沪教版七年级数学秋季班第7讲：因式分解（二）教师版

2581815-178246因式分解（二）
内容分析
本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．
知识结构
2447971113982
模块一：十字相乘法
知识精讲
1、二次三项式：
多项式ax2 ? bx ? c ，称为字母 x 的二次三项式，其中ax2 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．
2、十字相乘法的依据
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在多项式乘法中有： (x ? a)(x ? b) ? x2 ? (a ? b)x ? ab ，
反过来可得： x2 ? (a ? b)x ? ab ? (x ? a)(x ? b) ．
3、十字交叉法的定义
一般地， x2 ? px ? q ? x2 ? (a ? b)x ? ab ? (x ? a)(x ? b) 可以用十字交叉线表示为：
1326497111056
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
4、用十字相乘法分解的多项式的特征
（1）必须是一个二次三项式；
（2）二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和
a ? b 正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；
（3）对于二次项系数不是 1 的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．
5、用十字相乘法因式分解的符号规律
（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；
（2）当常数项是“ ? ”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；
（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．
例题解析
【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）．
A ． x2 ? 2x ? 3
【难度】★
【答案】B
B ． x2 ? x ? 2
C ． x2 ? x ? 2
D ． x2 ? 3x ? 2
【解析】2 可以分解成1? 2 和?1? (?2) ，但两种情况相加均不为?1 ．
【总结】考察十字相乘法的方法．
【例2】因式分解5x2 ?14xy ? 8y2 正确的是（ ）．
A ． ?5x ? y??x ? 8y?
C ． ?5x ? 2y??x ? 4y?
B ． ?5x ? 8y??x ? y?
D ． ?5x ? 4y??x ? 2y?
【难度】★
【答案】C
【解析】5x2 ?14xy ? 8y2 可以用十字交叉线表示为：
5x -4y
x -2y
【总结】考察十字相乘法的方法．
【例3】分解因式：
（1） x2 ? 5x ? 6 ???； （2） x2 ? x ? 6 ???；
（3） 2x2 ? 3x ?1 ???； （4） 3a2 ? 2a ?1 ???．
【难度】★
【答案】(1) (x ? 3)(x ? 2) ；(2) (x ? 3)(x ? 2) ；(3) (2x ?1)(x ?1) ；(4) (3a ?1)(a ?1) ．
【解析】(1)(2)直接“拆常数项，凑一次项”；(3)(4)需要画十字交叉线．
【总结】考察十字相乘法的方法．
【例4】分解因式：
（1） ?a ? b?2 ?10?a ? b? ? 24 ? ；
（2） a2 x2 ? 5a2 xy ? 66a2 y2 ???．
【难度】★
【答案】(1) (a ? b ?12)(a ? b ? 2) ；(2)
a2 (x ?11y)(x ? 6y) ．
【解析】(1) 中可将a ? b 看成一整体；(2) 中需要先提取公因式．
【总结】考察十字相乘法的方法．
【例5】对于一切 x ，等式 x2 ? px ? q ? ( x ?1)(x ? 2) 均成立，则 p2 ? 4q 的值为_ _______．
【难度】★
【答案】9．
【解析】 x2 ? px ? q ? (x ?1)(x ? 2) ? x2 ? x ? 2 ，所以 p ? 1，q ? ?2 ， p2 ? 4q ? 9 ．
【总结】考察求代数式的值，本题中需先根据等式成立条件求出 p、q．
【例6】若二次三项式 x2 ? ax ?15 在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为 ．
【难度】★★
【答案】8，-8，16，-16．
【解析】15 ?1?15 ? ?1? (?15) ? 3? 5 ? ?3? (?5) ，所以 a 的值有四种情况．
【总结】考察二次三项式的系数为 1 时，常数项能分解成两个因数的积的几种情况．
【例7】分解因式：
（1） x2 ? 3 x ? 1 ； （2） ?a2 ? 1 a ? 1 ；
4 8 6 6
（3） ?a ? b?2 ? 5c(a ? b) ? 6c2 ； （4） x4 ?10x2 y2 ? 9y4 ；
（5） ?x2 ? x?2 ? 8?x2 ? x??12 ．
【难度】★★
【答案】(1)
(x ? 1)(x ? 1) ； (2)
2 4
?(a ? 1)(a ? 1) ； (3) (a ? b ? 3c)(a ? b ? 2c) ；
2 3
(4) (x ? y)(x ? y)(x ? 3y)(x ? 3y) ； (5) (x ?1)(x ? 2)(x ? 2)(x ? 3) ．
【解析】(1)直接用十字相乘法分解；(2) 先提取符号在因式分解；
(3)(5)先将小括号里看成一整体再分解；(4)中 x4 ? (x2 )2 , y4 ? ( y2 )2 ．
【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底，如(5)．
【例8】分解因式：
（1） ?20x2 ? 9x ? 20 ； （2） 9x5 ? 82x3 ? 9x ；
（3） ?x2 ? 3?2 ? 4x2 ； （4） ?x2 ? 4x?2 ? 7?x2 ? 4x??12 ；
（5） ?x2 ? 3x?2 ? 2?x2 ? 3x ? 4?．
【难度】★★
【答案】(1) ?(4x ? 5)(5x ? 4) ； (2) (3) (x ?1)(x ?1)(x ? 3)(x ? 3) ； (4)
x(x ? 3)(x ? 3)(3x ?1)(3x ?1) ；
(x ?1)(x ? 2)2 (x ? 3) ；
(5) (x ?1)(x ?1)(x ? 4)(x ? 2) ．
【解析】(1) 先提取负号；(2) 先提取公因式 x；(3) 先将小括号看成一整体，利用平方差公式分解；(4)(5)将小括号里的代数式看成一整体，(5)需先将常数项放在括号外面来．
【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底．
【例9】用简便方法计算： 9982 ? 9980 ?16 ．
【难度】★★
【答案】1006000．
【解析】9982 ? 9980 ?16 ? 9982 ? 998?10 ?16
? (998 ? 8)(998 ? 2)
? 1006?1000
? 1006000 ．
【总结】考察利用十字相乘法进行简便计算．
【例10】已知?x2 ? y2 ??x2 ? 3 ? y2 ?? 54 ? 0 ，试求 x2 ? y2 的值．
【难度】★★
【答案】6
【解析】令 x2 ? y2 =a，则 a>0． 原式可化为a ?a ? 3? ? 54 ? 0 ，
所以a2 ? 3a ? 54 ? (a ? 9)(a ? 6) ? 0 ，所以 a=6，即 x2 ? y2 ? 6 ．
【总结】考察利用十字相乘法求代数式的值，本题中注意 x2 ? y2 的符号．
【例11】试判断：当k 为大于等于 3 的正整数时， k5 ? 5k3 ? 4k 一定能被120 整除．
【难度】★★★
【答案】成立．
【解析】k5 ? 5k3 ? 4k ? k(k4 ? 5k2 ? 4) ? k(k2 ? 4)(k2 ?1)
? (k ? 2)(k ?1)k(k ?1)(k ? 2) 为 5 个连续自然数的乘积．
5 个连续自然数中，至少有一个能被 3 整除，至少有一个能被 5 整除，至少有一个能被 4 整除， 另外( 除了能被 4 整除的这个) 还至少有一个能被 2 整除， 3? 5? 4? 2 ? 12 ，
所以 5 个连续自然数的乘积一定能被 120 整除，即k 为大于等于 3 的正整数时，
k5 ? 5k3 ? 4k 一定能被120 整除．
【总结】考察代数式的因式分解，及被某数整除的条件．
【例12】分解因式：
（1） ?x2 ? 3x ? 2??x2 ? 3x ? 4??16 ； （2）?x ? 3??x ?1??x ? 2??x ? 4? ? 24 ；
（3） ?1? y2 ?x2 ? 4yx ? (1? y2 ) ．
【难度】★★★
【答案】(1)

(x2 ? 3x ? 6)(x ? 4)(x ?1) ； (2)
(x ? 3)(x ? 2)(x2 ? x ? 8) ；
(3) (x ? y ? xy ?1)(x ? y ? xy ?1) ．
【解析】(1) ?x2 ? 3x ? 2??x2 ? 3x ? 4??16
? (x2 ? 3x)2 ? 2(x2 ? 3x) ? 24
? (x2 ? 3x ? 6)(x2 ? 3x ? 4)
? (x2 ? 3x ? 6)(x ? 4)(x ?1) ；
(2) ?x ? 3??x ?1??x ? 2??x ? 4? ? 24
? (x2 ? x ?12)(x2 ? x ? 2) ? 24
? (x2 ? x ? 2)2 ?10(x2 ? x ? 2) ? 24
? (x2 ? x ? 2 ? 4)(x2 ? x ? 2 ? 6)
? (x ? 3)(x ? 2)(x2 ? x ? 8) ；
(3) ?1? y2 ?x2 ? 4yx ? (1? y2 )
? x2 ? x2 y2 ? 4xy ?1? y2
? (x2 ? 2xy ? y2 ) ? (x2 y2 ? 2xy ?1)
? (x ? y)2 ? (xy ?1)2
? (x ? y ? xy ?1)(x ? y ? xy ?1) ．
【总结】考察较复杂的代数式因式分解的方法．
【例13】分解因式：
（1） x2 ? 3xy ?10y2 ? x ? 9y ? 2 ； （2） 2x2 ? xy ? y2 ? 4x ? 5y ? 6 ．
【难度】★★★
【答案】(1) (x ? 2y ?1)(x ? 5y ? 2) ；(2) (2x ? y ? 2)(x ? y ? 3) ．
【解析】(1)
x2 ? 3xy ?10y2 ? x ? 9y ? 2
? (x ? 5y)(x ? 2y) ? 2x ? 4y ? x ? 5y ? 2
? (x ? 5y)(x ? 2y) ? 2(x ? 2y) ? (x ? 5y ? 2)
? (x ? 5y ? 2)(x ? 2y) ? (x ? 5y ? 2)
? (x ? 5y ? 2)(x ? 2y ?1) ；
(2) 2x2 ? xy ? y2 ? 4x ? 5y ? 6
? (2x ? y)(x ? y) ? 6x ? 3y ? 2x ? 2y ? 6
? (2x ? y)(x ? y) ? 3(2x ? y) ? 2(x ? y) ? 6
? (2x ? y)(x ? y ? 3) ? 2(x ? y ? 3)
? (2x ? y ? 2)(x ? y ? 3) ．
【总结】考察较复杂代数式因式分解的方法，本题还可以用双十字相乘法．
模块二：分组分解法
知识精讲
1、分组原则：
（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式．
2、分组分解法分解因式的几点注意
（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；
（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；
（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；
（4）五项式一般采用三项、两项分组；
（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；
（6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解．
例题解析
【例14】把多项式4x2 ? 2x ? y2 ? y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）．
A ． ?4x2 ? y?? ?2x ? y2 ?
C ． 4x2 ? (2x ? y2 ? y)
B ． ?4x2 ? y2 ?? (2x ? y)
D ． ?4x2 ? 2x?? ?y2 ? y?
【难度】★
【答案】B
【解析】B 中分组之后还可以继续分解，其余不行．
【总结】考察分组的原则．
【例15】把多项式2xy ? x2 ? y2 ?1分解因式（ ）．
A ． ?x ? y ?1?? y ? x ?1?
C ． ?x ? y ?1??x ? y ?1?
B ． ?x ? y ?1?? y ? x ?1?
D ． ?x ? y ?1??x ? y ?1?
【难度】★
【答案】A
【解析】2xy ? x2 ? y2 ?1 ? 1? (x2 ? 2xy ? y2 )
? 1? (x ? y)2
? (1? x ? y)(1? x ? y) ．
【总结】考察分组的方法．
【例16】将多项式a2 ? ab ? ac ? bc 分解因式，分组的方法共有 种．
【难度】★
【答案】2
【解析】一二分组或一三分组．
【总结】考察分组的方法．
【例17】（1）若a3 ? a2b ? ab2 ? b3 有因式?a ? b?，则另外的因式是 ．
（2）若多项式 x3 ? 3x2 ? 3x ? m 有一个因式为?x ? 3? ，则 m 的值为 ．
【难度】★★
【答案】(1) (a ? b)(a ? b) ；(2) -9．
【解析】(1) a3 ? a2b ? ab2 ? b3 ? a2 (a ? b) ? b2 (a ? b) ? (a ? b)(a2 ? b2 ) ? (a ? b)(a ? b)2 ；
(2) x3 ? 3x2 ? 3x ? m ? x2 (x ? 3) ? 3(x ? m) ，由题意， ? m ? 3，m ? ?9 ．
3 3
【总结】考察分组的方法．
【例18】分解因式：
（1）1? 4x2 ? 4y2 ? 8xy ； （2） a2 x2 ? 4 ? a2 y 2 ?2a2 xy ；
（3） x2 ? 4x3 ? 4 ?16x ； （4） x3 ? x2 y ? xy2 ? y3 ．
【难度】★★
【答案】(1) (1? 2x ? 2y)(1? 2x ? 2y) ；(2) (ax ? ay ? 2)(ax ? ay ? 2) ；
(3) (1? 4x)(x ? 2)(x ? 2) ； (4) (x ? y)2 (x ? y) ．
【解析】(1) 后三项一组提取公因式 4；(2) 一三四一组提取 a2；
(3)一二、三四分组；(4) 一二、三四分组．
【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．
【例19】分解因式：
（1） ax ? ay ? x2 ? 2xy ? y2 ； （2） 2x2 ? 2x ? xy ? 2y ? y2 ．
【难度】★★
【答案】(1) (x ? y)(a ? x ? y) ；(2) (x ? y)(2x ? y ? 2) ．
【解析】(1) 一二、三四五分组；
(2) 2x2 ? 2x ? xy ? 2y ? y2 ? x2 ? 2x ? xy ? 2y ? x2 ? y2 ，然后按顺序两两分组．
【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．
【例20】分解因式：
（1） x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ?1 ； （2） x2 ? y2 ? z2 ? 2yz ?1? 2x ．
【难度】★★
【答案】(1)
(x ?1)(x2 ? x ?1)(x2 ? x ?1) ；(2) (x ? y ? z ?1)(x ? y ? z ?1) ．
【解析】(1) x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ?1
? x3 (x2 ? x ?1) ? (x2 ? x ?1)
? (x2 ? x ?1)(x3 ?1)
? (x2 ? x ?1)(x ?1)(x2 ? x ?1) ；
(2) x2 ? y2 ? z2 ? 2yz ?1? 2x
? (x2 ? 2x ?1) ? ( y2 ? z2 ? 2yz)
? (x ?1)2 ? ( y ? z)2
? (x ? y ? z ?1)(x ? y ? z ?1) ．
【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．
【例21】分解因式：
（1） 4x2 ? 3y ? x(3y ? 4) ； （2） ab(c2 ? d 2 ) ? cd(a2 ? b2 ) ．
【难度】★★
【答案】(1) (x ?1)(4x ? 3y) ；(2) (ac ? bd)(bc ? ad) ．
【解析】(1) 小括号展开后一四、二三分组；
(2) 小括号展开后一四、二三分组；或者一三、二四分组．
【总结】考察分组的方法．
【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：
（1）1? 4x2 ?12xy ? 9y2 ，其中 x ? 1 ，y ? 8 ；
2 3
（2） x2 ? 4xy ? 4y2 ? 6x ?12y ? 5 ，其中 x ? 2y ? 8 ．
【难度】★★
【答案】(1) (1? 2x ? 3y)(1? 2x ? 3y) ，-48；(2) (x ? 2y ?1)(x ? 2y ? 5) ，21．
【解析】(1)
1? 4x2 ?12xy ? 9y2
? 1? (2x ? 3y)2
? (1? 2x ? 3y)(1? 2x ? 3y) ，
把 x ? 1 ，y ? 8 代入上式得值为-48；
2 3
(2) x2 ? 4xy ? 4y2 ? 6x ?12y ? 5
? (x ? 2y)2 ? 6(x ? 2y) ? 5
? (x ? 2y ?1)(x ? 2y ? 5) ，
把 x ? 2y ? 8 代入上式得值为 21．
【总结】考察先因式分解再求值，注意方法的合理选择及运用．
【例23】当 a ? c ? 2b 时，求式子a2 ? c2 ? 4b2 ? 4bc 的值．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】a2 ? c2 ? 4b2 ? 4bc
? a2 ? (c2 ? 4bc ? 4b2 ) ? a2 ? (c ? 2b)2
? (a ? c ? 2b)(a ? c ? 2b)
当 a ? c ? 2b 时，代入上式第二个因式为 0，所以原式值为 0．
【总结】考察先因式分解再求值．
【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式3n?2 ? 2n?2 ? 3n ? 2n 的值一定是
10 的整数倍．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】3n?2 ? 2n?2 ? 3n ? 2n ? 3n (32 ?1) ? 2n (22 ?1)
? 10 ? 3n ? 5? 2n ? 10(3n ? 2n?1 ) ．
当n 为任意正整数时， 3n ? 2n?1 必为整数，所以代数式3n?2 ? 2n?2 ? 3n ? 2n 的值一定是10 的整数倍．
【总结】考察分组分解法分解因式及倍数的概念．
【例25】求证：无论 x、y 为何值， 4x2 ?12x ? 9y2 ? 30y ? 35 的值恒为正．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】
4x2 ?12x ? 9y2 ? 30y ? 35
? 4x2 ?12x ? 9 ? 9y2 ? 30y ? 25 ?1
? (2x ? 3)2 ? (3y ? 5)2 ?1 >0
所以：无论 x、y 为何值， 4x2 ?12x ? 9y2 ? 30y ? 35 的值恒为正．
【总结】考察将代数式化成完全平方的形式．
【例26】如果多项式kx2 ? 2xy ? 3y2 ? 3x ? 5y ? 2 能分解成两个一次因式乘积， 求 k2 ? 5k ? 0.25 的值．
【难度】★★★
【答案】?3.75 ．
【解析】kx2 ? 2xy ? 3y2 ? 3x ? 5y ? 2
? kx2 ? (3 ? 2y)x ? (3y2 ? 5y ? 2)
? kx2 ? (3 ? 2y)x ? (3y ?1)( y ? 2)
因为接下来再用十字相乘法分解时，常数项可分为3y ?1 和 ?( y ? 2) ，两者之和正好为
3 ? 2 y ，所以k ? ?1．
所以k2 ? 5k ? 0.25 ? 1? 5 ? 0.25 ? ?3.75 ．
【总结】本题综合性较强，主要考察将复杂代数式分解因式的方法．
【例27】对于多项式 x3 ? 5x2 ? x ?10 ,我们把 x ? 2 代入多项式，发现 x ? 2 能使多项式
x3 ? 5x2 ? x ?10 的值为0 ，由此可以断定多项式 x3 ? 5x2 ? x ?10 中有因式?x ? 2?．
［注：把 x ? a 代入多项式，能使多项式的值为 0 ，则多项式一定含有因式?x ? a? ］，于是我们可以把多项式写成： x3 ? 5x ? x ?10 ? (x ? 2)(x2 ? mx ? n) ，分别求出m、n 后再代入
x3 ? 5x ? x ?10 ? ?x ? 2??x2 ? mx ? n?，就可以把多项式 x3 ? 5x2 ? x ?10 因式分解．
（1）求式子中 m、n 的值．
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项 x3 ? 5x2 ? 8x ? 4 ．
【难度】★★★
【答案】(1) m ? ?3，n ? ?5 ；(2) x3 ? 5x2 ? 8x ? 4 ? (x ?1)(x ? 2)2 ．
【解析】(1)
x3 ? 5x2 ? x ?10 ? (x ? 2)(x2 ? mx ? n)
? x3 ? (m ? 2)x2 ? (n ? 2m)x ? 2n
根据系数对应相等得： ?m ? 2 ? ?5 ，解得： ?m ? ?3 ．
?
?
??2n ? 10 ?n ? ?5
x3 ? 5x2 ? 8x ? 4 ? ?x ?1??x2 ? mx ? n? (根据试根法可得多项式含因式 x+1)
? x3 ? (m ?1)x2 ? (m ? n)x ? n
根据系数对应相等得： ?m ? 1 ? 5 ， 解得： ?m ? 4 ．
?
?
?n ? 4 ?n ? 4
所以 x3 ? 5x2 ? 8x ? 4
? ?x ?1??x2 ? 4x ? 4?
? (x ?1)(x ? 2)2
【总结】本题主要考察对试根法的理解及其应用，综合性较强，主要考查对题目的理解能力．
随堂检测
【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（ ）．
A ． x2 ? x ? 2
B ． 3x2 ?10x2 ? 3x
C ． x2 ? 3x ? 2
D ． x2 ? 6xy ? 7 y2
【难度】★
【答案】B
【解析】B 中合并同类项之后变成两项，而十字相乘法分解因式的形式为二次三项式．
【总结】考察能用十字相乘法分解因式的条件．
【习题2】下列因式分解错误的是（ ）．
A ． a2 ? bc ? ac ? ab ? ?a ? b??a ? c?
B ． ab ? 5a ? 3b ?15 ? (b ? 5)(a ? 3)
C ． x2 ? 6xy ?1? 9y2 ? (x ? 3y ?1)(x ? 3y ?1)
D ． x2 ? 3xy ? 2x ? 6y ? (x ? 3y)(x ? 2)
【难度】★
【答案】C
【解析】C 中正确答案应为 x2 ? 6xy ?1? 9y2 ? (x ? 3y ?1)(x ? 3y ?1) ．
【总结】考察分解因式的方法，注意符号问题．
【习题3】分解因式： x2 ? 5x ???? (x ???)(x ? 4) ．
【难度】★
【答案】4，1．
【解析】由一次项系数可得后面小括号填 1，那么常数项为 4．
【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法．
【习题4】若?x ? 2??x ? 3?是二次三项式 x2 ? mx ? n 的因式分解的结果，则m 的值是 ．
【难度】★
【答案】?1 ．
【解析】?x ? 2??x ? 3? ? x2 ? x ? 6 = x2 ? mx ? n ， 利用系数对应相等可得m ? ?1．
【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的逆运算．
【习题5】若 x2 ? kx ?15 ? ?x ? a??x ? b?，则a ? b 的值不可能是（ ）．
A ．14 B ．16 C ． 2 D ． ?14
【难度】★★
【答案】B
【解析】ab ? ?15 ， ?15 ? ?1?15 ? ?15?1 ? ?3? 5 ? ?5? 3 ， 所以a ? b 的值可能是 14，-14，2，-2 四种．
【总结】考察二次项系数为 1 的二次三项式十字相乘法分解的方法．
【习题6】分解因式：
（1） ?3ab ? 2a ? 4 ? 6b ???；
（2） a2bx ? a2cx ? bx ? cx ???；
（3） a2 ? 2a ? 4b2 ? 4b ???．
【难度】★★
【答案】(1) (2 ? 3b)(a ? 2) ；(2)
x(b ? c)(a ?1)(a ?1) ；(3) (a ? 2b)(a ? 2b ? 2) ．
【解析】(1) 一二、三四分组；(2) 一二、三四分组；(3) 一三、二四分组．
【总结】考察分组分解法分解因式．
【习题7】分解因式：
（1） x2 ?10 ? 24 ； （2） ?x2 ? 4x ? 21；
（3） 3x2 ? 8xy ? 3y2 ； （4） x4 ?10x2 ? 9 ．
【难度】★★
【答案】(1) (x ?12)(x ? 2) ； (2)
?(x ? 7)(x ? 3) ；
(3) (3x ? y)(x ? 3y) ； (4) (x ?1)(x ?1)(x ? 3)(x ? 3) ．
【解析】(1)(3)直接十字相乘法分解；(2) 先提取负号；(4)先将 x4 ? (x2 )2 ，注意分解彻底．
【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．
【习题8】分解因式：
（1） 36 ? 5(m ? n) ? (m ? n)2 ； （2） ?a ? b?2 ? 9(ac ? bc) ? 20c2 ．
【难度】★★
【答案】(1)
【解析】(1)
?(m ? n ? 9)(m ? n ? 4) ；(2) (a ? b ? 4c)(a ? b ? 5c) ．
36 ? 5(m ? n) ? (m ? n)2
? ?[(m ? n)2 ? 5(m ? n) ? 36]
? ?[(m ? n) ? 9][(m ? n) ? 4]
? ?(m ? n ? 9)(m ? n ? 4) ；
(2) ?a ? b?2 ? 9(ac ? bc) ? 20c2
? ?a ? b?2 ? 9(a ? b)c ? 20c2
? (a ? b ? 4c)(a ? b ? 5c) ．
【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法，本题在于将小括号里的因式看成一整体．
【习题9】分解因式：
（1） 4a2 ? 4 ? 4ab ? b2 ； （2） x3 ? x2 y ? xy ? y2 ? x ? y ；
（3） x2 ? 4xy ? 4y2 ? 6x ?12y ? 9 ； （4） x2n ? xn ? 1 y2 ? 1 ．
9 4
【难度】★★
【答案】(1) (2a ? b ? 2)(2a ? b ? 2) ；(2)
(x ? y)(x2 ? y ?1) ；
(3)

(x ? 2 y ? 3)2 ； (4)
(xn ? 1 ? 1 y)(xn ? 1 ? 1 y) ．
2 3 2 3
【解析】(1) 一三四分组；(2) 两两顺次分组；
一二三、四五、六分组；(4) 一二四分组．
【总结】考察分组的方法．
【习题10】若一个长方形的周长为32 ，长为 x ，宽为 y ，且满足 x3 ? x2 y ? xy2 ? y3 ? 0 ． 求这个长方形的面积．
【难度】★★
【答案】64．
【解析】 x3 ? x2 y ? xy2 ? y3
? x2 (x ? y) ? y2 (x ? y)
? (x ? y)(x2 ? y2 )
? (x ? y)2 (x ? y) ? 0 ，
由题意只有 x ? y ，又4x ? 32，所以x ? 8，所以x2 ? 64 ． 即这个长方形的面积为 64．
【总结】考察多项式的因式分解及实际问题中值为 0 的条件．
【习题11】用两种不同的分组方法分解因式： x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ?1．
【难度】★★
【答案】(x ?1)(x4 ? x2 ?1) ．
【解析】法一：
x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ?1
? x4 (x ?1) ? x2 (x ?1) ? (x ?1)
? (x ?1)(x4 ? x2 ?1) ；
法二：
x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ?1
? (x5 ? x3 ? x) ? (x4 ? x2 ?1)
? x(x4 ? x2 ?1) ? (x4 ? x2 ?1)
? (x ?1)(x4 ? x2 ?1) ．
【总结】考察分组的方法．
【习题12】已知 x2 ? 3x ? a2 ? a ? 5 ? 0 ，求 x ? 3a 的值．
2
【难度】★★
【答案】-3．
【解析】 x2 ? 3x ? a2 ? a ? 5 ? x2 ? 3x ? 9 ? a2 ? a ? 1
? (x ? 3)2 ? (a ? 1)2 ? 0 ，
2 4 4 2 2
所以 x ? ? 3 ，a ? ? 1 ，则 x ? 3a ? ?3 ．
2 2
【总结】考察根据代数式求值的方法．
【习题13】已知a、b、c、d 是整数，且a ? b ? 7 ， c ? d ? 7 ，判断ad ? bc 的值能否被7 整除，并简要说明理由．
【难度】★★★
【答案】能，见解析
【解析】因为a ? b ? 7 ， 所以(a ? b)d ? 7d ①； 因为c ? d ? 7 ，所以b(c ? d) ? 7b ②．
两式相减得ad ? bc ? 7d ? 7b ? 7(d ? b) ，
因为 a、b、c、d 是整数，所以 d ? b 也为整数，所以7(d ? b) 能被 7 整除， 即原题成立．
【总结】考察能被 7 整除的条件．
【习题14】分解因式：
（1） 3x2 ? 5xy ? 2y2 ? x ? 9y ? 4 ；
（2） x2 ? 3xy ? 2y2 ? 4x ? 5y ? 3 ．
【难度】★★★
【答案】(1) (3x ? y ? 4)(x ? 2y ?1) ；(2) (x ? 2y ? 3)(x ? y ?1) ．
【解析】(1)
3x2 ? 5xy ? 2y2 ? x ? 9y ? 4
? 3x2 ? (5y ?1)x ? (2y2 ? 9y ? 4)
? 3x2 ? (5y ?1)x ? (2y ?1)( y ? 4)
? (3x ? y ? 4)(x ? 2y ?1) ；
(2) x2 ? 3xy ? 2y2 ? 4x ? 5y ? 3
? x2 ? (3y ? 4)x ? (2y2 ? 5y ? 3)
? x2 ? (3y ? 4)x ? (2y ? 3)( y ?1)
? (x ? 2y ? 3)(x ? y ?1) ．
【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题可用双十字相乘法分解．
【习题15】分解因式：
（1） ?x2 ? x ? 6??x2 ? x ? 8?? 24 ；
（2） ?x ?1?(x ? 2)(x ? 3)(x ? 6) ? 20 ．
【难度】★★★
【答案】(1) (x ? 4)(x ? 3)(x ? 2)(x ?1) ；(2)
【解析】(1) ?x2 ? x ? 6??x2 ? x ? 8?? 24
(x2 ? 5x ? 4)(x ?1)(x ? 4)
? (x2 ? x ? 6)2 ? 2(x2 ? x ? 6) ? 24
? (x2 ? x ? 6 ? 6)(x2 ? x ? 6 ? 4)
? (x ? 4)(x ? 3)(x ? 2)(x ?1) ；
(2) ?x ?1?(x ? 2)(x ? 3)(x ? 6) ? 20
? (x2 ? 5x ? 6)(x2 ? 5x ? 6) ? 20
? (x2 ? 5x ? 6)2 ?12(x2 ? 5x ? 6) ? 20
? (x2 ? 5x ? 6 ? 2)(x2 ? 5x ? 6 ?10)
? (x2 ? 5x ? 4)(x ?1)(x ? 4) ．
【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题主要考察整体思想．
课后作业
【作业1】分解因式：
（1） x2 ? 5xy ? 24y2 ???；
（2） x2 ? 2ax ? 3bx ? 6ab ???；
（3） 9x2 ? 9x ? y2 ? 3y ???．
【难度】★
【答案】(1) (x ? 8y)(x ? 3y) ；(2) (x ? 2a)(x ? 3b) ；(3) (3x ? y)(3x ? y ? 3) ．
【解析】(1) 直接用十字相乘法分解；(2)一二、三四分组；(3)一三、二四分组．
【总结】考察较简单的因式分解的方法．
【作业2】分解因式：
（1） x2 ?12x ? 20 ； （2） x ?12 ? x2 ；
（3）12x2 ?11x ?15 ．
【难度】★
【答案】(1) (x ? 2)(x ?10) ；(2) ?(x ? 4)(x ? 3) ；(3) (4x ? 3)(3x ? 5) ．
【解析】(1)(3) 直接用十字相乘法分解；(2)先提取负号再用十字相乘法分解．
【总结】考察用十字相乘法分解因式．
【作业3】把下列各式因式分解：
（1） 2x2 ? 4x ? 2 ? 2y2 ； （2） ax2 ? bx2 ? ax ? bx ? a ? b ．
【难度】★
【答案】(1) 2(x ? y ?1)(x ? y ?1) ；(2)
(a ? b)(x2 ? x ?1) ．
【解析】(1) 先提取公因式 2，然后一二三、四分组；
(2) 按顺序两两分组．
【总结】考察用分组分解法分解因式．
【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值： a ? b ? 3a2b ? 3ab2 ，其中a ? 8 ， b ? 2 ．
3
【难度】★
【答案】(a ? b)(1? 3ab) ， 34 ．
3
【解析】a ? b ? 3a2b ? 3ab2
? (a ? b) ? 3ab(a ? b)
? (a ? b)(1? 3ab) ，
把 a ? 8 ， b ? 2 代入，得上式值为 34 ．
3 3
【总结】考察先分解因式后求值．
【作业5】已知15x2 ? 47xy ? 28y2 ? 0 ，求 x 的值．
y
【难度】★★
【答案】 7 或 4 ．
3 5
【解析】因为15x2 ? 47xy ? 28y2 ? (3x ? 7 y)(5x ? 4 y) ? 0 ，
所以有3x ? 7 y或5x ? 4y ，所以 x ? 7 或 4 ．
y 3 5
【总结】考察十字相乘法因式分解．
【作业6】在因式分解多项式 x2 ? ax ? b 时，小明看错了一次项系数后，分解得?x ? 5??x ? 3? ， 小华看错了常数项后，分解得?x ? 4??x ? 2? ，求原多项式以及正确的因式分解的结果．
【难度】★★
【答案】 x2 ? 2x ?15 ? (x ? 5)(x ? 3) ．
【解析】小明的常数项正确，为5? 3 ? 15 ；小华的一次项系数正确，为?4 ? 2 ? ?2 ， 所以原多项式为 x2 ? 2x ?15 ．
【总结】考察十字相乘法因式分解的方法和逆用．
【作业7】已知多项式 x2 ? xy ?12y2 ．
（1）将此多项式因式分解；
（2）若多项式 x2 ? xy ?12y2 的值等于?6 ，且 x、y 都是正整数，求满足条件的 x、y 的
值．
【难度】★★
【答案】(1)
x2 ? xy ?12y2 ? (x ? 4y)(x ? 3y) ；
(2) x ? 3，y ? 1．
【解析】?6 ? ?1? 6 ? ?6?1 ? 2? (?3) ? ?2? 3 ，因为 x、y 都是正整数，所以 x ? 3y ? 4 ，
?x ? 3y ? 6 ?x ? 3
所以只有?x ? 4 y ? ?1 符合，解得： ? y ? 1 ．
? ?
【总结】考察十字相乘法因式分解及根据已知条件求值．
【作业8】分解因式：
（1） ?a ? b?2 ? (a ? c)2 ? (c ? d )2 ? (b ? d )2 ； （2） x4 ? 2(a2 ? b2 )x2 ? (a2 ? b2 )2 ．
【难度】★★
【答案】(1) 2(a ? b ? c ? d)(a ? d) ；(2) (x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b) ．
【解析】(1)原式= ?a ? b?2 ? (b ? d )2 ? (a ? c)2 ? (c ? d )2
= (a ? 2b ? d)(a ? d) ? (a ? 2c ? d)(a ? d)
= (a ? d)(2a ? 2b ? 2c ? 2d)
= 2(a ? d)(a ? b ? c ? d) ；
(2) 原式= x4 ? 2(a2 ? b2 )x2 ? (a2 ? b2 )2 ? 4a2b2
= (x2 ? (a2 ? b2 ))2 ? (2ab)2
= (x2 ? (a2 ? b2 ) ? 2ab)(x2 ? (a2 ? b2 ) ? 2ab)
= (x2 ? (a ? b)2 )(x2 ? (a ? b)2 )
= (x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b)(x ? a ? b) ．
【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意分解要彻底．
【作业9】分解因式：
（1） x2 ? y2 ? 2x ? 6y ? 8 ； （2） x4 ? x3 ? 4x2 ? 3x ? 3．
【难度】★★★
【答案】（1） (x ? y ? 2)(x ? y ? 4) ；（2） (x2 ? x ?1)(x2 ? 3) ．
【解析】（1）原式= x2 ? 2x ?1? ( y2 ? 6y ? 9) = (x ?1)2 ? ( y ? 3)2 = (x ? y ? 2)(x ? y ? 4) ；
（2）原式= (x4 ? x3 ? x2 ) ? (3x2 ? 3x ? 3) = x2 (x2 ? x ?1) ? 3(x2 ? x ?1)
= (x2 ? x ?1)(x2 ? 3) ．
【总结】考察复杂多项式的因式分解．
【作业10】分解因式：
（1） ?x2 ? x?2 ?14(x2 ? x) ? 24 ； （2） ?a ? b?2 (ab ?1) ?1 ；
（3） (xy ?1)(x ?1)( y ?1) ? xy ； （4） ?1? x2 ??1? y2 ?? 4xy ．
【难度】★★★
【答案】（1） (x ?1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ；（2） (a2 ? ab ?1)(b2 ? ab ?1) ；
（3） (xy ?1? x)(xy ?1? y) ； （4） (xy ? x ? y ?1)(xy ? x ? y ?1)
【解析】（1）原式= (x2 ? x ? 2)(x2 ? x ?12) = (x ?1)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ；
（2）原式? (a2 ? b2 ? 2ab)(ab ?1) ?1 ? a2 (ab ?1) ? b2 (ab ?1) ? 2ab(ab ?1) ?1
? a2b2 ? (a2 ? b2 )(ab ?1) ? (a2b2 ? 2ab ?1) ? a2b2 ? (a2 ? b2 )(ab ?1) ? (ab ?1)2
? (a2 ? ab ?1)(b2 ? ab ?1) ；
（3）原式? (xy ?1)(xy ?1? x ? y) ? xy ? (xy ?1)2 ? (xy ?1)(x ? y) ? xy
? (xy ?1? x)(xy ?1? y) ；
（4）原式=1? x2 ? y2 ? x2 y2 ? 4xy = x2 y2 ? 2xy ?1? (x2 ? 2xy ? y2 ) ．
= (xy ?1)2 ? (x ? y)2 = (xy ? x ? y ?1)(xy ? x ? y ?1) ．
【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意方法的合理选择．
?a ? b2 ? 2ac ? 29
?
【作业11】已知正有理数a、b、c 满足方程组?b ? c2 ? 2ab ? 17 ，求a ? b ? c 的值．
?
?c ? a2 ? 2bc ? 26
【难度】★★★
【答案】8．
【解析】 三个方程相加可得(a ? b ? c) ? (a ? b ? c)2 ? 72 ? 0 ，
分解因式，得： (a ? b ? c ? 8)(a ? b ? c ? 9) ? 0 ， 所以a ? b ? c =8 或者?9 (舍)．
【总结】考察根据已知条件求值，本题运用了(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac 公式的逆用．