沪教版七年级数学秋季班第8讲：因式分解综合教师版

2630075-175832因式分解综合
内容分析
本节课的内容，主要是对因式分解的四种方法——提取公因式法，公式法， 十字相乘，分组分解法进行综合练习．通过本节课的学习，可以帮助同学们在做题目时，更加快速准确地找准分解因式的方法．并且可以用因式分解的思想去解决实际问题．
知识结构
例题解析
【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）．
A ． x(a ? b) ? ax ? bx B ． x2 ?1? y2 ? (x ?1)(x ?1) ? y2
C ． x2 ?1 ? (x ?1)(x ?1) D ． ax ? bx ? c ? x(a ? b) ? c
【难度】★
【答案】C
【解析】因式分解是将一个多项式分解成因式乘积的形式．
【总结】考察因式分解的定义．
【例2】如果一个多项式因式分解的结果是?b2 ? 2??2 ? b2 ?，那么这个多项式是（ ）．
A ． b4 ? 4
【难度】★
【答案】B
B ． 4 ? b4
C ． b4 ? 4
D ． b4 ? 4
【解析】?b2 ? 2??2 ? b2 ?? ?2 ? b2 ??2 ? b2 ?? 4 ? b4 ．
【总结】考察平方差公式的运用．
【例3】下列各式中，是完全平方式的是（ ）．
A ． y2 ? y ? 1
4
B ．1 ? m2
C ． a ? ab ?1
D ． x2 ? 2x ?1
【难度】★
【答案】A
【解析】 y2 ? y ? 1 ? ( y ? 1)2 ．
4 2
【总结】考察用完全平方公式的运用．
【例4】如果 x2 ? mx ? n 是一个完全平方式，则 m、n 的关系是 ．
【难度】★
【答案】m2 ? 4n ．
【解析】( m)2 ? n ，m2 ? 4n ．
2
【总结】考察对完全平方式的理解及运用．
【例5】利用因式分解计算：
（1） 992 ?1012 ； （2）
? 11 12 ?2
121
144
144
169
? ? ? ? ? ．
? 12 13 ?
【难度】★
【答案】（1）-400；（2） 287．
【解析】 （1） 992 ?1012 ? (99 ?101)(99 ?101) ? 200 ? (?2) ? ?400
（2） 令a ? 11 ，b ? 12 ，
12 13
原式可化为 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? ?(a ? b)(a ? b) ? (a ? b)2 ? ? a ? b ，
a ? b
11 ? 12 2
将 a、b 代入上式，得原式? 12 13 ? 11?13 ? 12
? 287 ．
12 ? 11 122 ?13?11
13 12
【总结】考察因式分解在简便运算中的应用．
【例6】已知a、b、c 是?ABC 的三边，且a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ，那么?ABC 的形状是（ ）．
A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
【难度】★★
【答案】C
【解析】由a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc ，得： 2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2(ab ? ac ? bc) ? 0 ， 即(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (a ? c)2 ? 0 ， 所以a ? b ，b ? c ，a ? c ．
即?ABC 为等边三角形．
【总结】本题一方面考察完全平方式的运用，另一方面考查几个非负数的和为零的基本模型．
【例7】如果多项式 x2 ? kx ?16 可分解成两个一次因式的积，且k 为整数，那么k 不可能是（ ）．
A ．10 B ． ?17
【难度】★★
【答案】C
C ． ?15
D ． 8
【解析】16 ?16?1 ? ?16? (?1) ? 4? 4 ? ?4? (?4) ? 2?8 ? ?2? (?8) ， 所以k ? ?17 或? 8 或?10 ，故选 C．
【总结】考察对十字相乘法的理解及运用．
【例8】分解因式：
（1） 9(x ? 2y)2 ? 25?x ? 2y?2 ? ； （2）102n ?1 ? ；
（3） x2 y2 ? y2 ???； （4） 3a2 ? 6a ? 3 ???；
（5）1 ? 1 a ? 1 a2 ? ； （6） x2 ? x ? 6 ? ；

2 16
（7） x4 ? 7x2 ? 8 ???； （8） 3y2 ?11y ?10 ???．
【难度】★★
【答案】（1）?8(2x ? y)(x ? 8y) ；（2）(10n ?1)(10n ?1) ；（3）y2 (x ?1)(x ?1) ；（4） 3(a ?1)2 ；
（5）
(1 ? 1 a)2 ；（6） (x ? 3)(x ? 2) ；（7） (x ?1)(x ?1)(x2 ? 8) ；（8） (3y ? 5)( y ? 2) ．
4
【解析】（1）（2）（3）用平方差公式分解；（4）（5）用完全平方公式法分解；
（6）（7）（8）用十字相乘法分解．
【总结】本题主要考察利用适当的方法对多项式进行因式分解，注意分解一定要彻底．
【例9】已知一矩形面积 S ? ?n2 ? 5n ? 4??n2 ? 5n ? 6?? 35 ，求此矩形的周长．
【难度】★★
【答案】24．
【解析】由题意，可得： (n2 ? 5n)2 ?10(n2 ? 5n) ?11 ? 0 ，
分解因式，得： (n2 ? 5n ?11)(n2 ? 5n ?1) ? 0 ，则n2 ? 5n ? ?11或n2 ? 5n ? 1． 因为矩形边长为正整数，所以n2 ? 5n ? 1，所以一组邻边长为 5 和 7，
所以此矩形的周长为： ?5 ? 7?? 2 ? 24 ．
【总结】本题一方面考查因式分解在实际问题中的应用，另一方面考查整体思想的运用．
【例10】已知a ? b ? 3 ， ab ? ?2 ，利用因式分解求解 a2 ?a ? b? ? b2 ?a ? b?的值．
【难度】★★
【答案】39．
【解析】a2 ?a ? b? ? b2 ?a ? b? ? (a ? b)(a2 ? b2 ) ? (a ? b)[(a ? b)2 ? 2ab] ? 3? (9 ? 4) ? 39 ．
【总结】考察因式分解的运用，利用已知条件求值．
【例11】已知 x2 ? y2 ? 2z2 ? 2x ? 4y ? 4z ? 7 ? 0 ，则 xyz ???．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】因为 x2 ? y2 ? 2z2 ? 2x ? 4y ? 4z ? 7 ? 0 ，所以(x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2(z ?1)2 ? 0 ．
即 x ? 1，y ? ?2，z ? ?1，所以 xyz ? 2 ．
【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．
【例12】已知a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? 2ab ? 2cd ? 0 ，求ac ? ad ? bc ? bd 的值．
【难度】★★
【答案】0．
【解析】由题意，得(a ? b)2 ? (c ? d)2 ? 0 ，所以 a ? b ，c ? d ．
所以ac ? ad ? bc ? bd ? a (c ? d ) ?b (c ?d ) ? 0 ．
【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型．
【例13】已知代数式 x4 ? 6x2 y ? 9y2 ? 2x2 ? 6y ? 4 的值为7 ，求代数式
x4 ? 6x2 y ? 9y2 ? 2x2 ? 6y ?1 的值．
【难度】★★
【答案】-2 或 14．
【解析】由题意，得： x4 ? 6x2 y ? 9y2 ? 2x2 ? 6y ? 3 ? 0 ，
因式分解，得： (x2 ? 3y ?1)(x2 ? 3y ? 3) ? 0 ，则 x2 ? 3y ? 1 或 x2 ? 3y ? ?3 ． 因为 x4 ? 6x2 y ? 9y2 ? 2x2 ? 6y ?1 ? (x2 ? 3y)2 ? 2(x2 ? 3y) ?1 ，
所以当 x2 ? 3y=1时，原式? ?2 ；当 x2 ? 3y ? ?3 时，原式? 14 ．
【总结】考察根据已知条件求值，本题关键在于将已知条件的等式因式分解．
【例14】分解因式： ?x ? y?2 ? 2ab?x ? y? ?1? a2b2 ．
【难度】★★
【答案】(x ? y ? ab ?1)(x ? y ? ab ?1) ．
【解析】本题先采用一三分组，再利用公式法进行因式分解．
【总结】考察较复杂的多项式的因式分解的方法．
【例15】分解因式： ?x2 ? 3x?2 ? 8?x2 ? 3x?? 20 ．
【难度】★★
【答案】(x ? 5)(x ? 2)(x ?1)(x ? 2) ．
【解析】?x2 ? 3x?2 ? 8?x2 ? 3x?? 20 ? (x2 ? 3x ?10)(x2 ? 3x ? 2) ? (x ? 5)(x ? 2)(x ?1)(x ? 2) ．
【总结】本题主要考查利用十字相乘法进行因式分解，注意分解要彻底．
【例16】分解因式： ?1? x2 ??1? y2 ?? 4xy ．
【难度】★★
【答案】(xy ?1? x ? y)(xy ?1? x ? y) ．
【解析】原式? 1? y2 ? x2 ? x2 y2 ? 4xy ? x2 y2 ? 2xy ? 1? (x2 ? 2xy ? y 2 )
? (xy ?1)2 ? (x ? y)2 ? (xy ?1? x ? y)(xy ?1? x ? y) ．
【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先展开后再分组．
【例17】分解因式： x2 ? 9y2 ? 4z2 ? 6xy ?12yz ? 4xz ．
【难度】★★
【答案】(x ? 3y ? 2z)2 ．
【解析】 x2 ? 9y2 ? 4z2 ? 6xy ?12yz ? 4xz ? (x ? 3y)2 ? 4z(x ? 3y) ? 4z2 ? (x ? 3y ? 2z)2 ．
【总结】本题先利用分组分解法，然后再用完全平方公式进行因式分解，注意观察每一项的特征．
【例18】分解因式： ?ax ? by?2 ? ?ay ? bx?2 ? c2 x2 ? c2 y2 ．
【难度】★★
【答案】(x2 ? y2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ．
【解析】原式? a2 x2 ? 2abxy ? b2 y2 ? a2 y2 ? 2abxy ? b2 x2 ? c2 x2 ? c2 y2
? a2 (x2 ? y2 ) ? b2 (x2 ? y2 ) ? c2 (x2 ? y2 )
? (x2 ? y2 )(a2 ? b2 ? c2 ) ．
【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先将小括号展开后再分组．
【例19】分解因式： x?x ?1??x ? 2??x ? 3? ? 40 ．
【难度】★★
【答案】(x ? 4)(x ? 2)(x2 ? 2x ? 5) ．
【解析】原式? (x2 ? 2x ? 3)(x2 ? 2x) ? 40 ? ( x2 ? 2 x) 2 ?3( x2 ? 2 x) ?40
? (x2 ? 2x ? 8)(x2 ? 2x ? 5) ? (x ? 4)(x ? 2)(x2 ? 2x ? 5) ．
【总结】本题综合性较强，主要是观察前面几个因式的特征之后，通过合理的分组，然后利用整体思想进行因式分解，注意分解要彻底．
【例20】分解因式： x4 ? y4 ? ?x ? y?4 （拆项添项）．
【难度】★★★
【答案】2(x2 ? y2 ? xy)2 ．
【解析】原式? x4 ? y4 ? 2x2 y2 ? ?x ? y?4 ? 2x2 y2
? (x2 ? y2 )2 ? x2 y2 ? ?x ? y ?4 ? x2 y2
? (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ? [(x ? y)2 ? xy][(x ? y)2 ? xy]
? (x2 ? y2 ? xy)(x2 ? y2 ? xy) ? (x2 ? y2 ? 3xy)(x2 ? y2 ? xy)
? (x2 ? y2 ? xy)(2x2 ? 2 y2 ? 2xy)
? 2(x2 ? y2 ? xy)2
【总结】本题综合性较强，主要考查通过添项，构造完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解，注意分解要彻底．
【例21】分解因式： x2 ? xy ? 2y2 ? x ? 7 y ? 6 （双十字相乘法）．
【难度】★★★
【答案】(x ? y ? 2)(x ? 2y ? 3) ．
【解析】 x -y 2
x 2y -3
【总结】考察用双十字相乘法分解因式的方法．
【例22】利用乘法分配律可知：
?a ? b??a2 ? ab ? b2 ?? ；
?a ? b??a2 ? ab ? b2 ?? ．
由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：
a3 ? b3 ???； a3 ? b3 ???．
请利用新的公式对下列各题进行因式分解．
（1） x3 ? 8y3 ； （2） x6 ? y6 ．
【难度】★★★
【答案】a3 ? b3 ； a3 ? b3 ； a3 ? b3 ? ?a ? b??a2 ? ab ? b2 ?； ?a ? b??a2 ? ab ? b2 ?．
（1） (x ? 2y)(x2 ? 2xy ? 4y2 ) ；（2） (x ? y)(x2 ? xy ? y2 )(x ? y)(x2 ? xy ? y2 ) ．
【解析】（1）
x3 ? 8y3 ? x3 ? (2y)3 ? (x ? 2y)(x2 ? 2xy ? 4y2 ) ；
（2） x6 ? y6 ? (x3 ? y3 )(x3 ? y3 ) ? (x ? y)(x2 ? xy ? y2 )(x ? y)(x2 ? xy ? y2 ) ．
【总结】考察用新的公式进行因式分解．
【例23】已知a、b、c 满足a ? b ? c ? 1， a2 ? b2 ? c2 ? 2 ， a3 ? b3 ? c3 ? 3 ，求a4 ? b4 ? c4 的值．
【难度】★★★
【答案】 25 ．
6
【解析】因为(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ，即1 ? 2 ? 2(ab ? bc ? ac) ，
所以 ab ? bc ? ac ? ? 1 ．因为 a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc) ，
2
即3 ? 3abc ? 2 ? 1 ，所以abc ? 1 ．
2 6
因为(a ? b ? c)(a3 ? b3 ? c3 ) ? a4 ? b4 ? c4 ? 7(ab ? ac ? bc) ? abc(a ? b ? c) ，
即3 ? a4 ? b4 ? c4 ? 7 ? (? 1) ? 1 ?1，所以a4 ? b4 ? c4 ? 25 ．
2 6 6
【总结】本题综合性较强，主要考察整式乘法与因式分解的综合运用以及整体思想的运用．
【例24】若 x2 ? x ? 3 ? 0 ，则 x3 ?1991x2 ?1987x ?1990 ???．
【难度】★★★
【答案】7960
【解析】令 a=1990，原式可化为：
x3 ? (a ?1)x2 ? (a ? 3)x ? a ? x3 ? ax2 ? x2 ? ax ? 3x ? a ? x(x2 ? x ? 3) ? a(x2 ? x ?1) ? 4a ，
将 a ? 1990 代入，得：原式? 4?1990 ? 7960 ．
【总结】考察利用因式分解的思想进行根据已知条件求值，本题用 a 代换较大的数 1990， 便于计算．
【例25】计算：
【难度】★★★
20123 ? 2 ? 20122 ? 2010
．
20123 ? 20122 ? 2013
【答案】 2010 ．
2013
【解析】令a ? 2012 ，
a3 ? 2a2 ? (a ? 2) ? a3 ? 2a2 ? a ? 2 ? (a2 ?1)(a ? 2) ? a ? 2 ? ? 3
原式可化为：
a3 ? a2 ? (a ?1)

a3 ? a2 ? a ?1 (a2 ?1)(a ?1)
a ?1

1 ，
a ?1
将 a ? 2012 代入，得：原式? 1 ? 3

? 1 ? 3
? 2010 ．
2012 ?1 2013 2013
【总结】考察利用因式分解的思想进行化简求值，本题用 a 代换较大的数 2012，便于化简．
随堂检测
②
【习题1】下列各式中，是完全平方式的是（ ）．
① 4a2 ? 2ab ? b2 ；② x2 ? 1
x2
? 2 ；③ 9m2 ? 6mn ? n2 ；
④ x2 ? xy ? 1 y2 ；⑤ a4 ? 2a3b ? a2b2 ；⑥ 1
? 2x2 ? x4 ．
4 x2
A ．①②③ B ．②④⑤ C ．③④⑤⑥ D ．①②⑤⑥
【难度】★
【答案】B
【解析】②④⑤是，①③⑥不是．
【总结】考察完全平方式的意义．
【习题2】已知正方形的面积是9x2 ? 6xy ? y2 （ x ? 0，y ? 0 ），利用因式分解，写出表示该
正方形的边长的代数式是 ．
【难度】★
【答案】3x ? y ．
【解析】9x2 ? 6xy ? y2 ? (3x ? y)2 ．
【总结】考察用完全平方式分解因式．
【习题3】已知a ? b ? 2 ， ab ? 2 ，则 1 a3b ? a2b2 ? 1 ab3 ? ．
2 2
【难度】★
【答案】4．
【解析】 1 a3b ? a2b2 ? 1 ab3 ? 1 ab(a2 ? 2ab ? b2 ) ? 1 ab(a ? b)2 ? 1 ? 2 ? 4 ? 4 ．
2 2 2 2 2
【总结】考察用完全平方式分解因式，然后利用整体代入进行求值．
【习题4】甲、乙两个同学分解因式 x2 ? ax ? b 时，甲看错了b ，分解结果为?x ? 2??x ? 4? ； 乙看错了a ，分解结果为?x ?1??x ? 9? ，则 a ? b ???．
【难度】★
【答案】15．
【解析】甲看错了b ，所以一次项系数正确，为 2+4=6；
乙看错了a ，所以常数项正确，为1? 9 ? 9 ， 所以a ? b ? 6 ? 9 ?15 ．
【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．
【习题5】如果二次三项式 x2 ? ax ? 8（ a 为整数）在整数范围内可分解因式，那么a 的取值可以是 ．
【难度】★★
【答案】?7 或? 2 ．
【解析】因为?8 ? ?8?1? ?1? 8 ? ?2? 4 ? ?4? 2 ，所以a ? ?7 或? 2 ．
【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．
【习题6】分解因式：
（1）12a3b2c ?18a2b3c ? 24ac ； （2） a ?a ? b ? c? ? b?c ? a ? b? ? c ?b ? a ? c?；
（3） ?2an?2 ?16an ? 32an?2 ； （4） a4 ? a3 ? 2a2 ? a ?1．
【难度】★★
【答案】（1）
6ac(2a2b2 ? 3ab3 ? 4) ；（2） (a ? b ? c)2 ；
（3） ?2an?2 (a ? 2)2 (a ? 2)2 ；（4） (a2 ? a ?1)(a2 ?1) ．
【解析】（1）（2）提取公因式法；（3）先提取公因式再用公式法；（4）拆项分组法．
【总结】本题主要考查利用合适的方法进行因式分解．
【习题7】分解因式： ?b ? c?2 ? 4?a ? b??c ? a?．
【难度】★★
【答案】(2a ? b ? c)2 ．
【解析】?b ? c?2 ? 4?a ? b??c ? a? ? b2 ? 2bc ? c2 ? 4(ac ? a2 ? bc ? ab)
? b2 ? 2bc ? c2 ? 4ac ? 4a2 ? 4bc ? 4ab ? (2a ? b ? c)2 ．
【总结】本题直接无法因式分解，因此要先把每一项都拆开，然后重新分组进行因式分解．
【习题8】分解因式： x2 ?10xy ? 25y2 ? 6x ? 30y ? 8 ．
【难度】★★
【答案】(x ? 5y ? 4)(x ? 5y ? 2) ．
【解析】原式? (x ? 5y)2 ? 6(x ? 5y) ? 8 ? ( x ? 5 y ? 2)( x ?5 y ? 4) ．
【总结】本题主要是先利用分组分解法进行分组，然后再利用十字相乘法进行因式分解．
【习题9】分解因式： x2 ? xy ? 2y2 ? x ? 5y ? 2 ．
【难度】★★
【答案】(x ? 2y ?1)(x ? y ? 2) ．
【解析】 x

-2y 1
x y -2
【总结】考察较复杂分解因式的方法，本题用双十字相乘法比较简单．
【习题10】设 x ? 2z ? 3y ，试判断 x2 ? 9y2 ? 4z2 ? 4xz 的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由．
【难度】★★
【答案】是定值，0．
【解析】 x2 ? 9y2 ? 4z2 ? 4xz ? (x ? 2z)2 ? 9y2 ? (x ? 2z ? 3y)(x ? 2z ? 3y) ? 6y ? 0 ? 0 ．
【总结】考察先因式分解，再根据已知条件求值．
【习题11】试讨论对于哪些m 值， x2 ? xy ? 4x ? my 能分解成两个一次因式的积．
【难度】★★★
【答案】4
【解析】 x2 ? xy ? 4x ? my ? x(x ? 4) ? y(x ? m)
所以当m ? 4 时，上式才可以继续因式分解成(x ? 4)(x ? y) ．
【总结】考察分组分解法可以继续分解的条件．
【习题12】已知?2000 ? a??1998 ? a? ? 1999 ，求?2000 ? a?2 ? ?1998 ? a?2 的值．
【难度】★★★
【答案】4002．
【解析】因为?2000 ? a??1998 ? a? ?1999 ， 所以?a ? 2000??1998 ? a? ? ?1999 ．
?2000 ? a?2 ? ?1998 ? a?2 ? [?a ? 2000? ? ?1998 ? a?]2 ? 2?a ? 2000??1998 ? a?
? 4 ? 2 ? (?1999)
? 4002
【总结】考察完全平方公式的变形，再根据已知条件求值．
【习题13】分解因式： 2x4 ? x3 ? 6x2 ? x ? 2 （拆添项）．
【难度】★★★
【答案】(2x2 ? 3x ? 2)(x ?1)2 ．
【解析】原式? 2x4 ? 2x3 ? 3x3 ? 3x2 ? 3x2 ? 3x ? 2x ? 2
? 2x3 (x ?1) ? 3x2 (x ?1) ? 3x(x ?1) ? 2(x ?1)
? (x ?1)(2x3 ? 3x2 ? 3x ? 2)
? (x ?1)(2x3 ? 2x2 ? 5x2 ? 5x ? 2x ? 2)
? (x ?1)[2x2 (x ?1) ? 5x(x ?1) ? 2(x ?1)]
? (x ?1)2 (2x2 ? 5x ? 2)
? (x ?1)2 (2x ?1)(x ? 2) ．
【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．
【习题14】分解因式： ?1? y?2 ? 2x2 ?1? y2 ?? x4 ?1? y?2 （拆项添项）．
【难度】★★★
【答案】(x ?1)(x ?1? y ? xy)(x ?1)(x ?1? y ? xy) ．
【解析】?1? y?2 ? 2x2 ?1? y2 ?? x4 ?1? y?2
? [?1? y? ? x2 ?1? y?]2 ? 2?1? y?? x2 ?1? y? ? 2x2 ?1? y2 ?
? [?1? y? ? x2 ?1? y?]2 ? 2x2 (1? y2 ?1? y2 )
? [?1? y? ? x2 ?1? y?]2 ? 4x2
? [?1? y? ? x2 ?1? y? ? 2x][?1? y? ? x2 ?1? y? ? 2x]
? [(x ?1)2 ? y(1? x2 )][(x ?1)2 ? y(1? x2 )]
? (x ?1)(x ?1? y ? xy)(x ?1)(x ?1? y ? xy) ．
【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底．
课后作业
【作业1】已知多项式2x2 ? bx ? c 分解因式为2?x ? 3??x ?1? ，则b、c 的值为（ ）．
A ． b ? 3 ， c ? ?1
C ． b ? ?6 ， c ? ?4
【难度】★
【答案】D
B ． b ? ?6 ， c ? 2
D ． b ? ?4 ， c ? ?6
【解析】根据常数项c ? 2 ? (?3) ?1 ? ?6 ，即可知选 D．
【总结】考察十字相乘法的逆用．
【作业2】下列分解因式错误的是（ ）．
A ． a2 ? 5a ? 6 ? ?a ? 2??a ? 3?
B ．1? 4m2 ? 2m ? ?1 ? 2m?2
C ． ?4x2 ? y2 ? ?(2x ? y)(2x ? y)
D ． 3ab ?
1 a2b2 ? 9 ? ? 3 ?
?
4 ?

1 ?2
ab ?
2 ?
【难度】★
【答案】B
【解析】1? 4m2 ? 2m ? ?(4m2 ? 2m ?1) 不可因式分解．
【总结】考察因式分解的方法，本题 B 中需要先提取负号，小括号内已不可分解．
【作业3】已知2x ? y ? 10 ， 4x2 ? y2 ? 20 ，则 xy ???．
【难度】★
【答案】12
【解析】因为2x ? y ?10 ，由4x2 ? y2 ? (2x ? y)(2x ? y) ? 20 可得：
2x ? y ? 2 ，联立方程组可解得 x ? 3，y ? 4 ，故 xy ? 12 ．
【总结】考察根据已知条件求值．
【作业4】分解因式： 2xy ?1? x2 ? y2 ．
【难度】★
【答案】(1? x ? y)(1? x ? y) ．
【解析】2xy ?1? x2 ? y2 ? ?(x2 ? 2xy ? y2 ) ?1 ? ?(x ? y)2 ?1 ? (1? x ? y)(1? x ? y) ．
【总结】考察用公式法分解因式的方法．
【作业5】已知a ?a ?1? ? a2 ? b ? 2 ，求
【难度】★
【答案】2
a2 ? b2
2
ab 的值．
【解析】由a ?a ?1? ? a2 ? b ? 2 ，得： a ? b ? 2 ，
a2 ? b2 ? a2 ? b2 ? 2ab (a ? b)2 4
所以 ab ? ? ? ? 2 ．
2 2 2 2
【总结】考察利用因式分解根据已知条件求值．
【作业6】已知 x3 ? x2 ? x ?1 ? 0 ，那么 x2008 ? 2x2000 ? 5x1996 的值为 ．
【难度】★★
【答案】8
【解析】因为 x3 ? x2 ? x ?1 ? 0 ，所以 x2 (x ?1) ? (x ?1) ? 0 ，即(x ?1)(x2 ?1) ? 0 ，
所以 x ? ?1，将 x ? ?1代入，得： x2008 ? 2x2000 ? 5x1996 ? 1? 2 ? 5 ? 8 ．
【总结】考察根据已知条件求值．
【作业7】分解因式：
（1） 1 ?b ? a?3 ? 11?a ? b? ； （2） 26xm?1 yn?1 ? 39xm?2 yn?3 ；
11
（3） ?x2 ? 2x?2 ? ?2x ? 4 y2 ?2 ； （4） x4 ?12y4 ? 7x2 y2 ；
（5） ?x ? y?a2 ? 5( y ? x)ab ? 6b2 ?x ? y? ．
【难度】★★
【答案】（1） 1 (b ? a)(b ? a ?11)(b ? a ?11) ；（2） 11
13xm?2 yn?1 (2x3 ? 3y2 ) ；
（3） (x2 ? 4x ? 4y2 )(x ? 2y)(x ? 2y) ；（4） (x2 ? 3y2 )(x ? 2y)(x ? 2y) ；
（5） (x ? y)(a ? 3b)(a ? 2b) ．
【解析】（1）（2）（5）提取公因式法；（3）平方差公式法；（4）十字相乘法．
【总结】考察利用适当的方法进行因式分解．
【作业8】已知关于 x、y 的二次六项式6x2 ? axy ? 3y2 ? x ? 7 y ? 2 能分解为一次式
2x ? by ? c 与 dx ? ey ? 2 的积，求a ? b ? c ? d ? e 的值．
【难度】★★
【答案】13．
【解析】 由二次项系数和常数项可得d ? 3，c ? 1 ，利用双十字相乘可得如下图交叉式：
2x 3y 1
3x -y -2
所以b ? 3，e ? ?1， a ? 9 ? 2 ? 7 ，所以a ? b ? c ? d ? e ?13 ．
【总结】考察双十字相乘法的应用．
【作业9】已知 x ? y ? 2 ， xy ? a ? 4 ， x3 ? y3 ? 26 ，求a 的值．
【难度】★★★
【答案】-7．
【解析】由题意有： x3 ? y3 ? (x ? y)(x2 ? y2 ? xy) ? (x ? y)[(x ? y)2 ? 3xy] ，
即 26 ? 2[4 ? 3(a ? 4)] ，解得： a ? ?7 ．
【总结】考察立方和公式的应用．
?20022 ? 2001?? 2003
【作业10】计算： 20022 ? 2002 ? 2001 ? 20012 ．
【难度】★★★
【答案】2003．
【解析】令a ? 2002 ，则原式可化为：
[a2 ? (a ?1)](a ?1)
? (a2 ? a ?1)(a ?1) ? ?
a2 ? a(a ?1) ? (a ?1)2
=2003．
a2 ? a ? 1
a 1，
【总结】本题综合性较强，主要考察利用因式分解先化简再计算，令a ? 2002 可使计算简单．
【作业11】已知 x ? y ? z ? 3 ， x2 ? y2 ? z2 ? 29 ， x3 ? y3 ? z3 ? 45 ，求 xyz 的值．
【难度】★★★
【答案】-24．
【解析】因为(x ? y ? z)2 ? x2 ? y2 ? z2 ? 2(xy ? yz ? xz ) ，即9 ? 29 ? 2(xy ? yz ? xz) ，
所以 xy ? yz ? xz ? ?10 ， 因为 x3 ? y3 ? z3 ? 3xyz ? (x ? y ? z )(x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? xz ? yz ) ， 即45 ? 3xyz ? 3(29 ?10) ，所以 xyz ? ?24 ．
【总结】考察整式乘法与因式分解的综合练习，综合性较强，注意观察每一项的特征．