、b 取何值，代数式 ? 1 ab2 ? 5 ab2 ? 1 ab2 ? 2 的值总是__________．
3 6 2
【难度】★★
【答案】－2．
【解析】原式= (? 1 ? 5 ? 1)ab2 ? 2
3 6 2
= ?2 ．
【总结】本题考查了合并同类项．
【习题14】 有一道题目是一个多项式减去 x2 ?14x ? 6 ，小红误当成了加法算式，结果得到
2x2 ? x ? 3 ，正确的结果应该是 ．
【难度】★★
【答案】?29x ? 15 ．
【解析】设这个多项式是 A，则： A ? (x2 ? 14x ? 6) ? 2x2 ? x ? 3
A ? (2x2 ? x ? 3) ? (x2 ? 14x ? 6)
? 2x2 ? x ? 3 ? x2 ?14x ? 6
? x2 ?15x ? 9 ； 则正确结果为： (x2 ?15x ? 9) ? (x2 ? 14x ? 6)
? x2 ?15x ? 9 ? x2 ?14x ? 6
? ?29x ?15 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题15】 求多项式a3 ? a2b ? ab2 ? a2b ? ab2 ? b3 的值，其中a ? ?3 ， b ? 2 ．
【难度】★★
【答案】－19．
【解析】原式= a3 ? b3 ，
当a ? ?3，b ? 2 时，原式= (?3)3 ? 23 ? ?19 ．
【总结】本题考查了整式的加减法和代值求解问题．
【习题16】 学校决定修建一块长为30 米，宽为20 米的长方形草坪，并在草坪上修建十字路，已知十字路宽 x 米，求（1）修建十字路的面积是多少平方米；（2）草坪的面积是多少．
【难度】★★
5147666249690【答案】（1） (50x ? x2 )平方米 ； （2） (600 ? 50x ? x2 )平方米 ．
【解析】（1） 20x ? 30x ? x2 ? (50x ? x2 )平方米；
（2） 30 ? 20 ? (50x ? x2 ) ? (600 ? 50x ? x2 )平方米．
【总结】本题考查了整式的加减法在实际问题中的应用．
【习题17】 若多项式?2mx2 ? x2 ? 3x ? 1?? (5x2 ? 4 y2 ? 3x) 与 x 无关，求2m3 ? [3m2 ?（4m ? 5) ?m] 的值．
【难度】★★
【答案】17．
【解析】化简多项式：
?2mx2 ? x2 ? 3x ? 1?? (5x2 ? 4 y2 ? 3x)
= 2mx2 ? x2 ? 3x ? 1 ? 5x2 ? 4 y2 ? 3x
= 2mx2 ? x2 ? 3x ? 1 ? 5x2 ? 4 y2 ? 3x
= (2m ? 6)x2 ? 1 ? 4 y2 ，
∵多项式的值与 x 无关，
∴ 2m ? 6 ? 0 ，解得： m ? 3 ．
∴原式= 2m3 ? (3m2 ? 4m ? 5 ? m)
= 2m3 ? 3m2 ? 4m ? 5 ? m
= 2m3 ? 3m2 ? 5m ? 5 ．
当m ? 3 时，原式= 2 ? 27 ? 3? 9 ? 5? 3 ? 5 ? 17 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
5231891-666242【习题18】 整式的计算：
（1）（5 x ? y)2 ? (x ? y) ? 8(x ? y)2 ? 3(x ? y) ；
（2） 1 ? a ? 2a ? 1 ? 3 ? 2a ；
3 4 5
（3） ?17 ?3x ? 5 y ? ? 21(3x ? 5 y) ? 4(3x ? 5 y) ．
【难度】★★
【答案】（1） ?3(x ? y)2 ? 4(x ? y) ； （2） 41 ? 13 a ； （3）0．
60 30
【解析】（1）原式= ?3(x ? y)2 ? 4(x ? y) ；
（2）原式= 1 ? 1 a ? 1 a ? 1 ? 3 ? 2 a
3 3 2 4 5 5
= (1 ? 1 ? 3) ? (? 1 ? 1 ? 2)a
3 4 5 3 2 5
= 41 ? 13 a ；
60 30
（3）原式= (?17 ? 21? 4)(3x ? 5y) =0．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题19】 设 P 是关于 x 的五次多项式，Q 是关于 x 的四次多项式，问： P ? Q 是关于 x 的几次多项式？ P ? 2Q 是关于 x 的几次多项式？
【难度】★★
【答案】五次多项式．
【解析】在 P ? Q 和 P ? 2Q 的运算中， x 的五次项没有同类项，不会被抵消掉，所以这两个多项式的最高次项的次数是 5，故为五次多项式．
【总结】本题考查了整式的加减法以及多项式的次数的概念．
【习题20】 已知 A ? x2 ? 2xy ? y2 ，B ? 2x2 ? 6xy ? 3y2 ，求代数式3A ? [(2A ? B) ? 4 ? A ? B?]
的值，其中 x ? 5 ， y2 ? 9 ，且 x ? y ? ?2 ．
【难度】★★★
【答案】－181．
167746551427【解析】
x ? 5 ，
? x ? ?5 ，则 x2 ? 2 ．
y2 ? 9 ，
? y ? ?3 ．
又 x ? y ? ?2 ， ? x ? ?5，y ? 3 ．
原式? 3A ? (2A ? B ? 4A ? 4B) ? 3A ? 2A ? B ? 4A ? 4B ? 5A ? 3B
? 5(x2 ? 2xy ? y2 ) ? 3(2x2 ? 6xy ? 3y2 )
? 5x2 ?10xy ? 5 y2 ? 6x2 ? 18xy ? 9 y2
? ?x2 ? 8xy ? 4 y2 ，
故当? x ? ?5，y ? 3 时，原式= ? ?(?5)2 ? 8 ? (?5) ? 3 ? 4 ? 9 ? ?25 ? 120 ? 36 ? ?181 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题21】 已知 x ? 3 ? 2?5a2 ? 4ab2 ?， y ? 8?ab2 ? b?? 5b2 ，当a ? 1 ， b ? 2 时，
2 5
求2(1 x ? y) ? y 的值．
2
【难度】★★★
【答案】 29 ．
10
【解析】原式? x ? 2y ? y
? x ? y
? [3 ? 2(5a2 ? 4ab2 )] ? [8(ab2 ? b) ? 5b2 ]
? (3 ?10a2 ? 8ab2 ) ? (8ab2 ? 8b ? 5b2 )
? 3 ?10a2 ? 8ab2 ? 8ab2 ? 8b ? 5b2
? 3 ?10a2 ? 8b ? 5b2 ，
1 2 2
当a ? 1 ，b ? 2 时，原式= 3 ?10 ? ( ) ? 8 ? ? 5 ? ( 2)2 ? 29 ．
2 5 2 5 5 10
【总结】本题考查了整式的加减法以及同类项的合并．
5231891-647701【习题22】 已知?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? z ? x ? y ? 0 ，
求代数式?3( y ? 4z) ? [7x ? 5? y ? 4z) ?3(x ? z)] 的值．
【难度】★★★
【答案】－3．
?x ? 1 ? 0
?
【解析】由已知得： ? y ? 2 ? 0
?
?z ? x ? y ? 0
?x ? ?1
?
，解得： ? y ? 2 ．
?
?z ? 1
原式= ?3y ?12z ? (7x ? 5y ? 20z ? 3x ? 3z)
= ?3y ?12z ? 7x ? 5y ? 20z ? 3x ? 3z
= 2y ?11z ? 4x ，
当 x ? ?1，y ? 2，z ? 1 时，原式= 2 ? 2 ?11?1? 4 ? (?1) ? ?3 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【习题23】 已知多项式 x4 ? ?m ? 6? xn y ? 2xy ? 5 ，则（1）当 m、n 满足什么条件时，是五次四项式？（2）当 m、n 满足什么条件时，是四次三项式？
【难度】★★★
?m ? ?6
?
【答案】（1） ?n ? 4
?m ? ?4
?
； （2） ?n ? 1
?m ? ?7
?
或?n ? 3
或m ? ?6 ， n 为任意数．
【解析】（1）由已知得： (m ? 6)xn y 是五次项，
?m ? 6 ? 0
?
∴ ?n ? 1 ? 5
?m ? ?6
?
， 解得： ?n ? 4 ．
?m ? ?6
?
∴当?n ? 4
时，该多项式是五次四项式；
（2）由已知得：有两项可以合并成一项或者(m ? 6)xn y ? 0 ，
∴当(m ? 6)xn y与? 2xy 是同类项或者(m ? 6)xn y与x4 是同类项，
?m ? 6 ? 2 ? 0
?
∴ ?n ? 1
?m ? 6 ? 1 ? 0
?
或?n ? 3
?m ? ?4
?
， 解得： ?n ? 1
?m ? ?7
?
或?n ? 3 ，
当(m ? 6)xn y ? 0 时， m ? ?6 ， n 为任意数．
【总结】本题考查了多项式的命名和同类项的概念，并且注意(2)的分类讨论．
【习题24】 有这样一道题，计算 ?2x4 ? 4x3 y ? x2 y2 ?? 2?x4 ? 2x3 y ? y3 ?? x2 y2 的值，其中 x ? 0.25 ， y ? ?1 ；甲同学把“ x ? 0.25 ”，错抄成“ x ? ?0.25 ”，但他的计算结果也是正确的，你说这是为什么？
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】原式= 2x4 ? 4x3 y ? x2 y2 ? 2x4 ? 4x3 y ? 2 y3 ? x2 y2
= 2 y3 ．
∵计算结果不含 x 的项，
∴即时抄错 x 的值，计算结果也是正确的．
【总结】本题考查了整式的加减法以及对题意的理解．
课后作业
【作业1】 若5a2b3 与?3axby 是同类项，则 x ???， y ???．
【难度】★
【答案】 x ? 2 ，y ? 3 ．
【解析】有同类项的定义可知： x ? 2 ，y ? 3 ．
【总结】本题考查了同类项的定义．
【作业2】 多项式3x2 ? 2xy2 ? 2x3 ? 2xy2 ? x 合并后是 次 项式．
【难度】★
【答案】三次三项式．
【解析】原式= 3x2 ? 2x3 ? x ，是三次三项式．
【总结】本题考查了合并同类项以及多项式的次数和项数的概念．
5231891-603992【作业3】 如果 5 xk ?m ym 与 xk ?2 y2 是同类项，且k 为非负整数，则满足条件的k 值
6
有（ ）．
A ．一组 B ．两组 C ．三组 D ．无数组
【难度】★
【答案】D
?m ? 2
【解析】由已知得： ?k ? m ? k ? 2
?
?m ? 2
?
， 解得： ?k为任意实数 ．
故选择 D．
【总结】本题考查了同类项的概念．
【作业4】 已知 x ? y ? 3 ，则4?x ? y ? ? 3x ? 3y ? 5 的值等于 ．
【难度】★★
【答案】8．
【解析】原式= 4(x ? y) ? 3(x ? y) ? 5
= (x ? y) ? 5 ，
∵ x ? y ? 3 ，
∴原式=8．
【总结】本题考查了整体法合并同类项．
【作业5】 化简： a ? ?c ? ??6a ? ?3c ? b? ? c ? 2 ??a ? 8b ? c????．
【难度】★★
【答案】5a ? 5c ?17b ．
【解析】原式= a ? [c ? (6a ? 3c ? b ? c ? 2a ?16b ? 2c)]
= a ? [c ? 6a ? 3c ? b ? c ? 2a ?16b ? 2c]
= a ? c ? 6a ? 3c ? b ? c ? 2a ? 16b ? 2c
= 5a ? 5c ?17b ．
【总结】本题考查了去括号法则和合并同类项．
【作业6】 化简： 8an ? (?2an ) ? 8an?1 ? 9an ? an?1 （ n 为正整数）．
【难度】★★
【答案】an ? 9an?1 ．
【解析】原式= 8an ? 2an ? 8an?1 ? 9an ? an?1
= an ? 9an?1 ．
【总结】本题考查了合并同类项．
【作业7】 已知 A ? B ? 3a2 ? 5a ?1， A ? C ? ?2a ? 3a2 ? 5 ，求a ? 2 时， B ? C 的值．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】 B ? C ? (A ? B) ? (A ? C)
? (3a2 ? 5a ? 1) ? (?2a ? 3a2 ? 5)
? 3a2 ? 5a ?1? 2a ? 3a2 ? 5
? ?3a ? 6 ，
当a ? 2 时， B ? C ? ?3? 2 ? 6 ? 0 ．
【总结】本题考查了整式的加减法以及代值求解的问题．
【作业8】 若 ny3 ? 3y2 ? my ? 4 ? (2 y3 ? my2 ) 合并后不含 y2 和 y3 项，求m、n 的值．
【难度】★★
【答案】m ? ?3，n ? 2 ．
【解析】原式= ny3 ? 3y2 ? my ? 4 ? 2 y3 ? my2
= (n ? 2) y3 ? (3 ? m) y2 ? my ? 4 ，
∵原式不含 y2 和 y3 项，
?n ? 2 ? 0 ?n ? 2
∴ ?3 ? m ? 0 ， 解得： ?m ? ?3 ．
? ?
【总结】本题考查了项和系数的概念．
5231891-679622【作业9】 如果 x4 ? y4 ? 15 ， x2 y ? xy2 ? ?3 ，求 x4 ? 2 y4 ? 3xy2 ? x2 y ? 2xy2 ? 3y4 的值．
【难度】★★★
【答案】12．
【解析】原式= (x4 ? y4 ) ? (x2 y ? xy2 ) ，
∵ x4 ? y4 ? 15 ， x2 y ? xy2 ? ?3 ，
?原式 ? 15 ? (?3) ? 12 ．
【总结】本题考查了整式的加减法．
【作业10】 比较大小： 5x2 ? 2x ?1与5x2 ? 3x ? 2 ．
【难度】★★★
【答案】 当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ； 当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ； 当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ．
【解析】(5x2 ? 2x ?1) ? (5x2 ? 3x ? 2)
= 5x2 ? 2x ?1? 5x2 ? 3x ? 2
= x ? 3 ．
当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ； 当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ； 当 x ? 3 时， 5x2 ? 2x ?1 ? 5x2 ? 2x ? 2 ．
【总结】本题考查了利用作差法比较两个整式的大小．
【作业11】 已知a 、b 、c 满足：（1）5?a ? 3?2 ? 2 b ? 2 ? 0 ；（2 1 x2?a y1?b?c 是7 次单项式；

）
3
求多项式a2b ? ??a2b ? ?2abc ? a2c ? 3a2b?? 4a2c?? ? abc 的值．
【难度】★★★
【答案】?75 ．
【解析】由（1）得： a ? ?3，b ? 2 ；
由（2）得： 2 ? a ? 1 ? b ? c ? 7 ，∴ c ? ?1．
原式= a2b ? (a2b ? 2abc ? a2c ? 3a2b ? 4a2c) ? abc
= a2b ? a2b ? 2abc ? a2c ? 3a2b ? 4a2c ? abc
= abc ? 3a2c ? 3a2b
当a ? ?3，b ? 2 ， c ? ?1时，
原式= (?3) ? 2 ? (?1) ? 3? 9 ? (?1) ? 3? 9 ? 2 ? ?75 ．
【总结】本题考点比较综合，考查了零零式、同类项的概念，以及整式的加减法，对学生能力要求较高．