沪教版七年级数学秋季班第12讲：分式的基本意义和性质教师版

-53975057150分式的基本意义和性质
分式的基本意义和性质
-219075151765内容分析
内容分析
本讲内容学习分式的基本意义和性质．经历分式的形成过程，理解分式的概念，会求使分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值．通过与分数的基本性质的类比，掌握分式的基本性质，类比分数的约分，理解分式约分的意义，掌握分式约分的基本方法．重点是分式的基本性质，难点是分式约分的灵活应用．
-33337573660 知识结构
知识结构
6623051410335模块一：分式的意义
模块一：分式的意义
-207645122555知识精讲
知识精讲
分式的概念
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．
一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
分式的分母中必然含有字母；
分式的分母的值不为0；
分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．
2、分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．
如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义．
3、分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．
-10477595250例题解析
例题解析
下列代数式，，，，中，分式有（ ）个．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】除了之外其余的都是分式．
【总结】考查分式的概念．
使分式有意义的的取值范围是_____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】略．
【总结】分母不为零的时候分式有意义．
如果的值是正的，那么（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】分子为负，要使分式值为正，则分母一定为负，即，所以．
【总结】考查分式值的概念及不等式的求解．
（1）当时，求分式的值；
（2）当，时，求分式的值．
【难度】★
【答案】（1）-15；（2）．
【解析】略．
【总结】考查分式的计算．

分式有意义的条件是（ ）．
A． B． C．或 D．且
【难度】★★
【答案】C
【解析】要使分式有意义，则分母不为零，即，所以或．
【总结】考查分式有意义的条件，注意本题中的计算．
（1）当是什么数时，分式有意义？
（2）当是什么数时，分式无意义？
（3）已知分式的值为，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】分母不为零，分式有意义；分母为零，分式无意义；分子为零且分母不为零，则分 式值为零．
【总结】考查分式有意义、无意义以及分式值为零的条件．
设，则．
【难度】★★
【答案】3．
【解析】原式．
已知，则．
【难度】★★
【答案】-4．
【解析】∵，∴或，
即，所以．
【总结】考查非负性的运用以及分式的计算求值．


现有单价为元的果冻千克，单价为元的果冻千克，单价为元的果冻千克，
若将这三种果冻混合在一次，则混合后的果冻售价为_________元/千克．
【难度】★★
【答案】．
【解析】单价=总价÷总重量．
【总结】考查分式的计算在实际问题中的应用．
若分式有意义，则（ ）．
A． B． C．且 D．且
【难度】★★★
【答案】C
【解析】要使分式有意义，则，解得：且．
【总结】本题主要考查分式有意义的条件，注意双重条件的考虑．
若分式不论取何实数时总有意义，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，，所以．
【总结】考查分式有意义的条件，本题综合性较强，计算时注意方法．
要使分式有意义的一切的值，都使这个分式的值为一个定值，求应
满足的条件．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，即．
当，且时满足要求，得，即．
【总结】本题综合性较强，主要考查分式有意义的条件以及对方程解为一切实数的运用．
70421524765模块二：分式的基本性质
模块二：分式的基本性质

-131445115570知识精讲
知识精讲


分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
上述性质用公式可表示为：，．
注意：（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是；
（2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
2、约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．
3、最简分式
一个分式的分子、分母没有相同的因式(1除外）时，这个分式叫做最简分式．约分可以把一个分式化为最简分式．
4、约分的方法
（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公因数．
（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．
（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．
-19367548895例题解析
例题解析


下列分式中，为最简分式的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】A选项有公因式3；B选项有公因式；C选项已经约分彻底；D选项有公因式 ．
【总结】本题主要考查利用分式的基本性质进行分式的约分．
在下列括号内，填写未知的分子或分母，使其满足等式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）1．
【解析】略．
【总结】考查分式的约分．
不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母都不含“—”号．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】分式的分子分母同时乘以-1，不改变分式的值．
【总结】考查分式的约分．
不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分子的首
项系数是正数，并把结果填在横线上．
； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）； （2）．
【总结】本题主要考查利用分式的基本性质对分式进行最基本的变形．
约分：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式； （2）原式；
（3）原式； （4）原式．
【总结】本题一方面考查因式分解的运用，另一方面考查分式的约分．
若分式化简为，则应满足的条件是（ ）．
A．或 B． C．且 D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】分式的分子分母同时除以一个不为零的数，并且要满足原分式分母不为零．
【总结】考查分式的基本性质的运用以及分式有意义的条件．
把分式中的都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ）．
A．不变 B．扩大到原来的倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
【难度】★★
【答案】D
【解析】分子整体扩大了2倍，分母整体扩大了8倍，因此整个值缩小到原来的．
【总结】考查分式的基本性质的运用．
约分：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】考查分式的基本性质的运用．
已知，，求分式的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题一方面考查分式的约分，另一方面考查整体代入法求值．
已知，则．
【难度】★★
【答案】或0．
【解析】因为，所以或，
因为，所以或，所以或．
【总结】考查因式分解的运用和分式的化简求值．
已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由，得，则；
所以．
【总结】本题主要考查利用整体代入得思想进行分式的求值．
已知满足，求的值．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】由题意，得，相加得， 当时，；当时，那么，代入，得；
综上所述，或．
【总结】本题主要考查分式的求值，解题时注意分类讨论．

已知，且，，求的值．
【难度】★★★
【答案】或3．
【解析】当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为，所以，即，
设，则．
所以原式．
【总结】本题一方面考查分式的化简求值，另一方面考查整体代入思想的运用．




如果记，并且表示当时的值，即；
表示当时的值，即，那么
（结果用含的代数式表示，为正整数）．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，，；
，
∴（为正整数）．
-1629410144145随堂检测
随堂检测
下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦， 其中_________________整式，_________________是分式．（只填序号）
【难度】★
【答案】②④⑤⑦；①③⑥．
【解析】注意是常数．
【总结】考查分式的概念．
下列分式，，，，，，中， 最简分式有__________________________________________．
【难度】★
【答案】，，，，．
【解析】略
【总结】本题主要考查利用分式的基本性质进行约分．
若，则可用含的代数式表示为____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】因为，所以，所以．
【总结】考查对分式的理解以及整体代入思想的运用．
不改变下列分式的值，使分式的分子和分母中最高次项的系数是正数，并把结果 填在横线上．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】略
【总结】主要考查分式的约分．


下列各式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】．
【总结】考查利用分式的基本性质进行约分．
不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数：______________．
【难度】★
【答案】．
【解析】分子分母同乘90．
【总结】考查利用分式的基本性质进行约分．




已知当时，分式无意义，时，分式的值为，则．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意，可得：，所以．
【总结】考查分式有意义与无意义的运用．

若代数式的值为零，则的取值为_______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意，可得，解得：．
【总结】考查分式值为零的条件．

要使分式没有意义，求的值．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】当或时，分式中所含分母为零．
【总结】考查分式无意义的条件．


当为何值时，分式，（1）没有意义；（2）值为；（3）绝对值为．
【难度】★★
【答案】（1）或；（2）；（3）．
【解析】（1）分式无意义，则，即或；
分式值为零，则，解得：；
绝对值为1，则或，解得：．
约分：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
【解析】略
【总结】考查分式的约分．


把下列分式中的字母和都扩大为原来的倍，分式的值有什么变化？
； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）不变；（2）缩小到原来的．
【解析】（1）中字母和都扩大为原来的倍，相当于分式的分子分母同时乘以5，分式 值不变；（2）字母和都扩大为原来的倍，则分子扩大5倍，分母扩大25倍，因 此分式值缩小为原来的．
【总结】考查分式的基本性质的运用．

约分：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式．
【总结】本题主要考查利用分式的基本性质进行约分．
若，则．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
．
【总结】本题主要考查利用设“k”法求分式的值．
已知不同时为，且，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由，得：，
代入原式，得：．
【总结】考查分式的变形与计算．
若，求的值．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】由题意，得：
当时，，得：；
当时，，得：，
综上，的值为或6．
【总结】主要考查分式的化简及求值运算．
已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】3或或1或或0．
【解析】当时，；
当时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，；
当且时，．
【总结】本题主要考查含绝对值的分式的化简，注意分类讨论思想的运用．
-1655445122555课后作业
课后作业
在分式、、、中，共有最简分式（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【难度】★
【答案】B
【解析】；含有绝对值不算最简分式．
【总结】考查最简分式的概念．
下列等式正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】分子分母同时除以一个不为零的数，不改变分式的大小．
【总结】考查分式的基本性质．
无论取什么数时，下列分式总是有意义的是（ ）．
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】分式有意义需满足分母不为零，由于，所以选C．
【总结】考查分式有意义的条件．
两地相距千米，甲、乙两人分别从两地出发，相向而行，甲、乙两 人速度分别为千米/时和千米/时，_________小时后两人相遇．
【难度】★
【答案】．
【解析】总路程速度和=相遇时间．
【总结】考查分式在实际问题中的应用．
当时，分式无意义，当时，分式的值为．
【难度】★★
【答案】3；1．
【解析】当分母为零时分式无意义；分子为零且分母不为零是分式值为零．
【总结】考查分式无意义和分式值为零的条件．
不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分子的 首项系数是正数，并把结果填在横线上．
； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】分子分母同乘一个不为零的数不改变原分式值的大小．
【总结】考查分式的基本性质的运用．
当取何值时，下列分式有意义？
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）， （6）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）取任意实数； （3）；
（4）； （5）且； （6）且．
【解析】分式有意义则说明分母不为零．
【总结】考查分式有意义的条件．
若，则的取值范围是______________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意，可得：．
【总结】考查分式的取值范围．
约分：
（1） ； （2） ； （3）
（4）; （5）； （6）
（7）； （8）．
【难度】★★
【答案】略
【解析】（1） ； （2）； （3）；
（4）； （5）；
；
（7）；
（8）．
【总结】考查利用分式的基本性质进行约分．
当取何值时，分式的值是整数？
【难度】★★★
【答案】或或或．
【解析】由或，解得：或或或．
【总结】本题一方面考查分式的值的概念，另一方面考查整数的运用．
已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】， ，
．
【总结】考查分式的变形计算以及整体代入思想的运用．
已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】设，则，
．
【总结】本题主要考查利用设“k”法进行分式的计算．