沪教版七年级数学秋季班第10讲：期中复习（二）教师版

期中复习二
内容分析
本节课的内容涵盖了整式的加减，整式的乘除，因式分解．通过对知识的梳理，做到准确计算，能够灵活应用．
知识结构
1356870948300
选择题
【练习1】代数式?x3 ? 2x ? 24 是（ ）．
A ．单项式 B ．三次三项式 C ．四次三项式 D ．三次二项式
【难度】★
【答案】B
【解析】最高次数是 3，且含有三项，所以是三次三项式，故选 B．
【总结】本题主要考查多项式的相关概念，属于基础题．
【练习2】在代数式2a2 ? b ， ? 1 ， b ， 2x2 ? x ? 5 ， 0 中，下列结论正确的是（ ）．
2 2
A ．有2 个多项式，1 个单项式 B ．有2 个多项式， 2 个单项式
C ．有2 个多项式， 3 个单项式 D ．有5 个多项式
【难度】★
【答案】C
【解析】解：单项式中没有加减符号，单独的字母或数字也是单项式；多项式是由单项式相加减而成的，所以有三个单项式，二个多项式．
【总结】本题主要考查单项式和多项式的概念，属于基础题．
【练习3】下列各式中，运算正确的是（ ）．
A ． x2 ? x2 ? x4 B ． 3xm yn ? 2xm yn ? 1
C ． 4x2 y3 ? 5x3 y2 ? 9x5 y5 D ． ?5x2 y4 ? 3x2 y4 ? ?2x2 y4
【难度】★
【答案】D
【解析】合并同类项，字母及字母的次数不变，系数相加减．所以 A 相加的结果是2x2 ；B 相减的结果是 x m yn ；C 不是同类项，不能相加减．
【总结】本题主要考查合并同类项和同类项的概念．
【练习4】若关于 x 的积?x ? m??x ? 7? 中常数项为14 ，则 m 的值为（ ）．
A ． 2 B ． ?2
【难度】★
【答案】B

C ． 7 D ． ?7
【解析】解： ?x ? m??x ? 7? ? x2 ? ?7 ? m?x ? 7m ，所以?7m ? 14，m ? ?2 ．
【总结】本题要清楚常数项的概念，先展开，再对应相等，要注意符号．
【练习5】下列各题中计算错误的是（ ）．
? 3 2
2 3 ?3
18 18

3 2 2 3 9 8
A ． ????m ? ??n
? ??
? ?m n
B ． ??m n? ??mn ? ? ?m n
? 2 2

3 ?3 6 6

2 3 2 3 9 9
C ． ????m? ??n
【难度】★★
【答案】C
? ??
? ?m n
D ． ??m n? ??mn ?
? m n
【解析】解：C 正确的计算是： ??-m?2 ??n2 ?3 ?3 ? ??m2 n6 ?3 ? ?m6n18 ．
?? ?? ? ?
【总结】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法的混合运算．
【练习6】当 x ? 1 时，代数式 px3 ? qx ? 1 的值为2016 ，则当 x ? ?1 时，代数式 px3 ? qx ? 1 的
值为（ ）．
A ． 2014 B ． ?2015
【难度】★★
【答案】C
C ． ?2014
D ． ?2016
【解析】解：当 x ? 1 时，代入原式= p ? q ?1 ? 2016, p ? q ? 2015 ，当代入原式= ? p ? q ?1 ? ?2015 ?1 ? ?2014 ．
【总结】本题主要考查代值求解，注意整体思想的运用．
x ? ?1 时，
【练习7】若?x ? a??x ? b? ? x2 ? kx ? ab ，则k 的值为（ ）．
A ． a ? b
【难度】★★
【答案】B
B ． ?a ? b
C ． a ? b
D ． b ? a
【解析】解： ?x ? a??x ? b? ? x2 ? ?a ? b?x ? ab ，所以?k ? a ? b ，k ? ?a ? b ．
【总结】本题主要考查整式的乘法运算，注意符号的变化．
【练习8】若16 ? xn ? ?4 ? x2 ??x ? 2??2 ? x? ，则n 是（ ）．
A ． 6 B ． 4 C ． 3 D ． 2
【难度】★★
【答案】B
【解析】解：右边= ?4 ? x2 ??4 ? x2 ?? 16 ? x4 ，所以n ? 4 ．．
【总结】本题主要考查了平方差公式的应用．
【练习9】设 M 是一个多项式，且 M ? 5 x2 y ? ?2x2 y4 ? 3 x ，那么 M 等于（ ）．
3 2
A ． ? 6 x4 y5 ? 9 x4 y3
5 10
B ． ? 6 y3 ? 5 xy
5 2
C ． ?10 x4 y5 ? 5 x3 y
3 2
D ． 10 x4 y5 ? 5 x3 y
3 2
【难度】★★
【答案】C
【解析】解： ? ?2x2 y4 ? 3
? 5 2
? ?10 x4 y5 ? 5 x3 y ．

? 2 x ?. 3 x y 3 2
? ?
【总结】本题主要考查了单项式乘以多项式，注意法则的准确运用．
【练习10】不论 x、y 为何值，代数式 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 7 的值（ ）．
A ．总不小于2 B ．总不小于7
C ．可为任何有理数 D ．可能为负数
【难度】★★★
【答案】A
【解析】解： x2 ? 2x ?1 ? y2 ? 4 y ? 4 ? 2 ? ?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 2
所以值总不会小于 2．
【总结】本题主要考查了完全平方公式的灵活运用，还有非负数相加求最值得问题．
【练习11】如果an2 ? ?an ?x （ n 为正整数），那么 x 等于（ ）．
A ． n B ． 2 C ． an
【难度】★★★
【答案】A
【解析】解： an2 ? an?n ，而?an ?x ? an?x ，所以x ? n ．
【总结】本题主要考查了幂的乘方．
填空题
【练习12】多项式5x3 ? 3x2 ? 2x ? 8 是 次 项式．
【难度】★
【答案】3；4．
【解析】解：未知数最高的次数是 3，总共 4 项，所以是 3 次 4 项式．
【总结】本题主要考查了多项式的相关知识点．
D ． a2
【练习13】已知a、b 互为负倒数，c、d 互为相反数，且m 的绝对值为3 ，则
的值为 ．
【难度】★
【答案】?10 ．
ab ? m2 ? 3c ? 3d
班秋季级年七
5m
【解析】解：由题意可得， ab ? ?1，c ? d ? 0，m ? 3，m2 ? 9 ， 代入原式? ?1? 9 ? ?10 ．
【总结】本题主要考查代值求解，负倒数就是两数相乘为-1.
【练习14】若代数式2a2 ? 3a ? 7 的值为8 ，则代数式4a2 ? 6a ? 9 的值为 ．
【难度】★
【答案】-7．
【解析】解： 2a2 ? 3a ? 7 ? 8 ，2a2 ? 3a ? 1，所以4a2 ? 6a ? 9 ? 2 ?2a2 ? 3a?? 9 ? 2 ? 9 ? ?7 ．
【总结】本题主要考查代值求解，要学会整体代入思想的运用．
【练习15】已知多项式 x2 ? ax ?1与2x ? b 的乘积中含 x2 项的系数为3 ，含 x 项的系数是2 ， 则 a ? b ???．
【难度】★
【答案】 3 或3 ．
2
或
? ?
【解析】解：由题意可得， ?x2 ? ax ? 1?? ?2x ? b? ? 2x3 ? ?2a ? b? x2 ? ?2 ? ab? x ? b ，
?2a ? b ? 3

?a ? 0 ?a ? 3 3
?
所以?2 ? ab ? 2

，解得： ? ?
?b 3

2 ，所以a ? b ? 3或a ? b ? ．
2
??b ? 0
【总结】某项的系数，要先相乘，然后合并同类项，再对应某项的系数，注意两种情况的讨论．
【练习16】若 x2 ? y2 ? 6 ， x ? y ? 3 ，则 x ? y ???．
【难度】★
【答案】2
x2 ? y2
【解析】解：
? 6 ，?x ? y??x ? y? ? 6 ，又 x ? y ? 3，? x ? y ? 2 ．
【总结】本题主要考查了平方差的应用．
【练习17】若3m ? 5 ， 3n ? 4 ，则32m?n ???．
【难度】★
【答案】 25 ．
4
【解析】解： 32m?n ? 32m ? 3n ，因为3m ? 5 ，3n ? 4 ，代入原式= 52 ? 4 ? 25 ．
4
【总结】本题主要考查同底数幂的除法，注意整体代换的思想的应用．
【练习18】计算： ?18a2b ? 9a5b2 ?? ??3ab? ? ．
【难度】★
【答案】?6a ? 3a4b ．
【解析】解：原式=18a2b ? ??3ab? ? 9a5b2 ? ??3ab? ? ?6a ? 3a4b ．
【总结】本题主要考查多项式除以单项式的计算，属于基础题．
【练习19】设 M ? 3a3 ?10a2 ? 5 ， N ? ?2a3 ? 5 ?10a ， P ? 7 ? 5a ? 2a2 ，那么 M ? 2N ? 3P
???， M ? 3N ? 2P ???．
【难度】★★
【答案】?a3 ? 4a2 ? 5a ?16 ； 9a3 ?14a2 ? 20a ? 6 ．
【解析】由题意可得： M ? 3a3 ?10a2 ? 5 ， 2N ? ?4a3 ?10 ? 20a ， 3P ? 21?15a ? 6a2 ， 所以 M ? 2N ? 3P ? ?a3 ? 4a2 ? 5a ?16 ；
同理， M ? 3a3 ?10a2 ? 5 ， 2P ? 14 ?10a ? 4a2 ， 3N ? ?6a3 ? 30a ?15 ， 所以 M ? 3N ? 2P ? 9a3 ?14a2 ? 20a ? 6 ．
【总结】本题主要考查了多项式的加减．去括号要注意括号前面是减号的时候，去掉括号后， 里面每项要变号．
【练习20】已知 xy ? 2(x ? y) ，那么 5x ? xy ? 5 y 的值为 ．
3xy ? x ? y
【难度】★★
3
【答案】 ．
5
【解析】解：因为 xy ? 2?x ? y ?，所以原式= 5x ? 2x ? 2 y ? 5 y ? 3x ? 3y ? 3 ．

6x ? 6 y ? x ? y 5x ? 5 y 5
【总结】本题主要考查整体代换的思想的应用．
【练习21】已知?x2 ? px ? 8??x2 ? 3x ? q?的展开式中不含 x 项，且常数项为24 ，
则 p ???， q ???．．
【难度】★★
【答案】8，3．
【解析】展开多项式，原式= x4 ? 3x3 ? qx2 ? px3 ? 3 px2 ? qpx ? 8x2 ? 24x ? 8q
? x4 ? ? p ? 3? x3 ? ?q ? 3p ? 8?x2 ? ?qp ? 24?x ? 8q ．
?qp ? 24 ? 0
因为不含 x 项，且常数项为 0，所以?
?8q ? 24
? p ? 8
?
，解得：?q ? 3 ．
【总结】本题主要考查多项式乘以多项式，不含某项，就是某项的系数为 0．
【练习22】已知32x?1 ? 1 ，则 x ???．
【难度】★
【答案】? 1 ．
2
【解析】解：由题意得， 2x ?1 ? 0 ，x ? ? 1
2
【总结】本题主要考查某数（不为 0）的 0 次幂等于 1．
【练习23】若 a2n ? 3 ，则?a3n ?4 ? ．
【难度】★★
【答案】729．
【解析】解：因为a2n ? 3，所以?a3n ?4 ? ?a2n ?6 ? 36 ? 729 ．
【总结】本题主要考查了幂的乘方的灵活运用，还有整体代换的思想．
【练习24】若2x ? 5y ? 3 ? 0 ，则4x ? 32y 的值为 ．
【难度】★★
【答案】8
【解析】解：因为2x ? 5y ? 3 ? 0
所以22 x 25 y ? 22 x?5 y ? 23 ．
【总结】本题主要考查同底数幂的乘法的灵活运用，要学会观察指数之间的关系．
?
? 1 1 1 1 10 10
【练习25】计算： ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ?10 ? 9 ? 8 ? 7 ? ? ? ? ? 2 ?1? ?
? 10 9 8 2 ?
【难度】★★
【答案】1．
? 1 ?10
? 1 ?10
4430274220852? 1 ?10
【解析】解：原式= ? ? ?1010 ? ? ? ? 910 ? ? ?

? 810 ? ?110 ?110 ? 1 ．
? 10 ? ? 9 ? ? 8 ?
【总结】本题主要考查积的乘方，要学会观察前面的式子和后面的式子的关系，然后灵活运用公式及逆用公式．
【练习26】若 m ? n ? 3 ，则2m2 ? 4mn ? 2n2 ? 6 的值为 ．
【难度】★★
【答案】12
【解析】因为m ? n ? 3 ，所以原式? 2(m ? n)2 ? 6 ? 18 ? 6 ? 12 ．
【总结】本题主要考查完全平方公式，要熟练运用公式．
【练习27】用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形， 则第 n 次所搭图形的周长是
cm ．（用含n 的代数式表示）
【难度】★★★
【答案】4n ．
【解析】解：第一次的周长是：4cm，第二次的
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次
周长是 8cm，第三次的周长是 12cm，第四次的周长是 16cm，所以第 n 次所搭图形的周长是 4ncm．
【总结】本题属于找规律的题目，主要考查学生的分析能力和思维能力．
【练习28】若代数式 x2 ? y2 ?14x ? 2 y ? 50 的值为0 ，则 x ? y ???．
【难度】★★★
【答案】6
【解析】解：将原代数式分解为： x2 ?14x ? 49 ? y2 ? 2 y ? 1 ? 0 ，
? ? ? ?
2 2 ?x ? 7 ? 0 ?x ? 7
则 x ? 7 ? y ? 1 ? 0 ， 所以 ，解得：
，? x ? y ? 7 ?1 ? 6 ．
?
?
? y ? 1 ? 0 ? y ? ?1
【总结】本题包含了两个完全平方公式，不仅仅考查了学生的配平方公式，还考查了学生的观察能力和对完全平方公式的熟练程度．
【练习29】已知a ? b ? b ? c ? 3 ， a2 ? b2 ? c2 ? 1 ，则ab ? bc ? ca 的值等于 ．
5
【难度】★★★
【答案】? 2 ．
25
【解析】解：由a ? b ? b ? c ? 3 ，可得： ?a ? b?2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 9 ，
5 25
?b ? c?2 ? b2 ? c2 ? 2bc ?
9 ， ?a ? c?2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 36 ，
25 25
? ?
所以把三个式子相加可得： 2 a2 ? b2 ? c2 ? 2?ab ? bc ? ac? ? 54 ，
25
因为a2 ? b2 ? c2 ? 1 ，代入可得： ab ? bc ? ac ? ? 2 ．
25
【总结】本题主要考查对完全平方公式的灵活运用．
解答题
【练习30】当 x ? 0.99 时，求3 ? ?3 ? ??2 ? ?2 ? x? ? x?? ? x?的值．
【难度】★
【答案】0.99
【解析】解：原式= 3 ? ?3 ? ?2 ? 2 ? x ? x?? x?? 3 ? ?3 ? x? ? 3 ? 3 ? x ? x ，
当 x ? 0.99 时，原式=0.99．
【总结】本题主要考查代数式求值，先化简，再求值．
4579111299295【练习31】有理数a、b、c 在数轴上对应点为 A、B、C ．其位置如图所示，化简下式并合并同类项： c ? c ? b ? a ? c ? b ? a ．
【难度】★
【答案】?c ．
【解析】解：由图可得， c ? 0，c ? b ? 0，a ? c ? 0，b ? a ? 0 ， 所以原式? ?c ? c ? b ? a ? c ? b ? a ? ?c ．
【总结】本题主要考查合并同类项，并且同时考查了带绝对值的化简．
【练习32】已知多项式3xn?2 ? 2xn ? 4xn?3 ? 3xn?1 （ n 是大于3 的整数）是八次四项式，试确定下列各单项式的次数与系数：（1） ?n ? 3? xn y ；（2） ?n ? 3? xn?1 yn?2 ．
【难度】★
【答案】（1）次数：6，系数：2； （2）次数：9，系数：8．
【解析】解：由题意可得， n ? 3 ? 8，则n ? 5 ，所以⑴中代入可得： ?n ? 3? xn y ? 2x5 y ，所以次数为 6，系数为 2；代入⑵中可得?n ? 3? xn?1 yn?2 ? 8x6 y3 ，所以次数为 9，系数为 8．
【总结】本题炸药考查了单项式和多项式的次数和系数相关知识点．
【练习33】如果单项式2mx a y 与?5nx2a ?3 y 是关于 x、y 的单项式，且它们是同类项．
（1）求?7a ? 22?2016 的值．（2）若2mxa y ? 5nx2a?3 y ? 0 ，且 xy ? 0 ，求?2m ? 5n?2003 的值．
【难度】★★
【答案】（1） 1； （2）0．
【解析】解：它们是同类项，可得a ? 2a ? 3 ，解得： a ? 3 ， 代入（1）中得： ?7a ? 22?2016 ? ??1?2016 ? 1 ；
（2）因为2mxa y ? 5nx2a?3 y ? 0 ，且 xy ? 0 ，所以2m ? 5n ， 代入可得?2m ? 5n?2003 ? 02003 ? 0 ．
【总结】本题主要考查同类项的知识点，同时考查奇负偶正的问题．
【练习34】计算：
（1） ?3x2 ? 2x ? 1?? ?x2 ? x ? 3?； （2） ?a ? b ? 2c??a ? b ? 2c? ；
（3） ??a? 2 ???a3 ?? ??a? ? ??a2 ?3 ? ??a3 ?2 ； （4）??2x2 y ? 6x3 y4 ? 8xy ?? ??2xy ? ；
? 3 1 1

? ? 1 ?2
（5） ? a4b7 ? a3b8 ?
a2b6 ? ? ? ? ab3 ? ．
? 4 2 9

? ? 3 ?
【难度】★★
【答案】（1） 2x2 ? x ? 2 ；（2） a2 ? b2 ? 2ab ? 4c2 ；（3） ?a6 ；（4） x ? 3x2 y3 ? 4 ；
（5） 27 a2b ? 9 ab2 ?1． 4 2
【解析】（1）原式? 3x2 ? 2x ?1? x2 ? x ? 3 ? 2x2 ? x ? 2 ；
（2）原式? ?a ? b?2 ? 4c2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 4c2 ；
（3）原式? a6 ? a6 ? a6 ? ?a6 ；
（4）原式= (?2x2 y) ? (?2xy) ? 6x3 y4 ? (?2xy) ? (?8xy) ? (?2xy)
= x ? 3x2 y3 ? 4 ；
（5）原式? 3 a4b7 ? 1 a2b6 ? 1 a3b8 ? 1 a2b6 ? 1 a2b6 ? 1 a3b6
4 9 2 9 9 2
? 27 a2b ? 9 ab2 ?1 ．
4 2
【总结】本题主要考查了整式的基本运算，注意相关法则的准确运用．
【练习35】先化简，再求值： ??2x2 ? (x ? y)(x ? y)?? ??(?x ? y)(?x ? y) ? 2 y2 ?? ，其中 x ? 1 ，
y ? ?2 ．
【难度】★★
【答案】25
【解析】原式 ? ??2x2 ? x2 ? y2 ?? ??x2 ? y2 ? 2 y2 ??
? ?x2 ? y2 ??x2 ? y2 ? ? ?x2 ? y2 ?2 ．
141076644913x ? 1，y ? ?2 ，?原式 ? (1 ? 4)2 ? 25 ．
【总结】本题主要考查多项式的化简求值．
【练习36】解不等式： 2x ? (5 ? x)(x ?1) ? x(x ?1) ? 4 ．
【难度】★★
【答案】 x ? ?9 ．
【解析】解： 2x ? ?5x ? 5 ? x2 ? x?? x2 ? x ? 4
2x ? 4x ? x 2 ?5 ? x2 ? x ? 4
-x ? 9
x ? ?9
【总结】本题主要考查多项式的计算与不等式的结合．
【练习37】解方程： (x ? 3)(x ? 3) ? (2x ?1)(x ? 7) ? x2 ．
【难度】★★
【答案】 x ?? 2 ．
13
【解析】解： x2 ? 9 ? 2x2 ?14x ? x ? 7 ? x2
x2 ? 9 ? 2x2 ?13x ? 7x2
13x ? ?2
x ?? 2
13
【总结】本题结合了多项式和方程，同时考查学生的应变能力．
【练习38】计算： ?1 ? 1 ??1 ? 1 ??1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ?
??
1 ? ．
? 22 ?? 32 ?? 42 ? ?
202 ?
【难度】★★
【答案】 21 ．
40

? ?? ?? ? ? ?
【解析】解： 原式 ? ?1 ? 1 ??1 ? 1 ??1 ? 1 ??1 ? 1 ???1 ?
???
1 ??1 ? 1 ?
?
? 2 ??
2 ??
3 ??

3 ? ?
20 ??
20 ?
? ?? ?? ?? ? ? ?? ?
? 1 ? 5 21
2 4 20
? 1 ? 21
2 20
? 21
40
【总结】本题主要考查平方差公式的灵活运用．
【练习39】试证明：
（1） 22005 ? 22004 ? 22003 能被5 整除；
（2）若n 是正整数，试说明3n?3 ? 4n?1 ? 3n?1 ? 22n 能被10 整除．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】（1） 原式? 2222003 ? 2 ? 22003 ? 22003 ? 6 ? 22003 ? 22003 = 5 ? 22003 ，
所以能被 5 整除；
（2） 原式 ? ?3n?3 ? 3n?1 ?? ?4n?1 ? 22n ? ? ?32 ? 3n ?1 ? 3n ?1 ?? ?4n ?1 ? 4n ?
? 10 ? 3n?1 ? 5 ? 4n
所以能被 10 整除．
? 10 ? 3n?1 ?10 ? 22n?1 ，
【总结】能被某数整除的数可以分解成该数乘以另外一个数或式子．
【练习40】计算：
（1）已知9m ? 27m?1 ? 32m ? 27 ，求m 的值．
? 8 ?
4
（2）已知?16x2 ?3 ? ? 1 ?
? ?
? 5 ，求 x12 的值．
（3）已知2n ? a ， 3n ? b ，求4n ? 6n ? 9n 的值．
（4）已知2a ? 3 ， 2b ? 6 ， 2c ? 12 ，求a、b、c 之间的一个数量关系式．
（5）比较大小： 244 ， 333 ， 422 ．
【难度】★★
【答案】（1） m ? 2 ；（2） 25 ；（3） a2 ? ab ? b2 ；（4） 2b ? a ? c ；（5） 333 ? 422 ? 244 ．
【解析】解：（1）因为9m ? 27m?1 ? 32m ? 27 ，所以32m ? 33m?3 ? 32m ? 33 ，即33m?3 ? 33 ， 所以3m ? 3 ? 3 ，所以m ? 2 ；
1544751105041 4 12
（2） ?16x2 ?3 .? 1 ? ? 5 ，?24 x2 ?3 .? 1 ?
?
? 5 ，
8 2
? ? ? ?
? ? ? ?
? x6 ? 5，? x12 ? ?x6 ?2 ? 52 ? 25 ．
1544751104661（3） 2n ? a ，3n ? b ，?4n ? 6n ? 9n ? ?22 ?n ? ?2 ? 3?n ? ?32 ?n ? a2 ? ab ? b2 ；
154475048088（4） 2a ? 3，2b ? 6 ，2c ? 12 ，?2a ? 2c ? 2a?c ? 3?12 ? 36 ，2b ? 2b ? 22b ? 6 ? 6 ? 36 ，
所以2b ? a ? c ．
（5）观察发现， 244 ? ?24 ?11 ? 1611 ，333 ? ?33 ?11 ? 2711 ，422 ? ?42 ?11 ? 1611 ，因为1611 ? 2711 ，所以333 ? 244 ? 422 ．
【总结】本题主要考查了幂的运算，以及比较大小．比较大小时，要么化成底数相同，比较
指数大小，要么化成指数相同，比较底数大小．
【练习41】如果?x ? a??x ? 4? ?1能够分解成两个多项式 x ? b 、x ? c 的乘积（ b、c 为整数），求 a 的值．
【难度】★★
【答案】a ? 4 ．
【解析】解：因为?x ? a??x ? 4??1 ? x2 ? ?a ? 4?x ? 4a ? 1，
又 ?x ? b??x ? c? ? x2
??? ?4 ? a? ? b ? c
? ? ? ? ? ，所以
b c x bc ?
??4a ?1 ? bc
，则?4b ? 4c ?17 ? bc ，
整理可得： ?b ? 4??c ? 4? ? ?1
，因为 b、c 为整数，所以 b、c 一个取-3，一个取-5，
代入得a ? 4 ．
【总结】本题要注意后面的解题思路，利用 b、c 为整数这个条件，可以得出最后的结果．
【练习42】已知?a ? b?2 ? 12 ， ?a ? b?2 ? 3 ，求：（1） ab ；（2） a2 ? b2 ；（3） a2 ? b2 的值．
【难度】★★
【答案】（1） 9 ；（2） 15 ；（3） ?6 ．
4 2
【解析】解：由题意可得， ?a ? b?2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 12 ，?a ? b?2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 3 ，
所以（1）中求ab ，两式相减可得： 4ab ? 9 ，ab ? 9 ；
4
2
（2）两式相加可得： 2?a2 ? b2 ?? 15，则a2 ? b2 ? 15 ；
（3）因为a2 ? b2 ? ?a ? b??a ? b?，所以?a ? b?2 ? ?a ? b?2 ? 12 ? 3 ? 36 ，所以?a ? b?? ?a ? b? ? ?6 ．
【总结】本题主要考查平方差公式和完全平方公式的综合运用．
【练习43】已知多项式 A 除以4x3 ? 3x2 ?1 得商式3x2 ? 3x ，余式 x2 ?1 ，求多项式 A ．
【难度】★★
【答案】 A ? 12x5 ? 21x4 ? 9x3 ? 2x2 ? 3x ?1．
【解析】解：由题意可知，商×除式+余式=被除式，
所以 A ? (3x2 ? 3x) ? (4x3 ? 3x2 ?1) ? x2 ?1 ? 12x5 ? 21x4 ? 9x3 ? 2x2 ? 3x ?1 ．
【总结】该题实际还是考查多项式×多项式的计算，同时有方程的思想在里面．
1 1 ? 1 ?2 1
【练习44】已知 x ? ? 3 ，求：（1） x2 ? ；（2） ? x ? ? ；（3） x4 ? 的值．
x x2 ? x ? x4
【难度】★★
【答案】（1）7；（2）5；（3）47．
1 ?
1 ?2 1 1
【解析】解：（1）因为 x ? ? 3，所以? x ? ? ? x2 ? ? 2 ? 9 ，所以x2 ? ? 7 ；
x ? x ? x2 x2
? 1 ?2 ? 1 ?2

? 1 ?2
（2）因为? x ? x ? ? ? x ? x ? ? 4 ，所以? x ? x ?
? 9 ? 4 ? 5 ，
? ? ? ? ? ?
1 ? 1 ?2 1 1
（3）由（1）知 x2 ? ? 7 ，所以? x2 ? ? ? x4 ? ? 2 ? 49 ，所以x4 ? ? 47 ．

x2 ? x2 ? x4 x4
【总结】本题主要考查两个互为倒数的数的平方的规律，中间项为常数项．
【练习45】分解因式：
（1） ?x ? 2??x ? 4? ? x2 ?16 ； （2） 4m2 ?x ? y?3 ? ? y ? x?3 ?m ? n?2
（3）16a4 ? 72a2 ? 81； （4）?x ? 5y?2 ? (2x ?10 y)(3x ? y) ? ?3x ? y ?2 ；
（5） ?x2 ? x?2 ?18?x2 ? x?? 72 ； （6） a4 ? a2 ? 4a ? 4 ；
（7） ?x2 ? x ? 1??x2 ? x ? 2??12 ．
【难度】★★
【答案】（1） 2?x ? 4??x ?1? ；（2） ?x ? y?3 ?3m ? n??m ? n? ；（3） (2a ? 3)2 (2a ? 3)2 ；
（4）16?x ? y ?2 ；（5） ?x ? 3??x ? 2??x ? 4??x ? 3? ；（6） ?a ? 2??a ?1??a2 ? a ? 2? ；
（7） ?x2 ? x ? 5??x ? 2??x ?1?．
【解析】解：（1）原式= ?x ? 2??x ? 4? ? ?x ? 4??x ? 4? ? ?x ? 4??x ? 2 ? x ? 4? ? 2 ?x ? 4??x ? 1? ；
? ?
（2）原式= ?x ? y ?3 ?4m2 ? ?m ? n?2 ? ? ?x ? y ?3 ?2m ? m ? n??2m ? m ? n?
? ?x ? y?3 ?3m ? n??m ? n? ；
（3）原式= ?4a2 ? 9?2 ? (2a ? 3)2 (2a ? 3)2 ；
（4）原式= ?x ? 5y?2 ? 2(x ? 5y)(3x ? y) ? ?3x ? y?2 ? ?x ? 5y ? 3x ? y?2
? ?4x ? 4 y?2 ? 16?x ? y?2 ；
（5）原式= ?x2 ? x ? 6??x2 ? x ? 12?? ?x ? 3??x ? 2??x ? 3??x ? 4? ；
（6）原式= a4 ? ?a2 ? 4a ? 4?? a4 ? ?a ? 2?2
? ?a2 ? a ? 2??a2 ? a ? 2?? ?a ? 2??a ?1??a2 ? a ? 2?；
（7）原式? ?x2 ? x?2 ? 3(x2 ? x) ?10 ? (x2 ? x ? 5)(x2 ? x ? 2)
? (x2 ? x ? 5)(x ? 2)(x ?1) ．
【总结】本题主要考查因式分解，一定要分解到不能再分解为止．
【练习46】已知多项式 x2 ? xy ? 12 y2 ，（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式 x2 ? xy ? 12 y2
的值等于?6 ，且 x、y 都是整数，求满足条件的 x、y 的值．
【难度】★★
? ? ?
【答案】（1） ?x ? 4 y ??x ? 3y ? ；⑵ ?x ? 3, ?x ? 2
, ?x ? ?3, ?x ? ?2
?
? y ?
1 ? y ? ?1 ? y ? ?1 ? y ? 1
【解析】解：（1）将原式因式分解= ?x ? 4 y ??x ? 3y ? ；
174477676692（2） x2 ? xy ?12y2 ? ?x ? 4y??x ? 3y?，??x ? 4y??x ? 3y? ? ?6 ，
则有?6 ? ??1?? 6 ? ??6??1 ? ??2?? 3 ? ??3?? 2 ，又 x ? 3y ? ?x ? 4y
?? 7y
，所以两个数相
减一定是 7 的倍数，则只能去-1 和 6，或者-6 和 1 这两组，所以有
?x ? 4 y ? ?1
?x ? 4 y ? 6
?x ? 4 y ? 1
?x ? 4 y ? ?6
① ?x ? 3y ? 6 ，② ?x ? 3y ? ?1，③ ?x ? 3y ? ?6 ，④ ?x ? 3y ? 1 ，
? ? ? ?
分别解可得： ?x ? 3
?x ? 2
?x ? ?3
?x ? ?2 ．
? ? ? ?
? y ? 1 ，? y ? ?1，? y ? ?1，? y ? 1
【总结】本题不仅仅考查因式分解，还考查了分类讨论的思想．
【练习47】已知2x2 ? 3x ? 4 ? a ?x ?1?2 ? b ?x ?1? ? c ，求a 、b 、c 的值．
【难度】★★
【答案】a ? 2，b ? 7 ，c ? 9 ．
【解析】右边的多项式展开= ax2 ? ?b ? 2a? x ? ?a ? b ? c?，对应未知数的系数相等可得，
?a ? 2 ?a ? 2
? ?
?b ? 2a ? 3
?a ? b ? c ? 4
，所以解得：?b ? 7 ．
?c ? 9
? ?
【总结】本题中两个多项式相等，则对应的系数也相等．
【练习48】已知 x ? y ，且 x2 ? x ? 2 ， y2 ? y ? 2 ，求代数式 x2 ? xy ? y2 ．
【难度】★★★
【答案】7．
194416685597【解析】解：
x2 ? x ? 2 ，x2 ? x ? 2 ? 0 ，??x ? 2??x ?1? ? 0 ，解得： x ? 2或x ? ?1 ，
同理可解得： y ? 2或y ? ?1 ，因为 x ? y ，所以一个取 2，一个取-1，代入可得：
x2 ? xy ? y2 ? 22 ? 2 ? 12 ? 7 ．
【总结】本题要利用因式分解解出 x、y 的取值，再代入．
【练习49】计算： ?2 ? 1??22 ? 1??24 ? 1??28 ? 1?? ? ? ?232 ? 1?．
【难度】★★★
【答案】264 ?1 ．
425250995953【解析】解：原式? ?2 ?1??2 ? 1??22 ? 1??24 ? 1??28 ? 1? ?232 ? 1?
3692222176247? ?22 ?1??22 ? 1??24 ? 1??28 ? 1? ?232 ? 1?
3279632177517? ?24 ?1??24 ? 1??28 ? 1? ?232 ?1?
? 264 ? 1 ．
【总结】本题很灵活的运用平方差公式解题，同时考查学生的观察能力．
【练习50】若 A ? ?3 ? 1??32 ? 1??34 ? 1??38 ? 1??316 ? 1??332 ? 1??364 ? 1? ，求 A ? 2002 的末位数字．
【难度】★★★
【答案】末尾数是 5
2
【解析】解：A ? 1 (3 ?1) ?3 ?1??32 ?1??34 ?1??38 ?1??316 ?1??332 ?1??364 ?1?
2
? 1 (32 ?1)?32 ?1??34 ?1??38 ?1??316 ?1??332 ?1??364 ?1?
? 1 (3128 ?1) ，
2
400707145158因为31 ? 3，32 ? 9 ，33 ? 27 ，34 ? 81，35 ? 243
，由此可见，每四个末尾数就开始重复
3、9、7、1，128 ? 4 ? 32 ，所以3128 的末尾数是 1，减去 1 后，末尾数是 0，再×0.5 ， 末尾数就是 5．
【总结】本题主要考查的是学生的分析能力和观察能力，是否能找到隐藏的规律．
【练习51】已知a2 ? 2a ? b2 ? 6b ?10 ? 0 ，求a2 ? b2 的值．
【难度】★★★
【答案】10．
【解析】解：由题意可得： a2 ? 2a ?1 ? b2 ? 6b ? 9 ? ?a ? 1?2 ? ?b ? 3?2 ? 0 ，
? ?
所以有?a ? 1 ? 0 ，? ?a ? ?1 ，代入后有a2 ? b2 ? 1? 9 ? 10 ．
?b ? 3 ? 0 ?b ? 3
【总结】本题主要考查了配方法的运用，还是非负数之和为 0 的情况．
【练习52】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【难度】★★★
【答案】略．
【解析】证明：设四个连续整数为n, n ? 1, n ? 2, n ? 3 ，则有
n ?n ? 1??n ? 2??n ? 3? ? 1
? ?n2 ? 3n??n2 ? 3n ? 2?? 1
? ?n2 ? 3n?2 ? 2?n2 ? 3n?? 1
? ?n2 ? 3n ? 1?2
【总结】本题要注意两两组合，把相同的部分n2 ? 3n 看成一个整体，再进行完全平方．