沪教版七年级数学秋季班第9讲：期中复习（一）教师版

期中复习一
内容分析
本讲整理了关于前面学习的整式加减和整式乘法、因式分解有有关内容的练习，以帮助同学们巩固所学．
知识结构
1327843824540
选择题
【练习1】代数式2(a ? b2 ) 表示（ ）．
A ． a 的2 倍与b 平方的差 B ． a 与b 平方的差的2 倍
C ． a 与b 平方的2 倍的差 D ． a 与b 的平方差的2 倍
【难度】★
【答案】B
【解析】A 表示2a ? b2 ，C 表示a ? 2b2 ，D 表示2?a2 ? b2 ?．
【总结】本题主要考查代数式的表示意义，属于基础题．
【练习2】若 x 表示一个三位数， y 也表示一个三位数，小王想用 x、y 来组成一个六位数且把 x 放在 y 的左边，你认为下列表达式中（ ）是正确的．
A ． xy B ． x ? y
C ．1000x ? y
D ．1000y ? x
【难度】★
【答案】C
【解析】解：因为 x 在 y 的左边，y 是三位数，相当于把 x 扩大 1000 倍，所以组成的六位数是1000x ? y ．
【总结】本题主要考查了代数式的表示方法，属于基础题．
【练习3】在下列式子中，属于代数式的是（ ）．
① 2x ? 3 ；② ?3 ；③ 1
x ? y
；④ c ? 2? r ；⑤ 1 ? x ；⑥ 2x ? 1
x
A ．①②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．③④⑤⑥
【难度】★
【答案】C
【解析】代数式包括整式、分式、根式．它不同于等式，没有等号，所以④⑥属于等式，不是代数式．
【总结】本题主要考查代数式的定义，要明白它与等式、不等式的区别．
【练习4】对于代数式① 1 abc ，② x3 ? 2xy ? y2 ，③ 1 ，④ ? 5 ，⑤ 3 x ? y ，其中判断正确
2
的是（ ）．

m 2 4
A ．①、⑤是整式 B ．①、③是三项式
C ．②是二次三项式 D ．②、④、⑤是一次式
【难度】★
【答案】A
【解析】①是单项式，③属于分式，所以 B 错．②是三次三项式，所以 C、D 错．故选择 A
答案．
【总结】本题主要考查代数式的相关知识点，单项式和多项式统称为整式．
【练习5】计算?x4 ?1??x2 ?1??x ?1??x ?1? 的结果是（ ）．
A ． x8 ?1
B ． x4 ?1
C ． ?x ? 1?8
D ． x8 ?1
【难度】★
【答案】D
【解析】原式= ?x4 ?1??x2 ?1??x2 ?1?? ?x4 ?1??x4 ?1?? ?x8 ?1?．
【总结】本题主要考查平方差公式的应用．
【练习6】若代数式3ax?7b4 与代数式?a4b2 y 是同类项，则 x y 的值是（ ）．
A ． 9 B ． ?9
【难度】★★
【答案】A

C ． 4 D ． ?4
【解析】解：由题意得?x ? 7 ? 4 ，解得： ?x ? ?3 ，所以 xy ? ??3?2 ? 9 ．
?
?
?2 y ? 4 ? y ? 2
【总结】本题主要考查了同类项的定义，字母相同，且相同字母的指数也相同．
? 2 ?2003 2004
3
【练习7】计算? ?
? ?
A ． 2
3
【难度】★★
【答案】A
?1.52002 ? ??1?
B ． 3
2
2 ? 2 3 ?2002

的结果是（ ）．
C ． ? 2
3
2
D ． ? 3
2
【解析】解：原式= 3 ? ? ? ? ?1 ? ．
? 3 2 ? 3
【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算，在计算过程中要注意奇负偶正．
【练习8】如果?m ? n?p 与?n ? m?p 相等，那么 p 应为（ ）．
A ．奇数 B ．偶数 C ．整数 D ．有理数
【难度】★★
【答案】B
【解析】解：要?m ? n?p 与?n ? m?p 相等，只有 p 为偶数时才能相等．
【总结】本题主要考查奇负偶正的应用．
【练习9】如果 x2 ? x ?1 ? 0 ，那么代数式 x3 ? 2x2 ? 7 的值为（ ）．
A ． 6 B ． 8 C ． ?6
【难度】★★
【答案】C
D ． ?8
194416992331【解析】解：
x2 ? x ?1 ? 0，? x2 ? 1? x ，代入 x3 ? 2x2 ? 7 可得
x?1? x? ? 2x2 ? 7 ? x ? x2 ? 2x2 ? 7 ? x2 ? x ? 7 ? 1? 7 ? ?6 ，故选 C．
【总结】本题主要考查将次思想以及整体代入思想的综合运用，属于必须掌握的题型．
【练习10】多项式 x2 ? kx ? 25 是一个完全平方公式，则k 的值为（ ）．
A ． 5 B ．10 C ． ?5
【难度】★★
【答案】D
D ． ?10
【解析】解：因为 5 和-5 的平方为 25，所以中间的可以为 10，也可以为-10．
【总结】本题主要考查了完全平方公式的灵活应用，注意两种情况的分类讨论．
【练习11】下列各式中，正确的因式分解是（ ）．
A ． 2?a ? b? ? 3a ?b ? a? ? ?2 ? 3a??a ? b?
B ． ??x ? y?2 ? ? y ? x? ? ?x ? y???x ? y ?1? C ． ??x ? y?2 ? ? y ? x? ? ?? y ? x???x ? y ?1? D ． ??x ? y?2 ? ? y ? x? ? ? y ? x???x ? y ?1?
【难度】★★
【答案】C
【解析】A 答案因式分解为?a ? b??2 ? 3a? ；B 答案因式分解为?x ? y???x ? y ?1? ；
D 答案因式分解为? y ? x??x ? y ?1? ；故选 C．
【总结】本题主要考查了因式分解，要注意符号的变化情况．
【练习12】下列各式由左边及右边变形不正确的有（ ）个．
① ?x ? y?2n ? ?? y ? x?2n （ n 为正整数）；
② x2 ?10 可因式分解为?x ? 3??x ? 3? ?1；
③ x ? y ? ? y ? x?2 ? ?x ? y??1? y ? x? ；
④ a ?x ? 2? ? b?2 ? x? ? ?x ? 2??a ? b? ．
A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【难度】★★
【答案】C
【解析】① ?x ? y?2n ? ? y ? x?2n ；②在有理数的范围内无法继续分解；
③ x ? y ? ? y ? x?2 ? ?x ? y??1? x ? y? ，故选 C．
【总结】本题主要考查因式分解的相关知识点，对于提取公因式时，要注意符号的改变．
【练习13】已知?a ? b?2 ? 25 ， ab ? 6 ，则a ? b ? （ ）．
A ．1 B ． ?1
【难度】★★★
?a ? b?2
【答案】B

C ． 5 D ． ?5
【解析】解：
? ?a ? b?2 ? 4ab ? 25 ? 24 ? 1，?a ? b ? ?1 ．
【总结】本题主要考查完全平方公式的应用，两数之差的平方等于两数之和的平方减去 4
倍的两数的乘积．
【练习14】若2x ? 4y?1 ， 27y ? 3x?1 ，则 x ? y 等于（ ）．
A ． ?5
【难度】★★★
【答案】B
B ． ?3
C ． ?1
D ．1
194416991193【解析】解：
2x ? 4y?1 ? 22 y?2 ，? x ? 2y ? 2 ，又27y ? 3x?1 ，即33 y ? 3x?1 ，?3y ? x ?1 ，
?3y ? x ? 1 ?x ? ?4
由?x ? 2 y ? 2 ，解得： ? y ? ?1 ，所以 x ? y ? ?3 ．
? ?
【总结】本题主要考查底数不同的幂相等情况，先化成底数一样，再指数对应相等．
【练习15】因式分解?a2 ? 3?2 ? 4a2 正确的是（ ）．
A ． ?a2 ? 3 ? 2a??a2 ? 3 ? 2a?
C ． ?a ? 3?2 ?a ?1?2
B ． ?a ? 3?2 ?a ?1?2
D ． ?a ? 3??a ? 3??a ?1??a ?1?
【难度】★★★
【答案】D
【解析】解：原式= ?a2 ? 3 ? 2a??a2 ? 3 ? 2a?? ?a ? 3??a ?1??a ? 3??a ?1? ．
【总结】本题主要考查因式分解，要注意分解一定要分解到不能分解为止．
填空题
【练习16】当 a ???时， 5 ? 2(a ?1)2 的值最大？
【难度】★
【答案】-1
【解析】解：由题意可得，只有当a ? ?1时，两项的差才是最大的．
【总结】本题主要考查求最大值，某数的平方一定是非负数．
1
【练习17】当 m ???时，多项式? 3 x2 m
4
【难度】★
【答案】8

4 y2 ? x2 y ? 3 是四次多项式．
【解析】解：由题意可得： 1 m ? 4 ，?m ? 8 ．
2
【总结】本题主要考查多项式的次数的规定，以某项次数最高的为多项式的次数．
【练习18】把多项式 x3 ? y2 ? 5x2 y ? 3xy2 按字母 x 升幂排列 ．
【难度】★
【答案】? y2 ? 3xy2 ? 5x2 y ? x3 ．
【解析】解：按字母 x 的升幂排列，即指数从小到大，所以是? y2 ? 3xy2 ? 5x2 y ? x3 ．
【总结】本题主要考查了多项式的升幂排列问题，按某字母的升幂排列，就是某字母的指数要从小到大．
【练习19】已知 x ? y ? 3 ，则4?x ? y? ? 3x ? 3y ? 5 ???．
【难度】★
【答案】8
【解析】解： 4?x ? y? ? 3x ? 3y ? 5 ? 4?x ? y? ? 3?x ? y? ? 5 ? 12 ? 9 ? 5 ? 8 ．
【总结】本题主要考查整体代换思想，考查学生的观察能力．
【练习20】一张长、宽分别为a 厘米、b 厘米的长方形硬纸片，四个角剪去边长均为 x 厘米的小正方形，折成一个无盖的盒子．这个盒子的底面面积是 平方厘米；当a ? 40 ， b ? 30 ， x ? 4 时，盒子的底面面积是 平方厘米．
【难度】★★
【答案】?a ? 2x??b ? 2x?；704 ．
【解析】解：四个角均减去 x 厘米，则底面的长为?a ? 2x? 厘米，宽为?b ? 2x? 厘米， 所以底面面积为?a ? 2x??b ? 2x? 平方厘米．当a ? 40，b ? 30，x ? 4 时，
代入面积公式可得： ?40-8?? ?30-8? ? 32 ? 22 ? 704 平方厘米．
【总结】本题只要考查代数式的表示，要注意四个角均减去的话，每边就减少 2x 厘米．
【练习21】由若干盆花组成的三角形图案，每条边（包括顶点）有n （ n 为大于 1 的整数） 盆花，每个三角形图案花盆总数为 S ，则用含n 的式子表示 S 为 ．
【难度】★★
【答案】 S ? 3n ? 3．
【解析】解：若每条边都只包括一个顶点的话，刚好每条边都只有一个顶点，所以每条边的花盆有?n ?1?盆，总共有三条边，所以 S ? 3n ? 3．
【总结】本题要注意封闭图形的线段和点的计算方法．
【练习22】一项工程甲独做需 m 天完成，乙独做需 n 天完成，甲、乙合作一天完成工程的
；若甲、乙两人合作需 天完成．
【难度】★★
【答案】 1 ? 1 ； mn ．
m n m ? n
【解析】解：甲每一天完成的工作量是：1 ? m ? 1 ，乙每一天完成的工作量是：1 ? n ? 1 ，
m n
m n
? ?
所以甲、乙合作一天完成的工程师 1 ? 1 ；甲、乙合作需要的时间是：1 ? ? 1 ? 1 ? ? mn
m n ? ? m ? n
【总结】本题做药考查工程类问题．工作总量=工作时间? 工作效率．
【练习23】如果 a ? b ? c ，则代数式 a ? 2b ? c ? ．

【难度】★★
【答案】 4 ．
7

2 3 4
3a ? b ? c
【解析】解：设 a ? b ? c ? k ，则a ? 2k ，b ? 3k ，c ? 4k ，代入 a ? 2b ? c ? 2k ? 6k ? 4k ? 4 ．

2 3 4 3a ? b ? c 6k ? 3k ? 4k 7
【总结】本题主要在于设未知数 k，然后进行很巧妙的转换．
【练习24】观察下列单项式： 0 ， 3x2 ， 8x3 ，15x4 ， 24x5 ，··· ，按此规律写出第13 个单项式是 ．
【难度】★★
【答案】168x13 ．
【解析】解：由前面的单项式可得第 13 个单项式的系数为：
0 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ?11?13 ?15 ?17 ?19 ? 21? 23 ? 25 ?168 ，次数为 13， 所以第 13 个单项式为168x13
【总结】本题属于找规律的题，主要考查学生的观察能力和分析能力．
【练习25】计算：
（1） ?b(?b)(?b)2 ? ； （2） ?a2 ? ??a?2 ? ??a?3 ? ；
（3） ?a ? b?2n ? ?b ? a?2n?1 ? ．
【难度】★★
【答案】（1） b4 ；（2） a7 ；（3） ?b ? a?4n?1 ．
【解析】（1）原式= ?b ? ??b?3 ? b ? b3 ? b4 ；（2）原式= ?a2 ? ??a?5 ? a2 ? a5 ? a7 ；
（3）原式= ?b ? a?2n ? ?b ? a?2n?1 ? ?b ? a?4n?1 ．
【总结】本题考查了幂的运算，计算中要注意奇负偶正．
【练习26】n 为正整数，且 x2n ? 2 ，计算?3x2n ?2 ? 4?x2 ?2n ? ．
【难度】★★
【答案】20
194416497791【解析】解：
x2n ? 2 ，??3x2n ?2 ? 4?x2 ?2n ? ?3x2n ?2 ? 4?x2n ?2 ? 36 ?16 ? 20 ．
【总结】本题主要考查整体代换的思想的应用．
【练习27】已知5m ? 2 ， 25n ? 7 ，则53m?2n ???．
【难度】★★
【答案】56
194417095921【解析】解：
5m ? 2 ，25n ? 52n ? 7 ，?53m?2n ? ?5m ?3 ? 52n ? 56 ．
【总结】本题主要考查整体代换的思想的应用．
【练习28】比较大小： 255 722 ．
【难度】★★
【答案】＜
【解析】解： 255 ? ?25 ?11 ? 3211 ，722 ? ?72 ?11 ? 4911 ，
4135553-190833211 ? 4911 ，?255 ? 722 ．
【总结】本题是幂的大小比较，要么化成底数一样，比较指数的大小；要么化成指数一样， 比较底数的大小．
【练习29】已知a ? 1 ? 3 ，则a2 ? 1 ? ．
a
【难度】★★★
【答案】11．
1

a 2
? 1 ?2 1 1
【解析】解：

a ? ? 3，?? a ? ? ? 9 ，a2 ? ? 2 ? 9 ，?a2 ? ? 11 ．

a ? a ? a2 a2
【总结】本题要利用完全平方公式，首尾两数互为倒数，相乘为 1．
【练习30】已知 x2 ? 4y2 ? 2x ? 4y ? 2 ? 0 ，则 xy = ．
【难度】★★★
【答案】 1 ．
2
【解析】解：把已知变形为： ?x2 ? 2x ?1?? ?4y2 ? 4y ?1?? 0 ，即?x ?1?2 ? ?2y ?1?2 ? 0 ，
?x ? 1 ? 0

?x ? ?1 1
?? ， 解得：?

1 ，? xy ? ．
?2 y ? 1 ? 0

? y ???2
?? 2
【总结】本题中包含了两个完全平方公式，要能观察出来，常数项可以合理的分解开．
1371658648123【练习31】如图，是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式（ n 为正整数）表示数表中第 n 行第n 列的数 ．
【难度】★★★
【答案】n2 ? n ?1．
【解析】解：由图观察法现，第 1 行第 1 列的数是：1；第 2 行第 2 列的数是：3；第 3 行第
3 列的数是：7；第 4 行第 4 列的数是：13；...每一个数都比前面一个数多2n ? 2 ，所以第 n 行第 n 列的数是： n2 ? n ?1．
【总结】本题是属于找规律的题目，综合性较强，主要考查学生的分析能力．
解答题
【练习32】长、宽、高依次为3a、2a、a 的长方体，把长、宽、高均增加1 后，得到新的长方体比原来长方体的体积增加多少？
【难度】★
【答案】11a2 ? 6a ?1 ．
【解析】解：新的长方体的长、宽、高分别是?3a ?1?、?2a ? 1?、?a ? 1? ，所以得到的新的长
方体比原来长方体的体积增加：
?3a ?1??2a ?1??a ?1? ? 3a.2a.a ? 6a3 ?11a2 ? 6a ?1? 6a3 ? 11a2 ? 6a ?1．
【总结】本题主要考查多项式乘以多项式的运算，属于基础题．
【练习33】多项式a2 x3 ? ax2 ? 4x3 ? 2x2 ? x ?1是关于 x 的二次多项式，求a2 ? 1
a2
【难度】★
【答案】 25 ．
4

a 的值．
?a2 ? 4 ? 0
?
【解析】解：因为该多项式是关于 x 的二次多项式，所以三次项的系数为 0，即?a ? 2 ? 0 ，
解得： a ? 2 ，所以a2 ? 1
a2
? a ? 4 ? 1 ? 2 ? 25 ．
4 4
【总结】本题主要考查了多项式的相关知识点，不含有某项，就是某项的系数为 0．
【练习34】计算：
（1） 4a3 ? 3 ab ? b2 ? ? 5a2b ?2a2 ? 3ab ?1?；
? 2 ?
? ?
（2） ?x ?1?(x2 ? x ?1) ；
（3） ?x ?1??x ? 2? ? ?x ? 2??x ? 3? ? 2(x ? 3)(x ? 4) ．
【难度】★
【答案】（1） ?4a4b ?11a3b2 ? 5a2b ；（2） x3 ? 2x2 ? 2x ?1 ；（3）12x ? 28 ．
【解析】解：（1）原式= 6a4b ? 4a3b2 ?10a4b ?15a3b2 ? 5a2b ? ?4a4b ?11a3b2 ? 5a2b ；
（2）原式= x3 ? x2 ? x ? x2 ? x ? ?1 ? x3 ? 2x2 ? 2x ? ?1
（3）原式= x2 ? 3x ? 2 ? x2 ? x ? 6 ? 2x2 ?14x ? 24 ?12x ? 28
【总结】本题主要考查多项式乘多项式，属于基础题．
【练习35】已知 A ? B ? 3a2 ? 5a ?1， A ? C ? ?2a ? 3a2 ? 5 ，求a ? 2 时，求 B ? C 的值．
【难度】★
【答案】0
【解析】解： B ? C ? A ? B ? ?A ? C ? ? 3a2 ? 5a ?1? 2a ? 3a2 ? 5 ? ?3a ? 6 ，
当 a ? 2 时，代入原式=0．
【总结】本题重点在于要找出已知中的隐含条件．
【练习36】先化简，再求值：
??3ab?2 ?a2 ? ab ? b2 ?? 3ab?3a3b ? 3a2b2 ? ab3 ?，其中a ?? 3 ， b ? 2 ．
4 3
【难度】★★
【答案】? 2 ．
3
【解析】解：原式= 9a4b2 ? 9a3b3 ? 9a2b4 ? 9a4b2 ? 9a3b3 ? 3a2b4 = ?6a2b4 ， 因为a ? ? 3 ，b ? 2 ，代入原式= ?6 ? 9 ? 16 ? ? 2 ．
4 3 16 81 3
【总结】本题主要考查多项式的乘法运算，先化简，再代值．
【练习37】已知a ? 1999 ， b ? 1 ，求a2 ? 2b2 ? 3ab 的值．
【难度】★★
3842817366016【答案】4002000．
【解析】解： a2 ? 2b2 ? 3ab ? ?a ? b??a ? 2b? ，
a ? 1999，b ? 1，代入原式=4002000．
【总结】本题可以先因式分解，再代值求解，会比较简便．
【练习38】已知a ? b ? c ? 0 ， a2 ? b2 ? c2 ? 1 ，求bc ? ca ? ab 的值．
【难度】★★
【答案】? 1 ．
19441702403172
【解析】解：
a ? b ? c ? 0，??a ? b ? c?2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2?ab ? bc ? ac? ? 0 ，
又因为a2 ? b2 ? c2 ? 1，?1? 2?ab ? bc ? ac? ? 0 ，?ab ? bc ? ac ? ? 1 ．
2
【总结】本题要熟悉三个数的和的平方公式．
【练习39】把多项式3x2 ? 4x ? 7 表示成a ?x ?1?2 ? b?x ?1? ? c 的形式，求 a ? b ? c 的值．
【难度】★★
【答案】7
【解析】解： a ?x ?1?2 ? b?x ?1? ? c ? ax2 ? ?2a ? b?x ? ?a ? b ? c? ? 3x2 ? 4x ? 7 ，
?a ? b ? c ? 7 ．
【总结】解本题主要考查整式的运算，要注意对应相等．
【练习40】已知a ? b ? m ， ab ? n ，用m、n 表示a4 ? 2a2b2 ? b4 ．
【难度】★★
1677470348166【答案】m4 ? 4m2n ? 4n2 ．
【解析】
a ? b ? m ，ab ? n ，?a4 ? 2a2b2 ? b4 ? ?a2 ? b2 ?2 ? ?m2 ? 2n?2 ? m4 ? 4m2n ? 4n2 ．
【总结】本题主要考查对完全平方公式的灵活运用．
【练习41】已知m ? 2n ? 0 ，求m3 ? 2mn(m ? n) ? 4n3 ? 8 的值．
【难度】★★
【答案】?8 ．
【解析】
m3 ? 2mn?m ? n? ? 4n3 ? 8 ? m3 ? 2m2n ? 2mn2 ? 4n3 ? 8
? m2 ?m ? 2n? ? 2n2 ?m ? 2n? ? 8 ? ?8 ．
【总结】本题主要考查学生的分析能力和观察能力，主要采用整体代入思想进行求解．
【练习42】利用乘法公式计算：
（1） ?x2 ? 2y???x2 ? 2y?；
（2） ??2x ?1?2 ?2x ?1?2 ?16(x ? 3)2 (x ? 3)2 ；
（3） ?3x ? 2y ? 4??3x ? 2y ? 4? ? (3x ? 2y ? 4)2 ；
（4） 2002 ?1992 ?1982 ?1972 ? ···+
【难度】★★
22 ?1 ．
【答案】（1） 4 y2 ? x4 ；（2） 280x2 ?1295 ；（3） ?8y2 ?12xy ? 24x ? 32 ；（4）20100．
【解析】（1）原式= ??x2 ? 2y??x2 ? 2y?? 4y2 ? x4 ；
（2）原式= ?4x2 ?1?2 ?16?x2 ? 9?2 ? ?4x2 ?1? 4x2 ? 36??4x2 ?1? 4x2 ? 36?
? ?8x2 ? 37?? 35 ? 280x2 ?1295 ；
（3）原式= ??3x ? ?2y ? 4??? ??3x ? ?2y ? 4??? ? ?3x ? 2 y ? 4?2
? 9x2 ? ?2y ? 4?2 ? 9x2 ? ?2y ? 4?2 ? 2 ? 3x ? ?2y ? 4?
? ?8y2 ?12xy ? 24x ? 32 ；
（4）原式= (200 ?199)(200 ?199) ? (198 ?197)(198 ?197) ? ??? ? (2 ?1)(2 ?1)
? 200 ?199 ?198 ?197 ? ??? ? 2 ?1
? 20100 ．
【总结】本题主要考查对乘法公式的理解以及灵活运用．
【练习43】分解因式：
（1） 1 ?x ? 2 y? ? ?2 y ? x?2 ； （2） 25?x ? 2y?2 ? 4?3x ? y?2 ；
2
（3） x2 ? 2x ? a2 ? 2a ； （4） ?x ?1??x ? 4? ? 2 ．
【难度】★★
【答案】（1） ?x ? 2 y?? 1 ? x ? 2 y ? ；（2） ??11x ? 8y??x ?12y? ；（3） ?x ? a??x ? a ? 2? ；
? 2 ?
? ?
（4） ?x ? 2??x ? 3?．
【解析】（1）原式= 1 ?x ? 2 y? ? ?x ? 2 y?2 ? ?x ? 2 y?? 1 ? x ? 2 y ? ；
2 ? 2 ?
? ?
（2）原式= ?5x ?10y?2 ? ?6x ? 2y?2 ? ?5x ?10y ? 6x ? 2y??5x ?10y ? 6x ? 2y?
? ?11x ? 8y???x ?12y? ? ??11x ? 8y??x ?12y? ；
（3）原式= ?x2 ? a2 ?? 2?x ? a? ? ?x ? a??x ? a? ? 2?x ? a? ? ?x ? a??x ? a ? 2?；
（4）原式= x2 ? 5x ? 4 ? 2 ? x2 ? 5x ? 6 ? ?x ? 2??x ? 3?．
【总结】本题主要考查利用合适的方法因式分解，分解式认真观察每项之间的关系．
【练习44】设 A ? 2x2 ? 3xy ? y2 ? x ? 2y ， B ? 4x2 ? 6xy ? 2y2 ? y ，若 x ? 3a ? ? y ? 5?2 ? 0 ，且 B ? 2A ? a ，求 A 的值．
【难度】★★
【答案】255．
?x ? 3a ? 0
?
【解析】解：由题意可得， ? y ? 5 ? 0
?x ? 3a
?
，解得： ? y ? ?5 ，又因为 B ? 2A ? a ，
即?4x2 ? 6xy ? 2y2 ? y?? 2?2x2 ? 3xy ? y2 ? x ? 2y?? 2x ? 5y ? a ．
?x ? 3a
?
由? y ? ?5
?
?2x ? 5 y ? a
?x ? ?15
?
，解得： ? y ? ?5 ．
代入 A 中可得： A ? 2 ? ??15?2 ? 3? ??5?? ??15? ? ??5?2 ?15 ?10 ? 255 ．
【总结】本题不但考查了代数式的运算，还考查了解三元一次方程组，还有非负数的和为零的情况．
【练习45】若 a ? ?1， b ? ?2 ， c ? ?3 计算：
（1） 8an ? ??2an ?? 8an?1 ? 9an ? an?1 ；
（2） 5a2b ? ??3a2b ? ?2ab2 ? a2c?? ??7ab2 ? a2c??? ．
【难度】★★
【答案】（1）当 n 为奇数时，原式= ?10 ；当 n 为偶数时，原式=10；（2）16．
494644469243【解析】解：（1）原式= 8an ? 2an ? 9an ? 8an?1 ? an?1 ? an ? 9an?1 ，所以①当 n 为奇数时，原式= ??1?n ? 9??1?n?1 ? ?1? 9 ? ?10 ；
②当 n 为偶数时，原式= ??1?n ? 9??1?n?1 ? 1? 9 ? 10 ；
a ? ?1 ，
（2）原式= 5a2b ? ??3a2b ? 2ab2 ? ac2 ? 7ab2 ? ac2 ?? ? 5a2b ? 3a2b ? 5ab2 ? 2a2b ? 5ab2 ，因为a ? ?1，b ? ?2 ，代入原式= ?4 ? 20 ? 16 ．
【总结】本题要先化简，再代值，注意要分类讨论 n 的奇偶性．
【练习46】解方程（不等式）
（1） 2?x ? 3?2 ? ??x ?1?2 ? 3?x ?1??x ?1? ；
（2） 3x?3x ?1? ? ?2x ?1??2x ? 3? ? 13?x ?1??x ?1? ．
【难度】★★
【答案】（1） x ? 2.2 ；（2） x ? ? 10 ．
7
【解析】解：（1） 2(x2 ? 6x ? 9) ? ?x2 ? 2x ?1? 3(x2 ?1)
10x ? 22
x ? 2.2 ；
（2） 9x2 ? 3x ? 4x2 ? 4x ? 3 ? 13x2 ?13
7x ? ?10
x ? ? 10 ．
7
【总结】本题主要考查了整式的计算，并利用在解方程和解不等式中，步骤一样的，先去括号，再合并同类项．
【练习47】求证： ?2x ? 3??2x ?1??x2 ?1??1 是一个完全平方式．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】证明：原式= (2x ? 3)(2x ?1)(x ?1)(x ?1) ?1=[(2x ? 3)(x ?1)][(2x ?1)(x ?1)] ?1
? (2x2 ? x ? 3)(2x2 ? x ?1) ?1 ? (2x2 ? x)2 ? 4(2x2 ? x) ? 4
? (2x2 ? x ? 2)2 ．
所以原式是一个完全平方公式．
【总结】本题主要考查了完全平方公式的应用，同时考查了学生的观察能力和分析能力．
【练习48】求多项式2x2 ? 4xy ? 5y2 ?12y ?13 的最值．
【难度】★★★；
【答案】最小值为 1
【解析】解：原式? ?2x2 ? 4xy ? 2y2 ?? ?3y2 ?12y ?12??1 ? 2?x ? y?2 ? 3? y ? 2?2 ?1，所以原多项式有最小值，最小值为 1．
【总结】本题主要考查了对最值得理解，要么最大值，某个数减去非负数；或者最小值，非
负数加上某个数．
【练习49】计算： 2010? 20112011? 2011? 20102010 ．
【难度】★★★
【答案】0．
【解析】解：原式? 2010? 2011?10001? 2011? 2010?10001 ? 0 ．
【总结】本题考查了某数乘以 101，乘以 1001，乘以 10001 的规律．
【练习50】分解因式：
（1） ?2x ? 3y ? 3??2x ? 3y ? 7? ?16 ；
（2） ?a2 ? b2 ? c2 ?2 ? 4a2b2 ；
（3） x2 ? y ? z? ? y2 ?z ? x? ? z2 ?x ? y?．
? x2 y ? x2 z ? y2 z ? y2 x ? z2 ?x ? y ?
? xy ?x ? y ? ? z ? y ? x?? y ? x? ? z2 ?x ? y ?
? ?x ? y ??xy ? zy ? zx ? z2 ?
【难度】★★★
【答案】（1） ?2x ? 3y ? 5??2x ? 3y ?1? ；（2） ?a ? b ? c??a ? b ? c??a ? b ? c??a ? b ? c?；
（3） (x ? y)(x ? z)( y ? z) ．
【解析】（1）原式? ?2x ? 3y?2 ? 4?2x ? 3y ?? 21 ?16 ? ?2x ? 3y?2 ? 4?2x ? 3y ?? 5
? ?2x ? 3y ? 5??2x ? 3y ?1?；
（2）原式? (a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)(a2 ? b2 ? c2 ? 2ab)
? [(a ? b)2 ? c2 ][(a ? b)2 ? c2 ]
? (a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c)(a ? b ? c) ；
（3）原式? x2 y ? x2 z ? y2 z ? y2 x ? z2 x ? z2 y ? (x2 y ? z2 y) ? (x2 z ? z2 x) ? ( y2 x ? y2 z)
? y(x ? z)(x ? z) ? xz(x ? z) ? y2 (x ? z) ? (x ? z)(xy ? yz ? xz ? y2 )
? (x ? z)[ y(x ? y) ? z( y ? x)] ? (x ? z)(x ? y)( y ? z) ．
【总结】本题主要考查因式分解的综合运用，要合理的利用公式法、提取公因式、分组分解法等，并且分解一定要彻底．
355484570928【练习51】读一读：式子“1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ?100 ”表示 1 开始的 100 个连续自然数的和．由
于 上 述 式 子 比 较 长 ， 书 写 也 不 方 便 ， 为 了 简 便 起 见 ， 我 们 可 以 将
2142174106093 ? ?
100
“1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ?100 ” 表示为 n ，这里“ ”是求和符号．
n?1
2412013127041?
50
例如：1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? 99 ，即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和，可表示为 （2n ?1）；
n?1
?
10
又如13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? 73 ? 83 ? 93 ?103 可表示为 n3 ．
n?1
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．
2497449912485
（1） 2 ? 4 ? 6 ? 8 ?10 ? ?100 (即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为 ．
（2）计算?（n2 ?1）? ．(填写最后的计算结果)．
n?1
【难度】★★★
?
50
【答案】（1） 2n ；（2）50．
n?1
34885768063【解析】（1）由题意可得， 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ?100 中，每一项的表示是 2n，总共是 50 项，所
?
50
以用求和符号表示为 2n ；
n?1
5
（2）当n ? 5 时，每项的和为??n2 ?1?? 0 ? 3 ? 8 ? 15 ? 24 ? 50 ．
n?1
【总结】本题属于找规律的题目，主要考查学生的分析能力和理解能力．