沪教版八年级数学秋季班第2讲：二次根式的运算教师版

本节主要讲解的内容包括两大部分，第一是最简二次根式和同类二次根式的区分与化简，难点在化简二次根式与利用同类二次根式的性质进行求解综合题目上；第二是二次根式的四则运算，难点是合并同类项及乘除运算的时候符号问题．这节内容是二次根式的重点与难点．
1、最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）不是； （2）是； （3）不是； （4）不是．
【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．
同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
所以（2）是最简二次根式．
【总结】本题考查了最简二次根式的概念．
将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．
化简：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）； （2）；
（3）====．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．
判断下列二次根式是否为同类二次根式．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）不是； （2）不是； （3）不是； （4）是．
【解析】（1）∵，，
∴和不是同类二次根式；
（2）∵；∴和不是同类二次根式；
（3）∵；∴和不是同类二次根式；
（4）∵，，
∴和是同类二次根式．
【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，先化简再判断．
将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）（）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式===；
（2）原式=；
（3）．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．
将下列根号外的因式移到根号里面：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式=； （2）原式==；
（3）∵，∴，∴原式==；
（4）．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行变形，注意移入的数必须是非负数．
是同类二次根式，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得： ， 解得：．
【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列出方程组并求解．
已知的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵，∴，即 ， ∴．
∴原式=．
【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．
分别求出满足下列条件的字母a的取值：
（1）若最简二次根式与是同类二次根式；
（2）若二次根式与是同类二次根式．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）∵， ∴， ∴；
（2）∵， ∴ ， ∴．
【总结】本题考查了二次根式的化简以及最简二次根式的概念．
将下列式子化成最简二次根式：
（1）；
（2）的值．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式===；
（2）原式=．
∵，∴．
∴原式====．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．
将下列式子化成最简二次根式：
若x、y为实数，且，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：；．
∴=
====．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．
已知等式成立，求x的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：，当时，，不存在，应舍去．
当时，，∴或，∴．
又∵，∴．
综上得．
【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号．
化简：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质化简复合二次根式，注意相应方法的归纳总结．
1、二次根式的加减运算：
把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）．
2、二次根式的乘除运算：
（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；
（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
计算：．
【难度】★
【答案】0．
【解析】原式=．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
化简：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=．
【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
化简：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）原式==；
（2）原式=；
（3）原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
已知求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查二次根式的化简，综合性较强，要注意判断x、y两数的符号，然后利用整体代入的思想求值．
化简：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式=
=
=
=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
化简：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式==．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
已知长方形的长，
（1）求该长方形的周长；
（2）若另一个正方形，其面积与该长方形面积相等，试计算该正方形的周长．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）8．
【解析】（1）==；
（2），
∴正边形的边长为2，
∴周长为8．
【总结】本题主要考查二次根式的运算以及求值．
计算：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式=
=
=
=．
【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意先化简后合并，注意方法的选择．
解下列不等式
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）∵，∴， ∴；
（2）解：∵， ∴， ∴．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式．
化简求值：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式===；
把代入，得：原式=．
【总结】本题主要考查了二次根式的化简和分母有理化．
若等式成立，
化简：．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意得：， 解得：．
∴原式===．
【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值．
的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴．
∴原式=
=
=．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了二次根式的化简求值运算，另一方面考查了利用将次思想以及整体代入思想进行求值．
下列各式中，最简二次根式的个数有（ ）
；；；；；．
A．0个 B． 1个 C．2个 D． 3个
【难度】★
【答案】D．
【解析】；；；不是最简二次根式；；； 是
最简二次根式．
【总结】本题考查了最简二次根式的概念．
下列二次根式中，与不是同类二次根式的为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】A．
【解析】；； ；，故选A．
【总结】本题考查同类二次根式的概念．
下列化简错误的是（ ）
A． B．=×=0.1×0.7=0.07
C． == D． =·=1×=
【难度】★
【答案】D．
【解析】．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简．
若最简根式和是同类二次根式，求的值的平方根．
【难度】★
【答案】．
【解析】由题意得：．
∴．
【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解．
合并下列各式中的同类二次根式并计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
比较大小：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；
（3）； （4）．
【解析】（1）平方法；（2）平方法；（3）作差法；（4）倒数法．
【总结】本题主要考查了二次根式的比较大小．
将下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
计算：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
．
【总结】本题主要考查了二次根式的加减运算和分母有理化．
已知，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】289．
【解析】由已知得：，，∴，．
∴．
【总结】本题主要考查了分母有理化和完全平方公式的变形．
解下列不等式：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原不等式可化为：， 即， ∴；
（2）原不等式可化为：，∴．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质求解不等式．
把化成最简二次根式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴． ∴原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
已知，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意，，∴， ∴．
又，
把，代入，得：．
【总结】本题主要考查二次根式的概念、化简以及求值．
【习题13】已知是的小数部分，求代数式的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ∴， ∴，
∴， ∴．
∴原式==．
【总结】本题主要考查无理数的小数部分的表示以及整体思想的运用．
下列二次根式中是最简二次根式的是（ 　）
A． B． C． D．
【难度】★
【答案】D．
【解析】； ； ，故选D．
【总结】本题考查最简二次根式的概念．
把代数式根号外的因式移入根号内，结果为_______；
【难度】★
【答案】．
【解析】．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行变形，注意移入的数必须是非负数．
若，计算正确的个数是（　）
（1）； （2）；
（3）； （4）．
A．1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
【难度】★
【答案】B．
【解析】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误．
【总结】本题考查二次根式的性质和有意义的条件．
二次根式化简后的结果为（ 　）
A．　　 B．　 　C．　 　　D．
【难度】★★
【答案】C．
【解析】．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
若是同类二次根式，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得：，∴．
【总结】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的概念，然后根据题意列方程并求解．
计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式==．
【总结】本题主要考查了二次根式的混合运算．
化简并计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
若的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，∴， ∴，
∴， ∴．
【总结】本题主要考查了完全平方公式的变形．
将下列二次根式化成最简二次根式．
（1）（）；
（2）已知a、b、c为正数，d为负数，．
【难度】★★
【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）∵为正数，为负数， ∴，
∴原式=．
【总结】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的的符号．
已知x，y分别是的整数部分和小数部分，求的平方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵，， ∴， ∴．
∴， ∴，
∴的平方根为．
【总结】对于一个无理数的小数部分，没有办法完整写出来，只能用一种整体思想相应的表示出来．
已知是同类二次根式，解答下列问题：
（1）若a是正整数，则符合条件的a有几个？试写出a的最大值和最小值；
（2）若a是整数，则符合条件的a有几个，是否存在a的最大值和最小值？为什么？
【难度】★★★
【答案】（1），；
（2）有无数个；存在最大值为41，不存在最小值．
【解析】（1）∵， ∴，
当时，； 当时，； 当时，；
当时，； 当时，（舍），∴，；
（2）有无数个存在最大值为41，不存在最小值．
【总结】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，
因此要从多个角度考虑．