沪教版七年级数学秋季班第6讲：因式分解（一）教师版
文档属性
| 名称 | 沪教版七年级数学秋季班第6讲：因式分解（一）教师版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-21 10:00:21 | ||
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文档简介
因式分解（一）
内容分析
本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念， 进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．
知识结构
2352702133667
模块一：提取公因式法
知识精讲
1、因式分解的概念：
（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解： 因式分解
多项式（和的形式 整式的积（积的形式） 整式乘法
5164835-6747512、因式、公因式的定义
（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中， 6 、a 、b 就是6ab
的因式．
（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式
ma ? mb?
mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．
3、确定公因式的方法
（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．
（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．
（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．
4、提取公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除” 一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式； 二提：第二步将所找出的公因式提出来；
三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．
5、注意事项
（ 1 ） 如果多项式的首项是负数时， 一般先提出“—” 号， 使括号内的第一项系数是正数．
（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
例题解析
【例1】 填空：
（1）单项式12a2b2c ，? 8a2b3 ，4a3b2c2 应提取的公因式是 ；
（2）多项式2a2b ? 6ab2c 应提取的公因式是 ；
（3） 9?b ? a?2 ?x ? y? ? 21(a ? b)2 ( y ? x) 应提取的公因式是 ；
（4）多项式4a3b ? 8a2b2 ?12ab3 提取公因式后，另一个因式是 ；
（5）多项式?9x2 ? 6xy ? 3x 提取公因式后，另一个因式是 ；
4x(x ? y) ? 3( y ? x)2 提取公因式?x ? y? 后，另一个因式是 ．
【难度】★
【答案】（1） 4a2b2 ； （2） 2ab ； （3） 3(a ? b)2 (x ? y) ；
（4） a2 ? 2ab ? 3b2 ； （5） 3x ? 2y ?1 ； （6） x ? 3y ．
【解析】略．
【总结】本题考察了公因式的概念．
【例2】在下列等式右边的括号前填上“ ? ”号或“－”号，使等式成立．
（1） ?a ? b?2 ? (b ? a)2 ；（2） ?a ? b?3 ? (b ? a)3 ；
（3） ??a ? b?2 ? (a ? b)2 ；（4） ??a ? b?3 ? (a ? b)3 ；
（5） ?a ?1?2 (2 ? b)3 ? (1? a)2 (b ? 2)3 ；
（6） ?1? x?(2 ? x) ???(x ?1)(x ? 2) ．
【难度】★
【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+．
【解析】略．
【总结】本题考察了添括号法则的运用．
）．
【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（
A .1? 2x ? 3x2 ? 1? x(2 ? 3x) B . 24 ? 2? 2? 2?8
C . xy ?1 ? xy(1 ? 1 )
xy
D . 1
4
a2 ? 3a ? 9 ? ? 1
? 2
?
?2
a ? 3?
?
【难度】★
【答案】D
【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；
B 选项左侧不是多项式； C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择 D．
【总结】本题考察了因式分解的概念．
【例4】多项式a2n ? a2 (n ? 1) 提取公因式后，另一个因式是（ ）．
A . an
【难度】★
【答案】D
B．an ?1
C . a2n?1 ?1
D . a2n?2 ?1
【解析】原式= a2 (a2n?2 ?1) ，故选择 D．
【总结】本题考察了提公因式法分解因式．
【例5】把 4 a3b3 ? 2 a2b4 分解因式的结果是 ．
3 9
【难度】★
【答案】 2 a2b3 (6a ? b) ．
9
【解析】原式= 2 a2b3 (6a ? b) ．
9
【总结】本题考察了提公因式法因式分解．
【例6】（1）如果2x ? y ? 4, xy ? 3 ，那么2x2 y ? xy2 的值是 ；
（2）多项式5(a ? 2b)2 ? 2a(a ? 2b) 的值等于15 ，且3a ?10b ? 3 ，则a ? 2b ???．
【难度】★★
【答案】（1）12；（2）5．
【解析】（1）原式= xy(2x ? y) ? 12 ；
（2）由已知得： (a ? 2b)[5(a ? 2b) ? 2a] ?15 ，即(a ? 2b)(3a ?10b) ? 15
18768571142503a ?10b ? 3，?a ? 2b ? 5 ．
【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．
【例7】把下列各式因式分解
（1） ?15a3b3 ? 45a2b ? 30ab ； （2）16a3b2c3 ? 48a4b3c2 ? 96a2b2c4 ；
（3） ? 2 ax2 ? 6x ? 4a ； （4） (m ? n)( p ? q) ? (n ? m)2 (q ? p) ；
3
（5） 3x(4x ? y) ? (4x ? y)(?4x ? y) ；
（6） ? p(q ? r ?1) ? q(r ? q ?1) ? (1? q ? r)2 ；
xn?1 ? xn ? 2xn?1 （ n 为大于1 的整数）；
4xn?2 yn?1 ? 6xn yn ?12x2 yn?1 （ n 是大于2 的整数）．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= ?15ab(a2b2 ? 3a ? 2) ；
（2）原式=16a2b2c2 (ac ? 3a2b ? 6c2 ) ；
（3）原式= ? 2 (ax2 ? 9x ? 6a) ；
3
（4）原式= (m ? n)( p ? q) ? (m ? n)2 ( p ? q) ? (m ? n)( p ? q)[1? (m ? n)]
? (m ? n)( p ? q)(1? m ? n) ；
（5）原式= 3x(4x ? y) ? (4x ? y)(4x ? y) ? (4x ? y)(7x ? y)
（6）原式= ? p(q ? r ?1) ? q(q ? r ?1) ? (q ? r ?1)2
= (q ? r ?1)(? p ? q ? q ? r ?1)
= ?(q ? r ?1)( p ? r ?1) ；
5164835-685393（7）原式= xn?1 (x2 ? x ? 2) ；
（8）原式= 2x2 yn?1 (2xn y2 ? 3xn?2 y ? 6) ；
【总结】本题考察了提公因式法因式分解；
【例8】利用简便方法计算：
（1） 5.78?12 ? 47 ? 5.78 ? 5.78? 41 ； （2） 5?102017 ?102016 ．
【难度】★★
【答案】（1）578； （2） 4.9 ?102017 ．
【解析】（1）原式= 5.78(12 ? 47 ? 41) ? 578 ；
（2）原式=102016 (50 ?1) ? 4.9 ?102017 ．
【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．
【例9】已知关于 x 的二次三项式2x2 ? mx ? n 因式分解的结果是?2x ?1?? x ? 1 ? ，求 m、n 的
? 4 ?
? ?
值．
【难度】★★
【答案】m ? ? 1 ，n ? ? 1 ．
2 4
【解析】由已知得： 2x2 ? mx ? n ? (2x ?1)(x ? 1) ，
4
?2x2 ? mx ? n ? 2x2 ? 1 x ? 1 ，
2 4
∴ m ? ? 1 ，n ? ? 1 ．
2 4
【总结】本题考察了因式分解的概念．
【例10】试判断518 ? 519 ? 520 能否被31整除．
【难度】★★
【答案】能．
【解析】原式= 518 (1? 5 ? 52 ) ? 518 ? 31 ，能被 31 整除．
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
（
【例11】已知代数式 1
x ?1) ? 1 (x ?1）? 1
x ?1) ?
1 (x ?1) ? ··· ? 1
x ? 1）的值是 27 ，
（
（
求 x 的值．
【难度】★★★
【答案】 x ? 29 ．
2 6 12 20 90
【解析】由已知得： (x ?1)(1 ? 1 ? ? 1 ) ? 27
?
1
9 ?10
2 6 90
(x ?1)( 1 ? 1 ?
) ? 27
1? 2 2 ? 3
(x ?1)(1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ) ? 27
2 2 3 9 10
(x ? 1)(1 ? 1 ) ? 27
10
解得： x ? 29
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
【例12】若多项式 M ? b(a ? b)(a ? c) ? c(a ? b)(c ? a) ，且 a ? b ? c ，求 M
的值．
【难度】★★★
2 3 4
abc
【答案】? 1 ．
12
【解析】 M ? b(a ? b)(a ? c) ? c(a ? b)(a ? c) ? (a ? b)(a ? c)(b ? c) ， 设a ? 2k ，b ? 3k ，c ? 3k ，
则原式= (?k)(?2k)(?k) ?? 1 ．
2k ? 3k ? 4k 12
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
师生总结
观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？
模块二：公式法
知识精讲
1、公式法
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．
2、平方差公式： a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；
（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
3、完全平方公式： a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的 2 倍；
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
4、补充公式
（1） a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（2） a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（3） a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3 ；
（4） a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3 ；
（5） a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? (a ? b ? c)2 ．
例题解析
【例13】因式分解?x ?1?2 ? 9 的结果是（ ）．
A . ?x ? 8??x ?1?
B . ?x ? 2??x ? 4?
C . ?x ? 2?(x ? 4)
D . ?x ?10??x ? 8?
【难度】★
【答案】B
【解析】原式= (x ?1? 3)(x ?1? 3) ? (x ? 2)(x ? 4) ．
【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．
【例14】下列因式分解正确的是（ ）．
A . x2 ? 4x ? 4 ? (x ? 4)2
B . 4x2 ? 2x ?1 ? ?2x ?1?2
C . 9 ? 6(m ? n) ? (m ? n)2 ? (3 ? m ? n)2 D . ?a2 ? b2 ? 2ab ? ?(a ? b)2
【难度】★
【答案】D
【解析】A 选项应为： (x ? 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；
C 选项应为： [3 ? (m ? n)]2 ? (3 ? m ? n)2 ；D 选项正确．
【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．
5164835-674751【例15】分解因式：
（1） 4a2 ? 9b2 ???； （2） 4 ? x2n ???；
（3） ?a ? b?2 ? (c ? d )2 ? ； （4） 9a3b ? ab ? ；
（5） ?9a2 ? 1 ? ； （6） 25a2 ? 80a ? 64 ? ；
9
（7） ?16 ? 8xy ? x2 y2 ? ； （8） ?a ? b?2 ? 6?a ? b? ? 9 ? ．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (2a ? 3b)(2a ? 3b) ； （2）原式= (2 ? xn )(2 ? xn ) ；
（3）原式= (a ? b ? c ? d)(a ? b ? c ? d) ；
（4）原式= ab(9a2 ?1) ? ab(3a ?1)(3a ?1) ；
（5）原式= ? 1 (81a2 ?1) ? ? 1 (9a ?1)(9a ?1) ；
9 9
（6）原式= (5a ? 8)2 ；
（7）原式= ?(16 ? 8xy ? x2 y2 ) ? ?(4 ? xy)2 ；
（8）原式= (a ? b ? 3)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．
【例16】请写出264 ?1 的两个因数 ．
【难度】★
【答案】(232 ?1) 、(216 ?1) 、255 、17 、5 、3、1（任写两个）．
【解析】∵ 264 ?1 ? (232 ?1)(216 ?1)(28 ?1)(24 ?1)(22 ?1)(2 ?1)(2 ?1) ，
?264 ?1的因数是： (232 ?1) 、(216 ?1) 、255 、17 、5 、3、1．
【总结】本题考察了平方差公式分解因式．
【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：
（1） a6 ? b6 ； （2） 8x3 ? y3 ； （3） 9x5 ? 72x2 y3 ．
【难度】★★
【答案】见解析；
【解析】（1）原式= (a3 ? b3 )(a3 ? b3 ) ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（2）原式= (2x ? y)(4x2 ? 2xy ? y2 ) ；
（3）原式= 9x2 (x3 ? 8y3 ) ? 9x2 (x ? 2y)(x2 ? 2xy ? 4y2 ) ．
【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．
【例18】分解因式：
（1） ?4?x ? y?2 ? 25(x ? y)2 ； （2） ?x ? y?4 ? (x ? y)4 ；
（3） ?a ? b?3 ? 4a ? 4b ； （4） xy ? 1 ? x2 y2 ；
4
（5） x2 (m ? n) ? 4x(n ? m) ? 4(n ? m) ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= [5(x ? y) ? 2(x ? y)][5(x ? y) ? 2(x ? y)] ? (7x ? 3y)(3x ? 7y) ；
（2）原式= [(x ? y)2 ? (x ? y)2 ][(x ? y)2 ? (x ? y)2 ] ? 8xy(x2 ? y2 ) ；
（3）原式= (a ? b)3 ? 4(a ? b) ? (a ? b)[(a ? b)2 ? 4] ? (a ? b)(a ? b ? 2)(a ? b ? 2) ；
（4）原式= ? 1 (4x2 y2 ? 4xy ?1) ? ? 1 (2xy ?1)2 ；
4 4
（5）原式= x2 (m ? n) ? 4x(m ? n) ? 4(m ? n) ? (m ? n)(x ? 2)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．
5164835-674751【例19】分解因式：
（1） 7am?1 ?14am ? 7am?1 ； （2） ?a ? b?2 ? 4(a ? b ?1) ；
（3） ?a2 ? 4a?2 ? 8(a2 ? 4a) ?16 ； （4） ?x2 ? y2 ?n?2 ?10?x2 ? y2 ?n?1 ? 25?x2 ? y2 ?n ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= 7am?1 (a2 ? 2a ?1) ? 7am?1 (a ?1)2 ；
（2）原式= (a ? b)2 ? 4(a ? b) ? 4 ? (a ? b ? 2)2 ；
（3）原式= (a2 ? 4a ? 4)2 ? (a ? 2)4 ；
（4）原式= (x2 ? y2 )n [(x2 ? y2 )2 ?10(x2 ? y2 ) ? 25]
= (x ? y)n (x ? y)n (x2 ? y2 ? 5)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．
【例20】利用简便方法计算：
（1）
504
20172 ? 20152
； （2） 9982 ? 4 ；
（3）152 ?15?10 ? 52 ； （4）1982 ? 2 ?198? 98 ? 982 ．
【难度】★★
【答案】（1） 1
16
； （2）996000； （3）400； （4）10000．
【解析】（1）原式= 504
? 504
? 1 ；
(2017 ? 2015)(2017 ? 2015) 4032? 2 16
（2）原式= (998 ? 2)(998 ? 2) ? 996000 ；
（3）原式= (15 ? 5)2 ? 400 ；
（4）原式= (198 ? 98)2 ? 10000 ．
【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．
【例21】计算： ?1 ? 1 ??1 ? 1 ??1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ．
? 22 ?? 32 ?? 42 ? ? n2 ?
【难度】★★
? ?? ?? ? ? ?
【答案】 n ? 1 ．
2n
【解析】原式= (1 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) (1 ? 1)(1 ? 1)
2 2 3 3 n n
= 1 ? 3 ? 2 ? 4
2 2 3 3
= 1 ? n ? 1
n ?1 ? n ?1
n n
2 n
= n ? 1 ．
2n
【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．
【例22】已知 x2 ? x ? 2016，y2 ? y ? 2016 且 x ? y ，求 x2 ? 2xy ? y2 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由已知得： (x2 ? x) ? ( y2 ? y) ? 0 ，即 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ，
∴ x2 ? y2 ? (x ? y) ? 0 ，即(x ? y)(x ? y ?1) ? 0 ．
x ? y
?原式? (x ? y)2 ? 1．
【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．
【例23】已知多项式 S ? 4a ? 4b ? 2a?b?1 ，问： S 是否一定是非负数？请说明理由．
【难度】★★
【答案】 S 一定是非负数．
【解析】 S ? (2a )2 ? 2 ? 2a ? 2b ? (2b )2 ? (2a ? 2b )2 ? 0 ，
∴ S 一定是非负数．
【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．
5164835-661303【例24】已知a2 ? 2ab ? b2 ? 2a ? 2b ?1 ? 0 ，求a2 ? a ? b ? b2 的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】由已知，得： (a ? b)2 ? 2(a ? b) ?1 ? 0 ，即(a ? b ?1)2 ? 0 ．
?a ? b ?1 ? 0 ，
∴原式= (a2 ? b2 ) ? (a ? b) ? (a ? b)(a ? b ?1) ? 0 ．
【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．
【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 ? 6x2 ?1． 解： x4 ? 6x2 ?1 ? x4 ? 2x2 ? 4x2 ?1
? ?x4 ? 2x 2 ? 1?? 4x 2
? ?x2 ?1?2 ? (2x)2
? ?x2 ?1 ? 2x??x2 ?1 ? 2x?
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式： a4 ? 7a2 ? 9 ．
【难度】★★★
【答案】(a2 ? 3 ? a)(a2 ? 3 ? a) ．
【解析】原式= a4 ? 6a2 ? a2 ? 9
= (a4 ? 6a2 ? 9) ? a2
= (a2 ? 3)2 ? a2
= (a2 ? 3 ? a)(a2 ? 3 ? a) ．
【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．
【例26】已知多项式 S ? ?a2 ? b2 ? c2 ?2 ? 4a2b2 ，求：（1）对于 S 进行因式分解；
（2）当 a、b、c 是△ ABC 的三边的长时，判断 S 的符号．
【难度】★★★
【答案】（1） (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c) ； （2） S ? 0 ．
【解析】（1）原式= (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)(a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)
= [(a ? b)2 ? c2 ][(a ? b)2 ? c2 ]
= (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c) ；
（2）由已知得： a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? ，a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? 0 ，
?S ? 0 ．
【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．
随堂检测
【习题1】 分解因式：
（1） a(a ? b)(a ? b) ? a(a ? b)2 ； （2） a(1? b ? b2 ) ?1? b ? b2 ；
（3） ?2x2 ? 1 y2 ； （4） a4 ? b4 ；
2
（5） x3 ? 6x2 ? 9x ； （6） 3x2 (x ? y)2 ? 27( y ? x)4 ；
（7） ( p ? q)2m?1 ? (q ? p)2m?1 ； （8） 4?x ? y?2 ? 5 ? 20(x ? y ?1) ．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= a(a ? b)(a ? b ? a ? b) ? ?2ab(a ? b) ；
（2）原式= a(1? b ? b2 ) ? (1? b ? b2 ) ? (1? b ? b2 )(a ?1) ；
（3）原式= ? 1 (4x2 ? y2 ) ? ? 1 (2x ? y)(2x ? y) ；
2 2
（4）原式= (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )(a ? b)(a ? b) ；
（5）原式= x(x2 ? 6x ? 9) ? x(x ? 3)2 ；
（6）原式= 3x2 (x ? y)2 ? 27(x ? y)4
= 3(x ? y)2[x2 ? 9(x ? y)2 ]
= 3(x ? y)2[x ? 3(x ? y)][x ? 3(x ? y)]
= ?3(x ? y)2 (4x ? 3y)(2x ? 3y) ；
（7）原式= ( p ? q)2m?1 ? ( p ? q)2m?1
? ( p ? q)2m?1[( p ? q)2 ?1]
? ( p ? q)2m?1 ( p ? q ?1)( p ? q ?1) ；
（8）原式= 4(x ? y)2 ? 20(x ? y) ? 25 ? (2x ? 2y ? 5)2 ．
【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．
【习题2】 若 a ， b ， c 是三角形三边的长，则代数式a2 ? b2 ? c2 ? 2ab 的值( )．
A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零
【难度】★
【答案】B
【解析】原式= (a ? b)2 ? c2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)
167746970536a ? b ? c ? 0, a ? b ? c ? 0
?原式? 0 ，选择 B．
【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．
【习题3】 已知长方形的长为2x ? 3y ，面积为4x2 ? 9 y2 ，则此长方形的周长为 ．
【难度】★
【答案】8x ．
167746991315【解析】
4x2 ? 9y ? (2x ? 3y)(2x ? 3y) ，
?宽为：2x ? 3y ，
?周长? 2(2x ? 3y ? 2x ? 3y) ? 8x ．
【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．
【习题4】 已知 x ? y ? 1，xy ? 2 ，则 x3 y ? 2x2 y2 ? xy3 的值为 ．
【难度】★
【答案】2．
【解析】原式= xy(x2 ? 2xy ? y2 ) ? xy(x ? y)2 ? 2 ．
【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．
【习题5】 分解因式：
（1） (a ? b)7 ? (b ? a)5 ； （2） 64x6 ? y12 ；
（3） 4a2 ? b2 ? c2 ? 9d 2 ? 4ac ? 6bd ； （4） ?x2 ? 4?2 ? 8x ?x2 ? 4??16x2 ；
（5） x2 ? y2 ? z2 ? 2yz ；
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (a ? b)7 ? (a ? b)5
= (a ? b)5[(a ? b)2 ?1]
= (a ? b)5 (a ? b ?1)(a ? b ?1) ；
（2）原式= (8x3 ? y6 )(8x3 ? y6 )
= (2x ? y2 )(4x2 ? 2xy2 ? y4 )(2x ? y2 )(4x2 ? 2xy2 ? y4 ) ；
（3）原式= (2a ? c)2 ? (b ? 3d)2 ? (2a ? c ? b ? 3d)(2a ? c ? b ? 3d) ；
（4）原式= (x2 ? 4 ? 4x)2 ? (x ? 2)4 ；
（5）原式= x2 ? ( y ? z)2 ? (x ? y ? z)(x ? y ? z) ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．
【习题6】 分解因式：
（1） (x ? y)2n?1 ? (x ? z)(x ? y)2n ? 2( y ? x)2n ( y ? z) ， n 为正整数；
（2） (a ? b)2 (b ? c ? a)(c ? a ? b) ? (a ? b)2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ；
（3） x3 (x ? y ? z)( y ? z ? a) ? x2 z(z ? x ? y) ? x2 y(z ? x ? y)(x ? z ? a) ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (x ? y)2n (x ? y ? x ? z ? 2y ? 2z) ? (x ? y)2n ( y ? z) ；
（2）原式= (b ? c ? a)(c ? a ? b)[(a ? b)2 ? (a ? b)2 ]
= (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? a ? b)(a ? b ? a ? b)
= 4ab(b ? c ? a)(a ? c ? b) ；
（3）原式= x3 (x ? y ? z)( y ? z ? a) ? x2 z(x ? y ? z) ? x2 y(x ? y ? z)(x ? z ? a)
= x2 (x ? y ? z)[x( y ? z ? a) ? z ? y(x ? z ? a)]
= x2 (x ? y ? z)(xz ? ax ? z ? yz ? ay) ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．
?2x ? y ? 6
?
【习题7】 不解方程组?x ? 3y ? 1
，求代数式7 y ?x ? 3y?
2 ? 2?3y ? x?3
的值．
【难度】★★
【答案】21；
【解析】原式= 7 y(x ? 3y)2 ? 2(x ? 3y)3
= (x ? 3y)2[7 y ? 2(x ? 3y)]
= (x ? 3y)2 (2x ? y) ，
∴原式=12 ? 6 ? 6 ．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．
【习题8】 利用分解因式证明： 257 ? 512 能被 120 整除．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】原式= 514 ? 512 ? 512 (52 ?1) ? 512 ? 24 ? 511 ?120 ，
?原式能被 120 整除．
【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．
【习题9】 已知 x ? 3.43 ，y ? 3.14 ，求?2x2 ? 2xy ? 1 y2 的值．
2
【难度】★★
【答案】?50 ．
【解析】原式= ? 1 (4x2 ? 4xy ? y2 ) ? ? 1 (2x ? y)2 ，
2 2
当 x ? 3.43 ，y ? 3.14 时，原式= ? 1 ?102 ? ?50 ．
2
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【习题10】 求代数式的值： (3x ? 2)2 (2x ?1) ? (3x ? 2)(2x ?1)2 ? x(2x ?1)(2 ? 3x) ， 其中 x ?? 2 ．
3
【难度】★★
【答案】?4 ．
【解析】原式= (3x ? 2)2 (2x ?1) ? (3x ? 2)(2x ?1)2 ? x(2x ?1)(3x ? 2)
= (3x ? 2)(2x ?1)(3x ? 2 ? 2x ?1? x)
= ?3(3x ? 2)(2x ?1) ，
当 x ?? 2 时，原式= ?3? (?4) ? (? 4 ? 1) ? ?4 ．
3 3
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
? x ?1?
【习题11】 化简下列多项式：1? x ? x ?1? x? ? x ?1? x?2 ? x ?1? x?3 ?
x?2016 ．
【难度】★★★
【答案】(1 ? x)2016 ．
4170388-19089【解析】原式= (1? x) ? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2016
425822945045= (1? x)[1? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2015 ]
430938145045= (1? x)2[1? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2014 ]
= (1? x)2015 (1? x) = (1 ? x)2016 ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用．
【习题12】 已知a2 ? 4ab ? 4b2 ? 2a ? 4b ?1 = m2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ．
【难度】★★★
【答案】m ? ?(a ? 2b ?1) ．
【解析】化简得： (a ? 2b)2 ? 2(a ? 2b) ?1 ? m2 ，即(a ? 2b ?1)2 ? m2 ，
所以m ? ?(a ? 2b ?1) ．
【总结】本题考察了因式分解的运用．
【习题13】 已知： b ? c ? a ? ?2 ，求
2 a(a ? b ? c) ? b( 2 c ? 2 a ? 2 b) ? 1 c(2b ? 2c ? 2a) 的值．
3 3 3 3 3
【难度】★★★
8
【答案】 ．
3
【解析】原式= 2 a(a ? b ? c) ? 2 b(c ? a ? b) ? 2 c(b ? c ? a) 3 3 3
= 2 a(a ? b ? c) ? 2 b(a ? b ? c) ? 2 c(a ? b ? c) 3 3 3
= 2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) 3
= 2 (a ? b ? c)2 ，
3
1677467135354b ? c ? a ? ?2 ，∴原式= 2 ? 22 ? 8 ．
3 3
【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．
5164835-688978【习题14】 若 a ， b ， c 为正数，且满足a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ，那么a 、b 、c 之
间有什么关系？
【难度】★★★
【答案】a ? b ? c ．
【解析】化简得：a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? a2c2 ? b2c2 ? 0 ，则 1 [(a2 ? b2 ) ? (a2 ? c2 ) ? (b2 ? c2 )] ? 0 ．
2
?a2 ? b2 ? c2 ，
∵ a ， b ， c 为正数，
?a ? b ? c ．
【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．
课后作业
【作业1】把多项式?6m2n2 ?12m3n4 ? 9n3 分解因式时，应提取的公因式是（ ）．
A . ?6m2 n2
【难度】★
【答案】D
【解析】略
B . ?6n2
C . ?3m2 n2
D . ?3n2
【总结】本题考察了公因式的概念．
【作业2】因式分解1? 4x2 ? 4y2 ? 8xy 的结果是（ ）．
A . ?1? 2x??1? 2x? ? 4y( y ? 2x)
C . ?1? 2x ? 2y??1? 2x ? 2y?
B .1? (2x ? 2 y)2
D . ?1? 2x ? 2y??1? 2x ? 2y?
【难度】★
【答案】C
【解析】原式=1? 4(x2 ? 2xy ? y2 ) ? 1? 4(x ? y)2 ? (1? 2x ? 2y)(1? 2x ? 2y) ，选择 C；
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．
【作业3】已知 x ? y ? 2 ，求 1 x2 ? 1 y2 ? xy 的值．
2 2
【难度】★
【答案】2．
【解析】原式= 1 (x2 ? 2xy ? y2 ) ? 1 (x ? y)2 ? 1 ? 4 ? 2 ．
2 2 2
【总结】本题考察了因式分解的应用．
【作业4】若关于 x 的多项式4?2x ?1?2 ? 7?ax ? b?可提取公因式2x ?1 ，且整数，则a ???，b ???．
a ? b ? 3 ，a、b 为
【难度】★
【答案】2， －1．
【解析】设a ? 2k ，b ? ?k ， 则： 2k ? (?k) ? 3 ，解得： k ? 1，
?a ? 2，b ? ?1 ．
【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．
【作业5】分解因式：
（1） xy3 ? 4xy ； （2） ?26xy3 z2 ?13xy2 z2 ? 52x5 y2 z4 ；
（3） a2 (x ? y) ? b2 ( y ? x) ； （4） (m ? 5n)2 ? 2(5n ? m)(n ? 3m) ? (n ? 3m)2 ；
（5） 9(a ? b)2 ? 6(a2 ? b2 ) ? (a ? b)2 ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= xy( y2 ? 4) ? xy( y ? 2)( y ? 2) ；
（2）原式= ?13xy2 z2 (2y ?1? 4x4 z2 ) ；
（3）原式= (x ? y)(a2 ? b2 ) ? (x ? y)(a ? b)(a ? b) ；
（4）原式= [(m ? 5n) ? (n ? 3m)]2 ? 16(m ? 2n)2 ；
（5）原式= (3a ? 3b ? a ? b)2 ? 4(2a ? b)2 ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．
5164835-674751【作业6】用合理方法计算：
（1）1.1?102017 ?102016 ； （2）105? 95 ； （3）1.25?142 ?125?8.62 ．
【难度】★★
【答案】（1）102017 ； （2）9975； （3）－9000．
【解析】（1）原式=102016 (1.1?10 ?1) ? 102016 ?10 ? 102017 ；
（2）原式= (100 ? 5)(100 ? 5) ? 10000 ? 25 ? 9975 ；
（3）原式=1.25?142 ?1.25?862 ? 1.25(142 ? 862 ) ? 1.25?100? (?72) ? ?9000 ．
【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．
【作业7】已知a ? 96，b ? 92 ，求a2 ? 2ab ? b2 ? 6a ? 6b ? 9 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】原式= (a ? b)2 ? 6(a ? b) ? 9 ? (a ? b ? 3)2 ，
当a ? 96，b ? 92 时，原式=1．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【作业8】已知10x2 ? 6xy ? y2 ? 2x ?1 ? 0 ，求?2x ? y?2010 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由已知得： (9x2 ? 6xy ? y2 ) ? (x2 ? 2x ?1) ? 0 ，即(3x ? y)2 ? (x ?1)2 ? 0 ．
?3x ? y ? 0，x ?1 ? 0 ， 解得： x ? 1，y ? ?3 ，?原式? 1 ．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【作业9】当 x ? a ? b ，y ? a ? b 时，求代数式?x2 ? y2 ?2 ? (x2 ? y2 )2 的值．
【难度】★★
【答案】4(a ? b)2 (a ? b)2 ．
【解析】原式= (x2 ? y2 ? x2 ? y2 )(x2 ? y2 ? x2 ? y2 )
= 4x2 y2 ，
当 x ? a ? b ，y ? a ? b 时， 原式= 4(a ? b)2 (a ? b)2 ．
【总结】本题考察了因式分解的应用；
【作业10】因式分解： 3?a ? b?n ? 9(b ? a)n?1 ．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a ? b)n ? 9(a ? b)n?1 ? 3(a ? b)n (1? 3a ? 3b) ；
（2）当n 为奇数时，原式= 3(a ? b)n ? 9(a ? b)n?1 ? 3(a ? b)n (1? 3a ? 3b) ．
【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对 n 的分类讨论．
【作业11】证明：当n 为整数时， n3 ? n 的值必定是6 的倍数．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】原式= n(n2 ?1) ? n(n ? 1)(n ?1) ．
161015771077n ?1、n、n ?1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为 3 的倍数，
?n3 ? n 必定是6 的倍数．
【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．
5164835-674751【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： x4 ? 4 ．
解： x4 ? 4 ? x4 ? 4x2 ? 4 ? 4x2 ? (x2 ? 2)2 ? 4x2
?（x2 ? 2x ? 2)(x2 ? 2x ? 2) ．
以上解法中，在 x4 ? 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与 x4 ? 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．
请用上述方法分解下列各式：
（1） x4 ? x2 y2 ? y4 ； （2） x4 y4 ? 64 ．
【难度】★★★
【答案】（1） (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ； （2） (x2 y2 ? 8 ? 4xy)(x2 y2 ? 8 ? 4xy)
【解析】（1）原式= x4 ? 2x2 y2 ? y4 ? x2 y2 ? (x2 ? y2 )2 ? ?x2 y2 ? (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ；
（2）原式= x4 y4 ?16x2 y2 ? 64 ?16x2 y2 = (x2 y2 ? 8)2 ?16x2 y2
= (x2 y2 ? 8 ? 4xy)(x2 y2 ? 8 ? 4xy) ．
内容分析
本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念， 进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．
知识结构
2352702133667
模块一：提取公因式法
知识精讲
1、因式分解的概念：
（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解： 因式分解
多项式（和的形式 整式的积（积的形式） 整式乘法
5164835-6747512、因式、公因式的定义
（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab 中， 6 、a 、b 就是6ab
的因式．
（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式
ma ? mb?
mc中都含有因式m ，则m 就是这个多项式的公因式．
3、确定公因式的方法
（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．
（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．
（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．
4、提取公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除” 一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式； 二提：第二步将所找出的公因式提出来；
三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．
5、注意事项
（ 1 ） 如果多项式的首项是负数时， 一般先提出“—” 号， 使括号内的第一项系数是正数．
（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
例题解析
【例1】 填空：
（1）单项式12a2b2c ，? 8a2b3 ，4a3b2c2 应提取的公因式是 ；
（2）多项式2a2b ? 6ab2c 应提取的公因式是 ；
（3） 9?b ? a?2 ?x ? y? ? 21(a ? b)2 ( y ? x) 应提取的公因式是 ；
（4）多项式4a3b ? 8a2b2 ?12ab3 提取公因式后，另一个因式是 ；
（5）多项式?9x2 ? 6xy ? 3x 提取公因式后，另一个因式是 ；
4x(x ? y) ? 3( y ? x)2 提取公因式?x ? y? 后，另一个因式是 ．
【难度】★
【答案】（1） 4a2b2 ； （2） 2ab ； （3） 3(a ? b)2 (x ? y) ；
（4） a2 ? 2ab ? 3b2 ； （5） 3x ? 2y ?1 ； （6） x ? 3y ．
【解析】略．
【总结】本题考察了公因式的概念．
【例2】在下列等式右边的括号前填上“ ? ”号或“－”号，使等式成立．
（1） ?a ? b?2 ? (b ? a)2 ；（2） ?a ? b?3 ? (b ? a)3 ；
（3） ??a ? b?2 ? (a ? b)2 ；（4） ??a ? b?3 ? (a ? b)3 ；
（5） ?a ?1?2 (2 ? b)3 ? (1? a)2 (b ? 2)3 ；
（6） ?1? x?(2 ? x) ???(x ?1)(x ? 2) ．
【难度】★
【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+．
【解析】略．
【总结】本题考察了添括号法则的运用．
）．
【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（
A .1? 2x ? 3x2 ? 1? x(2 ? 3x) B . 24 ? 2? 2? 2?8
C . xy ?1 ? xy(1 ? 1 )
xy
D . 1
4
a2 ? 3a ? 9 ? ? 1
? 2
?
?2
a ? 3?
?
【难度】★
【答案】D
【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式；
B 选项左侧不是多项式； C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择 D．
【总结】本题考察了因式分解的概念．
【例4】多项式a2n ? a2 (n ? 1) 提取公因式后，另一个因式是（ ）．
A . an
【难度】★
【答案】D
B．an ?1
C . a2n?1 ?1
D . a2n?2 ?1
【解析】原式= a2 (a2n?2 ?1) ，故选择 D．
【总结】本题考察了提公因式法分解因式．
【例5】把 4 a3b3 ? 2 a2b4 分解因式的结果是 ．
3 9
【难度】★
【答案】 2 a2b3 (6a ? b) ．
9
【解析】原式= 2 a2b3 (6a ? b) ．
9
【总结】本题考察了提公因式法因式分解．
【例6】（1）如果2x ? y ? 4, xy ? 3 ，那么2x2 y ? xy2 的值是 ；
（2）多项式5(a ? 2b)2 ? 2a(a ? 2b) 的值等于15 ，且3a ?10b ? 3 ，则a ? 2b ???．
【难度】★★
【答案】（1）12；（2）5．
【解析】（1）原式= xy(2x ? y) ? 12 ；
（2）由已知得： (a ? 2b)[5(a ? 2b) ? 2a] ?15 ，即(a ? 2b)(3a ?10b) ? 15
18768571142503a ?10b ? 3，?a ? 2b ? 5 ．
【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．
【例7】把下列各式因式分解
（1） ?15a3b3 ? 45a2b ? 30ab ； （2）16a3b2c3 ? 48a4b3c2 ? 96a2b2c4 ；
（3） ? 2 ax2 ? 6x ? 4a ； （4） (m ? n)( p ? q) ? (n ? m)2 (q ? p) ；
3
（5） 3x(4x ? y) ? (4x ? y)(?4x ? y) ；
（6） ? p(q ? r ?1) ? q(r ? q ?1) ? (1? q ? r)2 ；
xn?1 ? xn ? 2xn?1 （ n 为大于1 的整数）；
4xn?2 yn?1 ? 6xn yn ?12x2 yn?1 （ n 是大于2 的整数）．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= ?15ab(a2b2 ? 3a ? 2) ；
（2）原式=16a2b2c2 (ac ? 3a2b ? 6c2 ) ；
（3）原式= ? 2 (ax2 ? 9x ? 6a) ；
3
（4）原式= (m ? n)( p ? q) ? (m ? n)2 ( p ? q) ? (m ? n)( p ? q)[1? (m ? n)]
? (m ? n)( p ? q)(1? m ? n) ；
（5）原式= 3x(4x ? y) ? (4x ? y)(4x ? y) ? (4x ? y)(7x ? y)
（6）原式= ? p(q ? r ?1) ? q(q ? r ?1) ? (q ? r ?1)2
= (q ? r ?1)(? p ? q ? q ? r ?1)
= ?(q ? r ?1)( p ? r ?1) ；
5164835-685393（7）原式= xn?1 (x2 ? x ? 2) ；
（8）原式= 2x2 yn?1 (2xn y2 ? 3xn?2 y ? 6) ；
【总结】本题考察了提公因式法因式分解；
【例8】利用简便方法计算：
（1） 5.78?12 ? 47 ? 5.78 ? 5.78? 41 ； （2） 5?102017 ?102016 ．
【难度】★★
【答案】（1）578； （2） 4.9 ?102017 ．
【解析】（1）原式= 5.78(12 ? 47 ? 41) ? 578 ；
（2）原式=102016 (50 ?1) ? 4.9 ?102017 ．
【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．
【例9】已知关于 x 的二次三项式2x2 ? mx ? n 因式分解的结果是?2x ?1?? x ? 1 ? ，求 m、n 的
? 4 ?
? ?
值．
【难度】★★
【答案】m ? ? 1 ，n ? ? 1 ．
2 4
【解析】由已知得： 2x2 ? mx ? n ? (2x ?1)(x ? 1) ，
4
?2x2 ? mx ? n ? 2x2 ? 1 x ? 1 ，
2 4
∴ m ? ? 1 ，n ? ? 1 ．
2 4
【总结】本题考察了因式分解的概念．
【例10】试判断518 ? 519 ? 520 能否被31整除．
【难度】★★
【答案】能．
【解析】原式= 518 (1? 5 ? 52 ) ? 518 ? 31 ，能被 31 整除．
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
（
【例11】已知代数式 1
x ?1) ? 1 (x ?1）? 1
x ?1) ?
1 (x ?1) ? ··· ? 1
x ? 1）的值是 27 ，
（
（
求 x 的值．
【难度】★★★
【答案】 x ? 29 ．
2 6 12 20 90
【解析】由已知得： (x ?1)(1 ? 1 ? ? 1 ) ? 27
?
1
9 ?10
2 6 90
(x ?1)( 1 ? 1 ?
) ? 27
1? 2 2 ? 3
(x ?1)(1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ) ? 27
2 2 3 9 10
(x ? 1)(1 ? 1 ) ? 27
10
解得： x ? 29
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
【例12】若多项式 M ? b(a ? b)(a ? c) ? c(a ? b)(c ? a) ，且 a ? b ? c ，求 M
的值．
【难度】★★★
2 3 4
abc
【答案】? 1 ．
12
【解析】 M ? b(a ? b)(a ? c) ? c(a ? b)(a ? c) ? (a ? b)(a ? c)(b ? c) ， 设a ? 2k ，b ? 3k ，c ? 3k ，
则原式= (?k)(?2k)(?k) ?? 1 ．
2k ? 3k ? 4k 12
【总结】本题考察了提公因式法的应用．
师生总结
观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？
模块二：公式法
知识精讲
1、公式法
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．
2、平方差公式： a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式；
（3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
3、完全平方公式： a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2
运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的 2 倍；
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；
（4）公式中字母“ a ”和“ b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式．
4、补充公式
（1） a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（2） a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（3） a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3 ；
（4） a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? (a ? b)3 ；
（5） a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? (a ? b ? c)2 ．
例题解析
【例13】因式分解?x ?1?2 ? 9 的结果是（ ）．
A . ?x ? 8??x ?1?
B . ?x ? 2??x ? 4?
C . ?x ? 2?(x ? 4)
D . ?x ?10??x ? 8?
【难度】★
【答案】B
【解析】原式= (x ?1? 3)(x ?1? 3) ? (x ? 2)(x ? 4) ．
【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．
【例14】下列因式分解正确的是（ ）．
A . x2 ? 4x ? 4 ? (x ? 4)2
B . 4x2 ? 2x ?1 ? ?2x ?1?2
C . 9 ? 6(m ? n) ? (m ? n)2 ? (3 ? m ? n)2 D . ?a2 ? b2 ? 2ab ? ?(a ? b)2
【难度】★
【答案】D
【解析】A 选项应为： (x ? 2)2 ； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解；
C 选项应为： [3 ? (m ? n)]2 ? (3 ? m ? n)2 ；D 选项正确．
【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．
5164835-674751【例15】分解因式：
（1） 4a2 ? 9b2 ???； （2） 4 ? x2n ???；
（3） ?a ? b?2 ? (c ? d )2 ? ； （4） 9a3b ? ab ? ；
（5） ?9a2 ? 1 ? ； （6） 25a2 ? 80a ? 64 ? ；
9
（7） ?16 ? 8xy ? x2 y2 ? ； （8） ?a ? b?2 ? 6?a ? b? ? 9 ? ．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (2a ? 3b)(2a ? 3b) ； （2）原式= (2 ? xn )(2 ? xn ) ；
（3）原式= (a ? b ? c ? d)(a ? b ? c ? d) ；
（4）原式= ab(9a2 ?1) ? ab(3a ?1)(3a ?1) ；
（5）原式= ? 1 (81a2 ?1) ? ? 1 (9a ?1)(9a ?1) ；
9 9
（6）原式= (5a ? 8)2 ；
（7）原式= ?(16 ? 8xy ? x2 y2 ) ? ?(4 ? xy)2 ；
（8）原式= (a ? b ? 3)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．
【例16】请写出264 ?1 的两个因数 ．
【难度】★
【答案】(232 ?1) 、(216 ?1) 、255 、17 、5 、3、1（任写两个）．
【解析】∵ 264 ?1 ? (232 ?1)(216 ?1)(28 ?1)(24 ?1)(22 ?1)(2 ?1)(2 ?1) ，
?264 ?1的因数是： (232 ?1) 、(216 ?1) 、255 、17 、5 、3、1．
【总结】本题考察了平方差公式分解因式．
【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：
（1） a6 ? b6 ； （2） 8x3 ? y3 ； （3） 9x5 ? 72x2 y3 ．
【难度】★★
【答案】见解析；
【解析】（1）原式= (a3 ? b3 )(a3 ? b3 ) ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ；
（2）原式= (2x ? y)(4x2 ? 2xy ? y2 ) ；
（3）原式= 9x2 (x3 ? 8y3 ) ? 9x2 (x ? 2y)(x2 ? 2xy ? 4y2 ) ．
【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．
【例18】分解因式：
（1） ?4?x ? y?2 ? 25(x ? y)2 ； （2） ?x ? y?4 ? (x ? y)4 ；
（3） ?a ? b?3 ? 4a ? 4b ； （4） xy ? 1 ? x2 y2 ；
4
（5） x2 (m ? n) ? 4x(n ? m) ? 4(n ? m) ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= [5(x ? y) ? 2(x ? y)][5(x ? y) ? 2(x ? y)] ? (7x ? 3y)(3x ? 7y) ；
（2）原式= [(x ? y)2 ? (x ? y)2 ][(x ? y)2 ? (x ? y)2 ] ? 8xy(x2 ? y2 ) ；
（3）原式= (a ? b)3 ? 4(a ? b) ? (a ? b)[(a ? b)2 ? 4] ? (a ? b)(a ? b ? 2)(a ? b ? 2) ；
（4）原式= ? 1 (4x2 y2 ? 4xy ?1) ? ? 1 (2xy ?1)2 ；
4 4
（5）原式= x2 (m ? n) ? 4x(m ? n) ? 4(m ? n) ? (m ? n)(x ? 2)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．
5164835-674751【例19】分解因式：
（1） 7am?1 ?14am ? 7am?1 ； （2） ?a ? b?2 ? 4(a ? b ?1) ；
（3） ?a2 ? 4a?2 ? 8(a2 ? 4a) ?16 ； （4） ?x2 ? y2 ?n?2 ?10?x2 ? y2 ?n?1 ? 25?x2 ? y2 ?n ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= 7am?1 (a2 ? 2a ?1) ? 7am?1 (a ?1)2 ；
（2）原式= (a ? b)2 ? 4(a ? b) ? 4 ? (a ? b ? 2)2 ；
（3）原式= (a2 ? 4a ? 4)2 ? (a ? 2)4 ；
（4）原式= (x2 ? y2 )n [(x2 ? y2 )2 ?10(x2 ? y2 ) ? 25]
= (x ? y)n (x ? y)n (x2 ? y2 ? 5)2 ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．
【例20】利用简便方法计算：
（1）
504
20172 ? 20152
； （2） 9982 ? 4 ；
（3）152 ?15?10 ? 52 ； （4）1982 ? 2 ?198? 98 ? 982 ．
【难度】★★
【答案】（1） 1
16
； （2）996000； （3）400； （4）10000．
【解析】（1）原式= 504
? 504
? 1 ；
(2017 ? 2015)(2017 ? 2015) 4032? 2 16
（2）原式= (998 ? 2)(998 ? 2) ? 996000 ；
（3）原式= (15 ? 5)2 ? 400 ；
（4）原式= (198 ? 98)2 ? 10000 ．
【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．
【例21】计算： ?1 ? 1 ??1 ? 1 ??1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ．
? 22 ?? 32 ?? 42 ? ? n2 ?
【难度】★★
? ?? ?? ? ? ?
【答案】 n ? 1 ．
2n
【解析】原式= (1 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) (1 ? 1)(1 ? 1)
2 2 3 3 n n
= 1 ? 3 ? 2 ? 4
2 2 3 3
= 1 ? n ? 1
n ?1 ? n ?1
n n
2 n
= n ? 1 ．
2n
【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．
【例22】已知 x2 ? x ? 2016，y2 ? y ? 2016 且 x ? y ，求 x2 ? 2xy ? y2 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由已知得： (x2 ? x) ? ( y2 ? y) ? 0 ，即 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ，
∴ x2 ? y2 ? (x ? y) ? 0 ，即(x ? y)(x ? y ?1) ? 0 ．
x ? y
?原式? (x ? y)2 ? 1．
【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．
【例23】已知多项式 S ? 4a ? 4b ? 2a?b?1 ，问： S 是否一定是非负数？请说明理由．
【难度】★★
【答案】 S 一定是非负数．
【解析】 S ? (2a )2 ? 2 ? 2a ? 2b ? (2b )2 ? (2a ? 2b )2 ? 0 ，
∴ S 一定是非负数．
【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．
5164835-661303【例24】已知a2 ? 2ab ? b2 ? 2a ? 2b ?1 ? 0 ，求a2 ? a ? b ? b2 的值．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】由已知，得： (a ? b)2 ? 2(a ? b) ?1 ? 0 ，即(a ? b ?1)2 ? 0 ．
?a ? b ?1 ? 0 ，
∴原式= (a2 ? b2 ) ? (a ? b) ? (a ? b)(a ? b ?1) ? 0 ．
【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．
【例25】请观察以下解题过程；分解因式： x4 ? 6x2 ?1． 解： x4 ? 6x2 ?1 ? x4 ? 2x2 ? 4x2 ?1
? ?x4 ? 2x 2 ? 1?? 4x 2
? ?x2 ?1?2 ? (2x)2
? ?x2 ?1 ? 2x??x2 ?1 ? 2x?
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式： a4 ? 7a2 ? 9 ．
【难度】★★★
【答案】(a2 ? 3 ? a)(a2 ? 3 ? a) ．
【解析】原式= a4 ? 6a2 ? a2 ? 9
= (a4 ? 6a2 ? 9) ? a2
= (a2 ? 3)2 ? a2
= (a2 ? 3 ? a)(a2 ? 3 ? a) ．
【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．
【例26】已知多项式 S ? ?a2 ? b2 ? c2 ?2 ? 4a2b2 ，求：（1）对于 S 进行因式分解；
（2）当 a、b、c 是△ ABC 的三边的长时，判断 S 的符号．
【难度】★★★
【答案】（1） (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c) ； （2） S ? 0 ．
【解析】（1）原式= (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)(a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)
= [(a ? b)2 ? c2 ][(a ? b)2 ? c2 ]
= (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c) ；
（2）由已知得： a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? ，a ? b ? c ? 0，a ? b ? c ? 0 ，
?S ? 0 ．
【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．
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【习题1】 分解因式：
（1） a(a ? b)(a ? b) ? a(a ? b)2 ； （2） a(1? b ? b2 ) ?1? b ? b2 ；
（3） ?2x2 ? 1 y2 ； （4） a4 ? b4 ；
2
（5） x3 ? 6x2 ? 9x ； （6） 3x2 (x ? y)2 ? 27( y ? x)4 ；
（7） ( p ? q)2m?1 ? (q ? p)2m?1 ； （8） 4?x ? y?2 ? 5 ? 20(x ? y ?1) ．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= a(a ? b)(a ? b ? a ? b) ? ?2ab(a ? b) ；
（2）原式= a(1? b ? b2 ) ? (1? b ? b2 ) ? (1? b ? b2 )(a ?1) ；
（3）原式= ? 1 (4x2 ? y2 ) ? ? 1 (2x ? y)(2x ? y) ；
2 2
（4）原式= (a2 ? b2 )(a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 )(a ? b)(a ? b) ；
（5）原式= x(x2 ? 6x ? 9) ? x(x ? 3)2 ；
（6）原式= 3x2 (x ? y)2 ? 27(x ? y)4
= 3(x ? y)2[x2 ? 9(x ? y)2 ]
= 3(x ? y)2[x ? 3(x ? y)][x ? 3(x ? y)]
= ?3(x ? y)2 (4x ? 3y)(2x ? 3y) ；
（7）原式= ( p ? q)2m?1 ? ( p ? q)2m?1
? ( p ? q)2m?1[( p ? q)2 ?1]
? ( p ? q)2m?1 ( p ? q ?1)( p ? q ?1) ；
（8）原式= 4(x ? y)2 ? 20(x ? y) ? 25 ? (2x ? 2y ? 5)2 ．
【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．
【习题2】 若 a ， b ， c 是三角形三边的长，则代数式a2 ? b2 ? c2 ? 2ab 的值( )．
A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零
【难度】★
【答案】B
【解析】原式= (a ? b)2 ? c2 ? (a ? b ? c)(a ? b ? c)
167746970536a ? b ? c ? 0, a ? b ? c ? 0
?原式? 0 ，选择 B．
【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．
【习题3】 已知长方形的长为2x ? 3y ，面积为4x2 ? 9 y2 ，则此长方形的周长为 ．
【难度】★
【答案】8x ．
167746991315【解析】
4x2 ? 9y ? (2x ? 3y)(2x ? 3y) ，
?宽为：2x ? 3y ，
?周长? 2(2x ? 3y ? 2x ? 3y) ? 8x ．
【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．
【习题4】 已知 x ? y ? 1，xy ? 2 ，则 x3 y ? 2x2 y2 ? xy3 的值为 ．
【难度】★
【答案】2．
【解析】原式= xy(x2 ? 2xy ? y2 ) ? xy(x ? y)2 ? 2 ．
【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．
【习题5】 分解因式：
（1） (a ? b)7 ? (b ? a)5 ； （2） 64x6 ? y12 ；
（3） 4a2 ? b2 ? c2 ? 9d 2 ? 4ac ? 6bd ； （4） ?x2 ? 4?2 ? 8x ?x2 ? 4??16x2 ；
（5） x2 ? y2 ? z2 ? 2yz ；
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (a ? b)7 ? (a ? b)5
= (a ? b)5[(a ? b)2 ?1]
= (a ? b)5 (a ? b ?1)(a ? b ?1) ；
（2）原式= (8x3 ? y6 )(8x3 ? y6 )
= (2x ? y2 )(4x2 ? 2xy2 ? y4 )(2x ? y2 )(4x2 ? 2xy2 ? y4 ) ；
（3）原式= (2a ? c)2 ? (b ? 3d)2 ? (2a ? c ? b ? 3d)(2a ? c ? b ? 3d) ；
（4）原式= (x2 ? 4 ? 4x)2 ? (x ? 2)4 ；
（5）原式= x2 ? ( y ? z)2 ? (x ? y ? z)(x ? y ? z) ．
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．
【习题6】 分解因式：
（1） (x ? y)2n?1 ? (x ? z)(x ? y)2n ? 2( y ? x)2n ( y ? z) ， n 为正整数；
（2） (a ? b)2 (b ? c ? a)(c ? a ? b) ? (a ? b)2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ；
（3） x3 (x ? y ? z)( y ? z ? a) ? x2 z(z ? x ? y) ? x2 y(z ? x ? y)(x ? z ? a) ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= (x ? y)2n (x ? y ? x ? z ? 2y ? 2z) ? (x ? y)2n ( y ? z) ；
（2）原式= (b ? c ? a)(c ? a ? b)[(a ? b)2 ? (a ? b)2 ]
= (b ? c ? a)(c ? a ? b)(a ? b ? a ? b)(a ? b ? a ? b)
= 4ab(b ? c ? a)(a ? c ? b) ；
（3）原式= x3 (x ? y ? z)( y ? z ? a) ? x2 z(x ? y ? z) ? x2 y(x ? y ? z)(x ? z ? a)
= x2 (x ? y ? z)[x( y ? z ? a) ? z ? y(x ? z ? a)]
= x2 (x ? y ? z)(xz ? ax ? z ? yz ? ay) ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．
?2x ? y ? 6
?
【习题7】 不解方程组?x ? 3y ? 1
，求代数式7 y ?x ? 3y?
2 ? 2?3y ? x?3
的值．
【难度】★★
【答案】21；
【解析】原式= 7 y(x ? 3y)2 ? 2(x ? 3y)3
= (x ? 3y)2[7 y ? 2(x ? 3y)]
= (x ? 3y)2 (2x ? y) ，
∴原式=12 ? 6 ? 6 ．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．
【习题8】 利用分解因式证明： 257 ? 512 能被 120 整除．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】原式= 514 ? 512 ? 512 (52 ?1) ? 512 ? 24 ? 511 ?120 ，
?原式能被 120 整除．
【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．
【习题9】 已知 x ? 3.43 ，y ? 3.14 ，求?2x2 ? 2xy ? 1 y2 的值．
2
【难度】★★
【答案】?50 ．
【解析】原式= ? 1 (4x2 ? 4xy ? y2 ) ? ? 1 (2x ? y)2 ，
2 2
当 x ? 3.43 ，y ? 3.14 时，原式= ? 1 ?102 ? ?50 ．
2
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【习题10】 求代数式的值： (3x ? 2)2 (2x ?1) ? (3x ? 2)(2x ?1)2 ? x(2x ?1)(2 ? 3x) ， 其中 x ?? 2 ．
3
【难度】★★
【答案】?4 ．
【解析】原式= (3x ? 2)2 (2x ?1) ? (3x ? 2)(2x ?1)2 ? x(2x ?1)(3x ? 2)
= (3x ? 2)(2x ?1)(3x ? 2 ? 2x ?1? x)
= ?3(3x ? 2)(2x ?1) ，
当 x ?? 2 时，原式= ?3? (?4) ? (? 4 ? 1) ? ?4 ．
3 3
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
? x ?1?
【习题11】 化简下列多项式：1? x ? x ?1? x? ? x ?1? x?2 ? x ?1? x?3 ?
x?2016 ．
【难度】★★★
【答案】(1 ? x)2016 ．
4170388-19089【解析】原式= (1? x) ? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2016
425822945045= (1? x)[1? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2015 ]
430938145045= (1? x)2[1? x(1? x) ? x(1? x)2 ? x(1? x)3 ? ? x(1? x)2014 ]
= (1? x)2015 (1? x) = (1 ? x)2016 ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用．
【习题12】 已知a2 ? 4ab ? 4b2 ? 2a ? 4b ?1 = m2 ，试用含a 、b 的代数式表示m ．
【难度】★★★
【答案】m ? ?(a ? 2b ?1) ．
【解析】化简得： (a ? 2b)2 ? 2(a ? 2b) ?1 ? m2 ，即(a ? 2b ?1)2 ? m2 ，
所以m ? ?(a ? 2b ?1) ．
【总结】本题考察了因式分解的运用．
【习题13】 已知： b ? c ? a ? ?2 ，求
2 a(a ? b ? c) ? b( 2 c ? 2 a ? 2 b) ? 1 c(2b ? 2c ? 2a) 的值．
3 3 3 3 3
【难度】★★★
8
【答案】 ．
3
【解析】原式= 2 a(a ? b ? c) ? 2 b(c ? a ? b) ? 2 c(b ? c ? a) 3 3 3
= 2 a(a ? b ? c) ? 2 b(a ? b ? c) ? 2 c(a ? b ? c) 3 3 3
= 2 (a ? b ? c)(a ? b ? c) 3
= 2 (a ? b ? c)2 ，
3
1677467135354b ? c ? a ? ?2 ，∴原式= 2 ? 22 ? 8 ．
3 3
【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意观察所求的式子的特征．
5164835-688978【习题14】 若 a ， b ， c 为正数，且满足a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ，那么a 、b 、c 之
间有什么关系？
【难度】★★★
【答案】a ? b ? c ．
【解析】化简得：a4 ? b4 ? c4 ? a2b2 ? a2c2 ? b2c2 ? 0 ，则 1 [(a2 ? b2 ) ? (a2 ? c2 ) ? (b2 ? c2 )] ? 0 ．
2
?a2 ? b2 ? c2 ，
∵ a ， b ， c 为正数，
?a ? b ? c ．
【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．
课后作业
【作业1】把多项式?6m2n2 ?12m3n4 ? 9n3 分解因式时，应提取的公因式是（ ）．
A . ?6m2 n2
【难度】★
【答案】D
【解析】略
B . ?6n2
C . ?3m2 n2
D . ?3n2
【总结】本题考察了公因式的概念．
【作业2】因式分解1? 4x2 ? 4y2 ? 8xy 的结果是（ ）．
A . ?1? 2x??1? 2x? ? 4y( y ? 2x)
C . ?1? 2x ? 2y??1? 2x ? 2y?
B .1? (2x ? 2 y)2
D . ?1? 2x ? 2y??1? 2x ? 2y?
【难度】★
【答案】C
【解析】原式=1? 4(x2 ? 2xy ? y2 ) ? 1? 4(x ? y)2 ? (1? 2x ? 2y)(1? 2x ? 2y) ，选择 C；
【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．
【作业3】已知 x ? y ? 2 ，求 1 x2 ? 1 y2 ? xy 的值．
2 2
【难度】★
【答案】2．
【解析】原式= 1 (x2 ? 2xy ? y2 ) ? 1 (x ? y)2 ? 1 ? 4 ? 2 ．
2 2 2
【总结】本题考察了因式分解的应用．
【作业4】若关于 x 的多项式4?2x ?1?2 ? 7?ax ? b?可提取公因式2x ?1 ，且整数，则a ???，b ???．
a ? b ? 3 ，a、b 为
【难度】★
【答案】2， －1．
【解析】设a ? 2k ，b ? ?k ， 则： 2k ? (?k) ? 3 ，解得： k ? 1，
?a ? 2，b ? ?1 ．
【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．
【作业5】分解因式：
（1） xy3 ? 4xy ； （2） ?26xy3 z2 ?13xy2 z2 ? 52x5 y2 z4 ；
（3） a2 (x ? y) ? b2 ( y ? x) ； （4） (m ? 5n)2 ? 2(5n ? m)(n ? 3m) ? (n ? 3m)2 ；
（5） 9(a ? b)2 ? 6(a2 ? b2 ) ? (a ? b)2 ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】（1）原式= xy( y2 ? 4) ? xy( y ? 2)( y ? 2) ；
（2）原式= ?13xy2 z2 (2y ?1? 4x4 z2 ) ；
（3）原式= (x ? y)(a2 ? b2 ) ? (x ? y)(a ? b)(a ? b) ；
（4）原式= [(m ? 5n) ? (n ? 3m)]2 ? 16(m ? 2n)2 ；
（5）原式= (3a ? 3b ? a ? b)2 ? 4(2a ? b)2 ．
【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．
5164835-674751【作业6】用合理方法计算：
（1）1.1?102017 ?102016 ； （2）105? 95 ； （3）1.25?142 ?125?8.62 ．
【难度】★★
【答案】（1）102017 ； （2）9975； （3）－9000．
【解析】（1）原式=102016 (1.1?10 ?1) ? 102016 ?10 ? 102017 ；
（2）原式= (100 ? 5)(100 ? 5) ? 10000 ? 25 ? 9975 ；
（3）原式=1.25?142 ?1.25?862 ? 1.25(142 ? 862 ) ? 1.25?100? (?72) ? ?9000 ．
【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．
【作业7】已知a ? 96，b ? 92 ，求a2 ? 2ab ? b2 ? 6a ? 6b ? 9 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】原式= (a ? b)2 ? 6(a ? b) ? 9 ? (a ? b ? 3)2 ，
当a ? 96，b ? 92 时，原式=1．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【作业8】已知10x2 ? 6xy ? y2 ? 2x ?1 ? 0 ，求?2x ? y?2010 的值．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】由已知得： (9x2 ? 6xy ? y2 ) ? (x2 ? 2x ?1) ? 0 ，即(3x ? y)2 ? (x ?1)2 ? 0 ．
?3x ? y ? 0，x ?1 ? 0 ， 解得： x ? 1，y ? ?3 ，?原式? 1 ．
【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．
【作业9】当 x ? a ? b ，y ? a ? b 时，求代数式?x2 ? y2 ?2 ? (x2 ? y2 )2 的值．
【难度】★★
【答案】4(a ? b)2 (a ? b)2 ．
【解析】原式= (x2 ? y2 ? x2 ? y2 )(x2 ? y2 ? x2 ? y2 )
= 4x2 y2 ，
当 x ? a ? b ，y ? a ? b 时， 原式= 4(a ? b)2 (a ? b)2 ．
【总结】本题考察了因式分解的应用；
【作业10】因式分解： 3?a ? b?n ? 9(b ? a)n?1 ．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）当n 为偶数时，原式= 3(a ? b)n ? 9(a ? b)n?1 ? 3(a ? b)n (1? 3a ? 3b) ；
（2）当n 为奇数时，原式= 3(a ? b)n ? 9(a ? b)n?1 ? 3(a ? b)n (1? 3a ? 3b) ．
【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对 n 的分类讨论．
【作业11】证明：当n 为整数时， n3 ? n 的值必定是6 的倍数．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】原式= n(n2 ?1) ? n(n ? 1)(n ?1) ．
161015771077n ?1、n、n ?1为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为 3 的倍数，
?n3 ? n 必定是6 的倍数．
【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．
5164835-674751【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： x4 ? 4 ．
解： x4 ? 4 ? x4 ? 4x2 ? 4 ? 4x2 ? (x2 ? 2)2 ? 4x2
?（x2 ? 2x ? 2)(x2 ? 2x ? 2) ．
以上解法中，在 x4 ? 4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与 x4 ? 4 的值保持不变，必须减去同样的一项．
请用上述方法分解下列各式：
（1） x4 ? x2 y2 ? y4 ； （2） x4 y4 ? 64 ．
【难度】★★★
【答案】（1） (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ； （2） (x2 y2 ? 8 ? 4xy)(x2 y2 ? 8 ? 4xy)
【解析】（1）原式= x4 ? 2x2 y2 ? y4 ? x2 y2 ? (x2 ? y2 )2 ? ?x2 y2 ? (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ；
（2）原式= x4 y4 ?16x2 y2 ? 64 ?16x2 y2 = (x2 y2 ? 8)2 ?16x2 y2
= (x2 y2 ? 8 ? 4xy)(x2 y2 ? 8 ? 4xy) ．