沪教版六年级秋季班第15讲：圆的周长和弧长教师版

center123825圆的周长和弧长
圆的周长和弧长
left57785内容分析
内容分析
圆的周长和弧长是六年级数学上学期第4章第1节的内容，通过本讲的学习，同学们需要掌握圆的周长和弧长的公式，并熟练运用进行相关的计算．难点是圆的周长和弧长公式在组合图形中的运用，以及在实际问题中的应用．
left121920知识结构
知识结构
center19050模块一：圆的周长
模块一：圆的周长
left171450知识精讲
知识精讲
圆的周长
通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，．
圆的周长直径 = 圆周率．
用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：
或
left33020例题解析
例题解析
想要求圆的周长，就必须知道（ ）
A．圆心 B．圆周率 C．直径和半径 D．直径或半径
【难度】★
【答案】D
【解析】或．
【总结】考查圆的周长公式．
是一个（ ）
A．有限小数 B．无限循环小数
C．无限不循环小数 D．混合循环小数
【难度】★
【答案】C
【解析】圆周率是一个无限不循环小数．
【总结】考查圆周率基的概念．
判定题：（1）大圆的圆周率大于小圆的圆周率．（ ）
（2）一个圆的半径扩大2倍，它的周长也扩大2倍．（ ）
【难度】★
【答案】（1）×；（2）√．
【解析】（1）圆周率是个定值；
（2）由周长公式可知，当一个圆的半径扩大n倍时，这个圆的周长也扩大n倍．
【总结】考查圆周率及圆的周长公式．




求下列图中各圆的周长．（取3.14）
143827522225020 cm
20 cm
34099501301753
3
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）．
【总结】考查圆的周长以及周长公式的计算．


车轮的直径是0.8米，那么它的滚动一周长为多少米？（取3.14）
【难度】★
【答案】2.512米．
【解析】3.14×0.8=2.512m．
【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．


小智每天绕半径为20米的花坛跑15圈，则小智每天要跑多少米？（取3.14）
【难度】★
【答案】1884米．
【解析】15×2×3.14×20=1884米．
【总结】考查圆的周长的在实际问题中的计算．
小方家挂钟的分钟长24厘米，1小时后，分针的尖端所走的路程是多少厘米？10小时后呢？（取3.14）
【难度】★★
【答案】1小时后走过的路程为：150.72cm，10小时后走过的路程为：1507.2cm．
【解析】1小时后走过的路成为：2×3.14×24=150.72cm ，
10小时后走过的路成为：150.72×10=1507.2cm．
【总结】考查圆的周长的计算，分针走过1小时，针尖走过的路程即为一个圆的周长．
填表：（取3.14）
圆的半径
2厘米
2.5dm
1.5m
10m
圆的直径
4cm
5dm
3米
20m
圆的周长
12.56cm
15.7分米
9.42m
62.8米
【难度】★★
【答案】见表格．
【解析】根据半径、直径、周长之间的关系计算．
【总结】考查圆的周长、半径、直径之间的关系．
4010025447675如图，是一个由半圆和一条直径所组成的图形，求这个图形的周长．（单位：厘米，取3.14）
【难度】★★
434340016827510
10
【答案】25.7．
【解析】10×3.14÷2+10=25.7．
【总结】考查半圆的周长的计算，直径的长度勿忘．


388620059372515
15
如图，大半圆的直径为15厘米，小半圆的直径是大半圆的，则该图形的周长为______．（取3.14）
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中是半个圆．


35909254286254
6
4
6
如图是由直径分别为4厘米、6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形，则这个图形的周长为______．（取3.14）
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】考查圆的周长的计算，注意本题中周长是三个半圆的和．

直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地的捆在一起，如图所示，试求金属带的长度．（取3.14）
414782053975【难度】★★
【答案】7.14m．
【解析】3.14×1+4=7.14m．
【总结】本题中注意金属带的长度包含了4个直径．

一个正方形的铁片里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是25.12厘米，那么正方形的周长比圆的周长多多少厘米？（取3.14）
【难度】★★
【答案】6.88厘米．
【解析】已知正方形的边长即为圆的直径，则正方形边长为25.12÷3.14=8cm，
所以正方形周长为：8×4=32cm，
则正方形的周长比圆的周长多：3225.12=6.88cm．
【总结】本题中注意正方形的边长即为圆的周长，从而利用圆的周长公式计算．

如图，点O、点B在线段AC上，AB = 120 米，BC = 70 米，O是圆心．从A到C有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短．
360045076200A
B
C
O
A
B
C
O
【难度】★★★
【答案】距离一样．
【解析】A→C：190÷2 = 95；
A→O→C：95÷2×2 = 95；
A→B→C:120÷2+70÷2 = 95．
【总结】考查圆的周长公式在组合图形周长计算中的运用．

4206875647700如图，一个半径1厘米的硬币沿着长方形纸板的边缘滚动，长方形纸板长30厘米，宽20厘米，当硬币滚回原来位置时，硬币的圆心经过的路程是______厘米．（取3.14）
【难度】★★★
【答案】106.28cm．
【解析】虚线图形的周长即为银币圆心经过的路程：
即：（30+20）×2+2×3.14×1=106.28cm．
【总结】本题在计算时注意四角是四段圆弧组成的．
center14605模块二：弧长
模块二：弧长
29210248964知识精讲
知识精讲
1、弧和圆心角的概念
2714625336550A
B
O
A
B
O
如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；
称为圆心角．


2、弧长公式
设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：．



5397510795例题解析
例题解析

下列图形中的角是圆心角的有______个．
30734080645
【难度】★
【答案】3．
【解析】顶点在圆心的角叫圆心角．
【总结】考查圆心角的概念．
下列判断中正确的是（ ）
A．半径越大的弧越长
B．所对圆心角越大的弧越长
C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大
D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变
【难度】★
【答案】C
【解析】由公式可得C正确．
【总结】考查弧长的影响因素．
若一弧长是所在圆周长的，则它所对的圆心角是______度．
【难度】★
【答案】144度．
【解析】．
【总结】考查弧长公式的逆运用．
一段圆弧所在的圆的半径是40厘米，这条弧所对的圆心角为100°，求该圆弧的弧长．（结果保留）
【难度】★
【答案】．
【解析】100×40π÷180 =．
【总结】考查对弧长公式的理解以及利用公式进行计算．
一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）
【难度】★
【答案】4cm．
【解析】18.84×180÷270÷3.14 = 4cm．
【总结】考查弧长公式的逆运用．
3990975346075A
B
C
A
B
C
如图，的三条边长都是18毫米，分别以A、B、C为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14）
【难度】★★
【答案】56.52毫米．
【解析】180×3.14×18÷180 = 56 .52毫米．
【总结】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算．
某建筑物上的大钟，分针长1.2米，时针长0.9米，试计算2小时分针和时针的针尖运动的距离．（取3.14）
【难度】★★
【答案】分针针尖2小时经过的路程为15.072m、时针针尖2小时经过的路程为0.942m．
【解析】时针走两小时，走过的圆心角度数为60°，
则时针针尖2小时运动的距离为：60×3.14×0.9÷180 = 0.942m，
分针走一小时，走过的圆心角为360°，
则时针针尖2小时运动的距离为：720×3.14×1.2÷180= 15.072m．
【总结】考查弧长公式的运用，注意时针针尖和分针针尖在不同时间走过圆心角不同．
把直径为18厘米的圆等分成9个扇形，每个扇形的周长是______厘米．（取3.14）
【难度】★★
【答案】24.28cm．
【解析】3.14×18÷9+18=24.28cm．
【总结】考查弧长的计算，分成扇形后多了两个半径．
368808038735012厘米
12厘米
如图，圆心角为135°的扇形减去直径为12厘米的半圆，所得到的阴影部分的周长为______厘米．（取3.14）
【难度】★★
【答案】59.1厘米．
【解析】135×3.14×12÷180+3.14×6＋12 = 59.1厘米．
【总结】考查弧长公式的计算．

3238500457200A
B
C
D
A
B
C
D
如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14）
【难度】★★
【答案】3.09cm．
【解析】已知两段弧所对的圆心角的度数均为60°，
故阴影部分的周长为：120×3.14×1÷180＋1=3.09cm．
【总结】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含BC的长．
4171315403225如图，四边形ABCD是长方形，长为10厘米，宽为6厘米，求阴影部分的周长．（取3.14）
【难度】★★
【答案】33.12cm．
【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×6÷180＋4＋4=33.12cm．
【总结】考查组合图形的周长的计算．
夏天到了，爸爸到商店买了3瓶啤酒，售货员将3瓶啤酒捆扎在一起，如图所示，那么捆4圈至少用绳子______厘米．（取3.14）
393382507厘米
7厘米
【难度】★★
【答案】171.92厘米．
【解析】（3×7+3.14×7）×4 = 171.92cm．
【总结】本题中一圈绳子的长度包含了一个直径为7厘米的
的圆的周长与3个直径的和．
求图中阴影部分的周长．（取3.14）
26098501270002 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2 2 2
4
【难度】★★★
【答案】33.12．
【解析】四条弧加起来正好是一个圆，
故阴影部分的周长为：
3.14×4×2＋2×4=33.12．
【总结】考查组合图形的周长的计算，注意该组合图形中包含了四条线段的长．
2202180625475A
A
如图，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长600厘米的正方形，栓狗的绳子长20米．现狗从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，可跑多少米？（取3.14）
【难度】★★★
【答案】69.08m．
【解析】狗可以跑4个圆，
第一个圆的半径为20米，路程是：×2×20 = 10；
第二个圆的半径为20-6=14米，路程是：×2×14 = 7；
第三个圆的半径为20-6-6=8米，路程是：×2×8 = 4；
第四个圆的半径为20-6-6-6=2米，路程是：×2×2 =．
所以可以跑的总路程为：10+7+ 4+= 22= 69.08m．
【总结】本题综合性较强，主要是分清每段圆的半径．
等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求A点经过的路程的长．
71120066675A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
……
原位置
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
……
原位置
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
【难度】★★★
【答案】125.6cm．
【解析】A点运动一次走过的路程是圆心角为120度半径为3厘米的扇形的弧长，但连 续运动两次之后，第三次A点是不动的，因此每翻滚一次，就有一次固定 不动，A点经过的路程的长为：．
【总结】本题综合性较强，一方面要分清楚A点的运动路径，另一方面要确定三角形在 旋转时的旋转中心．
012700随堂检测
随堂检测
下列结论中，正确的是（ ）
A．任何一个圆的周长与半径之比不是一个固定的数
B．任何两个圆的周长之比等于它们的半径之比
C．任何两个圆的周长之比是一个固定的数
D．称圆的周长与半径之比为圆周率
【难度】★
【答案】B．
【解析】圆周率是一个固定的数．
【总结】考查圆的周长及圆周率的概念．


圆的直径为30 ，则圆的周长为______．（结果保留）
【难度】★
【答案】30．
【解析】．
【总结】考查圆的周长的计算．


一个圆中，120°的圆心角所对的弧长是15.072米，则这个圆的半径是______米．（取3.14）
【难度】★
【答案】7.2m．
【解析】15.072×180÷120÷3.14 = 7.2m．
【总结】考查弧长公式的逆运用．


一个半圆的周长是17.99厘米，则它的直径为______厘米．（取3.14）
【难度】★★
【答案】7厘米．
【解析】设周长为d，则，解得：．
【总结】考查圆的周长公式的逆运用，注意本题中周长还包含一条直径的长．
两只蚂蚁分别沿着边长为10米的正方形和直径为10米的圆的路线爬行，如果同时以同样的速度从一点出发，那么谁先回到起点？
【难度】★★
【答案】沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点．
【解析】因为4×10 > 10，所以沿圆形路线爬行的蚂蚁先到起点．
【总结】考查圆与正方形周长的计算在实际问题中的运用．


39433503873506厘米
4厘米
6厘米
4厘米
如图是由两个正方形和两个扇形的组合图形，则阴影部分的周长是______厘米．（取3.14）
【难度】★★
【答案】33.98厘米．
【解析】90×3.14×10÷180＋90×3.14×4÷180＋2＋6＋4
=33.98厘米．
【总结】考查组合图形的周长的计算，注意周长包含了好几部分．


一个自行车轮子的直径为0.8米，能滚动25圈/分，要通过一座长502.4米的大桥，需要多少分钟？
【难度】★★（取3.14）
【答案】8分．
【解析】502.4÷（25×3.14×0.8）= 8分．
【总结】自行车的轮子滚动一圈，实际上就是直径为0.8米的圆的周长，然后转化为路
程与速度的问题．


3657600546100A
B
A
B
如图，圆A的半径为圆B半径的，圆A从图上所示位置出发，沿着圆B滚动，那么至少要滚动多少圈才能回到原处？
【难度】★★★
【答案】4．
【解析】设小圆半径为x，则大圆半径为3x，则圆心A经过
的路程为：，故圆A滚动的圈数为：．
【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看点A运动的路程即可．
地球的赤道是个近似的圆形，赤道的半径约6378.2千米，假设有一根绳子沿地球赤道贴紧地面绕一周，现在将绳子增加6.28米，使绳子与地面之间有均匀的缝隙，请问缝隙有多宽？一只高4厘米的蜗牛能否从该缝隙间爬过？（取3.14）
【难度】★★★
【答案】1m，能．
【解析】6378.2千米 = 6378200米，
绳子增加6.28米后的周长为：米，
增加后的半径为：米，
增加的半径长度为：米，
即缝隙宽为1米．
因为1米大于4厘米，所以该蜗牛能从该缝隙爬过．
【总结】本题综合性较强，注意认真分析题目中的条件，进行计算．

有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总周长为多少米？
3724275155575【难度】★★★
【答案】50.24m．
【解析】120×3.14×2÷180×2＋300×3.14×8÷180
=50.24m．
【总结】本题中小狗运动的路程是三段弧长的和，
解题时注意分析．
left120650课后作业
课后作业
两个圆的周长比为1 : 3，则半径比为______．
【难度】★
【答案】1:3．
【解析】周长比等于半径比．
【总结】考查圆的周长与半径的关系．


把一张圆形纸对折，再对折，再对折，得到一个扇形，那么它的圆心角是______°．
【难度】★
【答案】45．
【解析】360°÷2÷2÷2=45°．
【总结】考查圆的对折引起相应圆心角的变化．


在一个周长为31.4厘米的圆中，108°所对的弧长为______厘米．（取3.14）
【难度】★
【答案】9.42厘米．
【解析】108÷360×31.4 = 9.42厘米．
【总结】考查弧长的计算．



如图，计算环行跑道的周长（单位：米；取3.14）．
334327560325100
80
100
80
【难度】★★
【答案】451.2米．
【解析】3.14×80＋200 = 451.2米．
【总结】考查环形跑道周长的计算．



用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形或者围成一个圆，则围成的正方的边长与围成的圆的直径哪个大？大多少？（取3.14）
【难度】★★
【答案】圆的直径大，大2.15dm．
【解析】正方形边长为：31.4÷4=7.85dm， 圆的直径为：31.4÷3.14=10dm，
故圆的直径大，大：107.85=2.15dm．
【总结】考查圆的周长的计算．




3933825361950如图，以等边三角形的三个顶点为圆心，边长的一半为半径在正三角形内作弧，若正三角形边长为4厘米，求三条弧长的和．
【难度】★★
【答案】2．
【解析】180π×2÷180 = 2．
【总结】考查弧长的计算．





3048000574675A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
如图，正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到如图所示是图形，则该图形的外周长为______厘米．（取3.14）
【难度】★★
【答案】19.7厘米．
【解析】2×3.14×（1+2+3+4）÷4 + 4
= 15.7+ 4 = 19.7厘米．
【总结】考查组合图形周长的计算，注意该图形周长
中还包含线段DH的长．



如图，小明同学分别以同一个含45°角的三角板的两个锐角顶点为圆心，以一条直角边的长为半径画弧，求这两段弧与的长的比．
287655095885A
B
C
D
E
45°
A
B
C
D
E
45°
【难度】★★★
【答案】1:3．
【解析】两段弧的半径相等，所以弧长比等于
圆心角比：45:135=1:3．
【总结】考查利用弧长公式求出弧之比．


下图中，五个正方形的边长均为l，那么其中阴影部分的周长相等的图形是哪些？
【难度】★★★
85725082550A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【答案】
【解析】
【答案】B = C = E、A = D．
【解析】B、C、E的周长都等于一个圆的周长，A、D的周长都等有一个圆的周长加
正方形的周长．
【总结】考查组合图形的周长的计算．
4566920923925两枚如图放置的同样大小的硬币，其中一枚固定另一枚沿其周围滚动．滚动时，两枚硬币总是保持有一点相触，这在几何学上叫做相切．当滚动的一枚硬币沿固定的一枚硬币周围滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那枚硬币自转了多少周？
【难度】★★★
【答案】2．
【解析】设硬币的半径为r，则滚动的圆的圆心走过的圆的半径为2r，
故银币自传的圈数为：（2××2r）÷（2××r）= 2．
【总结】考查圆的周长的计算及运用，本题中只要看圆心运动的路程即可．