沪教版数学八年级秋季班-第11讲：反比例函数学案-教师版(1)
文档属性
| 名称 | 沪教版数学八年级秋季班-第11讲：反比例函数学案-教师版(1) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-22 08:40:51 | ||
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文档简介
函数的概念正比例函数
内容分析
函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．
知识结构
模块一： 函数的概念
知识精讲
函数的概念
（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值；
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
2．函数的定义域和函数值
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例题解析
填空：
（1）在正方形的周长公式中，a是自变量，_______是________的函数，_____是常量；
（2）面积是的正方形地砖边长为（cm），S与之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．
（3）圆的周长C与半径r之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．
【难度】★
【答案】（1），a，4； （2），； （3），，r和C．
【解析】函数的概念，变量和常量的理解．
【总结】考察函数的概念．
在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子，下列说法中正确的是 （ ）
A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量
C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量
【难度】★
【答案】D
【解析】在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量．匀
速运动中速度v不变．
【总结】考察函数中变量和常量的理解．
下列各式中，x是自变量，y表示对应的值，判断是否是的函数？为什么？
（1）； （2）；
x
1
2
3
4
y
1
1
2
2
y
1
2
3
4
x
1
1
2
2
（3） （4）
347980245110
（5）
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）是；（4）、（5）不是 ．
【解析】（4）、（5）中一个自变量对应两个不同的函数值．
【总结】考察函数的概念．
下列各式中，不是函数关系式的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】C中一个自变量对应两个不同的函数值．
【总结】考察函数的概念．
判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：
长方形的宽a（cm）固定，其面积S与长b；
长方形的长a固定，面积S与周长c；
三角形一边上的高为4，三角形的面积y与这边长x；
等腰三角形顶角的度数x与底角的度数y．
【难度】★★
【答案】（1）是，；（2）是，；（3）是，；（4）是，．
【解析】（2）中，设宽为b，可得：，消去b，可得：，
当c变化时，S也随之变化，并且a是固定值，所以S是c的函数．
【总结】考察函数的概念．
填空：
函数，当x =___________，函数y的值等于0；
若函数的自变量x的取值范围是一切实数，则c的取值范围是________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），可得；
（2），所以．
【总结】考察函数值为0的情况以及求定义域的相关练习．
求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】函数定义域要注意分母不为0；被开方数非负；中底数不为0等情况．
【总结】考察求函数的定义域的几种情况．
将写成的形式，并求，
的值．
【难度】★★
【答案】，，，，．
【解析】，可得：，指的是当时所对应的函数值．
【总结】考察的形式下的函数值的表示方法．
A、B两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A地驶向B地，写出汽车距离B地的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】汽车离A地距离为，所以
【总结】考察求简单的函数关系式．
已知水池的容量为100，每小时灌水量为Q，灌满水池所需时间t小时，求t关于Q的函数关系式，当每小时的灌水量为5时，灌满水池需多少时间?
【难度】★★
【答案】，20小时．
【解析】当每小时的灌水量为5时，小时．
【总结】考察根据题意列函数关系式并求值．
A
C
B
D
E
F
如图，△ABC与正方形BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且BC与BD均在直线L上，将△ABC沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC与正方形BDEF在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出定义域?
【难度】★★
【答案】．
【解析】时，重合部分为直角梯形，
此时．
【总结】考察根据图形的运动情况分类求函数关系式．
已知等腰三角形周长为24cm，
若腰长为x，底边长为y，求y关于x的函数关系式及定义域；
若底边长为x，腰长为y，求y关于x的函数关系式及定义域．
【难度】★★★
【答案】（1），定义域：；（2），定义域：．
【解析】（1），由三角形两边之和大于第三边，得：，即，
所以，又，得：，所以．
（2）以及三角形两边之和大于第三边：，，，
又，所以．
【总结】考察等腰三角形中求函数关系式的两种情况．
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E分别是边BC、BA上的动点（不与端点重合），且DE⊥BC，设，将△BDE沿DE进行折叠后与梯形ACDE重叠部分的面积是y：
求y和x的函数关系式，并写出定义域；
当x为何值时，重叠部分的面积是△ABC面积的．
【难度】★★★
【答案】(1) ；
(2) 6或10．
【解析】(1) 当时，重叠部分面积始终是△BDE的面积，即，
当时，重叠部分为一梯形，；
(2) ，由；
由．
【总结】考察根据图形的运动情况求面积的表达式．
模块二 正比例函数
知识精讲
1．正比例函数的概念
(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．
(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式
2．正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；
(2)图像画法：列表、描点、连线．
3．正比例函数的性质
(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．
(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的
值则随着逐渐减小．例题解析
下列各变量成正比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积与它的半径 B．长方形的面积一定时，长与宽
C．正方形的周长与边长 D．三角形面积和高
【难度】★
【答案】C
【解析】A中圆的面积与它的半径的平方成正比例函数关系；
B成反比例函数关系；
D不确定，还与底有关．
【总结】考察两变量成正比例函数关系的条件．
下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】把看成一整体，满足正比例函数的定义．
【总结】考察正比例函数的定义．
（1）已知函数是正比例函数，则m=_________；
（2）当a_________时，函数是正比例函数．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由 ，又；
（2）因为是正比例函数，所以．
【总结】考察正比例函数的定义．
（1）已知函数y与x成正比例关系，且当，当 _________；
（2）已知成正比例，且当，则y与x之间的函数关系式是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）比例系数为，；
（2）比例系数为，，则．
【总结】考察正比例函数的定义的理解．
（1）若点B（b，-9）在函数 的图像上，则b = _________；
（2）若将点P（5，3）向下平移1个单位后，落在直线的图像上，
则k =_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）P（5，3）向下平移1个单位坐标为P（5，2），
【总结】考察正比例函数的定义的理解及平移的知识．
（1）如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么m的取值范围是_________；
（2）函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为图像过二、四象限，所以，即；
（2）因为图像过一、三象限，所以，即．
【总结】考察正比例函数的图像．
（1）已知y与x之间的函数关系式是，那么y与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；
（2）已知，y与_____________成正比例关系，k=___________．
【难度】★★
【答案】（1）不是；（2），．
【解析】（1）不满足正比例函数的定义(是常数，)；
（2），y与成正比例关系，比例系数为．
【总结】考察成正比例及正比例函数的意义．
（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；
（2）已知为正比例函数，求k的值及函数解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）常数，所以；
（2）因为是正比例函数，所以，并且，可得：，
所以函数解析式为：．
【总结】考察成正比例及正比例函数的意义．
若是正比例函数，又，当x取何值时．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为函数是正比例函数，所以，则，
所以．当时，则，解得：
【总结】考察正比例函数的意义及解一元一次不等式．
已知y是x的正比例函数，且当时，：
求出这个函数的解析式；
在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；
如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；
试问：点关于原点对称的点B是否在这个图像上?
380047512700【难度】★★
【答案】（1）；（2）如图；（3），（4）在．
【解析】（1）比例系数，所以；
（3）； （4）在这个函数图像上．
【总结】考察正比例函数的解析式相关练习．
已知正比例函数的图像过第四象限且过和两点，求此正比例函数的解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，可得：，因为图像经过第四象限，所以，所以，
故此正比例函数的解析式为：．
【总结】考察正比例函数的解析式．
点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度y cm ，求y与x的函数解析式及x的取值范围．
【难度】★★
【答案】，定义域为：．
【解析】，由，得：，所以．
【总结】考察正比例函数的解析式．
已知三角形ABC的底边AB的长为3，AB边上的高为x，面积为y，
2857500153670写出y和x之间的函数关系式；
画出函数的图像．
【难度】★★
【答案】（1），（2）如图．
【解析】（1）；
（2）如图．
【总结】考察正比例函数的解析式及作图，本题注意定义域为x>0．
（1）已知直线是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义，求a的取值范围；
（2）已知函数的值随x的增大而减小，且函数的值随着x的增大而增大，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题目可得，解得：；
（2）由正比例函数的性质可得：，解得：．
【总结】考察正比例函数的性质．
正比例函数的解析式为，
当时，y的值随x值的增大是增大还是减小？
若正比例函数的图像经过第一、三象限，k的取值范围是什么？
【难度】★★
【答案】（1）减少；（2）或．
【解析】（1）当时，，；
（2）因为图像过一、三想想，所以，解得：或．
【总结】考察正比例函数的性质．
已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，
求这个函数解析式； （2）当时，求y的值；
（3） 当时，求x的值； （4）当时，求y的取值范围；
（5） 当时，求x的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）；（5）．
【解析】（1）设此函数解析式为(是常数， )，，可得：；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；（将端点值分别代入即可）
（5）当时，（将端点值分别代入即可）．
【总结】考察正比例函数的解析式及性质相关练习．
m取何值时，y关于x的函数是正比例函数．
【难度】★★
【答案】或0．
【解析】①当，即时，函数解析式为：，是正比例函数；
②当，即时，函数解析式为：，是正比例函数，
综上，当m的值为或0时，函数是正比例函数．
【总结】考察正比例函数的概念，注意两种情况的分类讨论．
已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=12，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与三角形ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点H，设CE = x，BF = y，求y与x之间的函数关系式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意可得：(A.S.A)，所以，
可得：，所以．
【总结】考察根据图形找等量关系得出函数关系式．
已知一正比例函数图像上的一点P的纵坐标是3，作PQ⊥y轴，垂足为点Q，三角形OPQ的面积是12，求此正比例函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为PQ⊥y轴，垂足为点Q，所以 PQ长度就是点P的横坐标的绝对值，
由三角形面积可得：PQ ==8，所以．
所以此正比例函数的解析式为：．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P，
（1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的解析式；
（2）若点P是直线OP与线段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的解析式；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
3810000336550【答案】（1）；（2）或者．
【解析】（1）三角形△ABO的面积为：=24，设点P坐标为（x， y），
，可得=3，y=4．
因为点P在第二象限，所以P坐标为（-3，4），
所以．
（2）第一种情况：当△AOP的面积是△BOP面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，6），
，所以；
第二种情况，当△BOP的面积是△AOP的面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，2），
所以，所以．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
师生总结
正比例函数的图像与k的关系？性质与k又有什么关系？
常见的求正比例函数的解析式的方法有哪些？
随堂检测
下列图像中，是函数图像的是（ ）．
A
B
C
D
【难度】★
【答案】A
【解析】由函数概念可得，在自变量变化过程中，只有一个函数值与之对应．
【总结】考察函数的概念．
在函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．任意实数
【难度】★
【答案】C
【解析】根据被开方数非负，可得．
【总结】考察二次根式有意义的条件．
下列各点，不在函数图像上的是（ ）．
A．（1，） B．（3，-2） C．(，) D．（-6，4）
【难度】★
【答案】C
【解析】C中比例系数．
【总结】考察正比例函数的意义．
（1）若函数是正比例函数，则m的值是_________________；
（2）已知是正比例函数，且当x =2时y =3，则比例系数是_____________．
【难度】★
【答案】（1）-1；（2）．
【解析】（1）因为函数是正比例函数，所以，解得：；
（2）由，得：．
【总结】考察正比例函数的意义．
求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）且， ∴且．
【总结】考察求函数的定义域．
若，用含x的式子表示y；若，试求，，，的值．
【难度】★★
【答案】；=，=，，．
【解析】由解得；求，，，的值
即将x换成括号里的数或字母即可．
【总结】考察求函数的解析式以及求函数值．
已知正比例函数的值随自变量的增大而减小，求k的值及函数解析式．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】由，可得：，又因为，所以k=，所以函数解析式为：．
【总结】考察求正比例函数的解析式．
（1）已知成正比例，当x=3时，y=7，求y=9时，x的值；
（2）正比例函数的图像过A（1，a）、B（a+1，6），求函数的解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可得：x=；
（2）由，可得：a =2或者，所以比例系数，
所以函数解析式为：．
【总结】考察成正比例的相关练习以及求正比例函数的解析式．
已知，成正比例，成正比例．且当，当，求y关于x的函数关系式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，，则，
将与，代入得
，解得：，所以y关于x的函数关系式为：．
【总结】考察复合函数的解析式的求法．
已知正比例函数的图像过点．
若点，在图像上，求a、b的值；
过图像上一点P作y轴 的垂线，垂足为Q，试求三角形OPQ的面积．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）比例系数为，由，可得：，；
（2）因为该正比例函数经过第二、四象限，所以点P只能在第四象限，
设点P（x，），由，
得：，
所以三角形OPQ的面积为．
【总结】考察正比例函数的图像、解析式及面积相关练习．
P
A
B
C
D
在直角三角形ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，在CD上取一点P（不与C、D重合），设三角形APB的面积是y，CP的长为x，求y和x的函数关系式，并写出函数的定义域．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由直角三角形的面积，可得：
，
所以．
【总结】考察根据图形求面积的函数关系式．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=5，AD=7，BC=13，，P是一动点，沿AD、DC由A经D点向C点移动，设P点移动的路程是x．
当P在AD上运动的时候，设，求y与x之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；
当点P继续沿DC向C移动时，设，求y与x之间的函数关系式．
A
B
C
D
P
【难度】★★★
【答案】（1），图像如下；
（2）．
【解析】设梯形的高为h，
3727450276860 由，得h=4．
（1），
定义域为：；
图像如右图所示．
（2）由题可知：，，
点P将梯形的高分成两部分：和，
则，
，
所以
=
=．
【总结】考察根据图形求面积的函数关系式．
课后作业
三角形ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，P是AC边上一动点，点P不与A、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x，设，写出关于的函数关系式______________，自变量的取值范围是______________．
【难度】★
【答案】AB、BC、AC；AP、PC；．
【解析】，．
【总结】考察函数的相关概念．
下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．
正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长；
（3）； （4）；
（5）
【难度】★
【答案】（1）、（4）是函数关系．
【解析】（2）中长方形的面积和长宽乘积有关，与二者之和无关；
（3）一个x对应两个y值；
（5）无意义．
【总结】考察函数的概念．
填空：（1）已知，则a的值是_____________；
（2）已知___________．
【难度】★
【答案】（1）5；（2）．
【解析】（1）由题意，可得：，解得：；
（2）．
【总结】考察求函数值的相关练习，重点是对于的理解．
填空：（1）函数的定义域为______________；
函数的定义域为______________；
函数的定义域为________________．
【难度】★★
【答案】（1）一切实数；（2）且；（3）且．
【解析】（1）一切实数；
（2）由且，解得：且；
（3）由且，解得：且．
【总结】考察求函数的定义域．
成正比例，当x=2时，y=11，求y与x之间的函数关系．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
将x = 2，y =11代入，得：，解得：．
所以y与x之间的函数关系：．
【总结】考察求函数的解析式．
（1）已知直线是正比例函数，求mk的值；
（2）已知是正比例函数，求m的值；
（3）已知直线经过原点，且y的值随x的值的增大而减小，求k的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）0．
【解析】（1）因为函数是正比例函数，所以，解得：，所以；
（2）因为函数是正比例函数，所以可得：，解得：；
（3）由正比函数的性质可得：，解得：
【总结】考察正比例函数的概念和性质．
A
B
C
D
等腰钝角三角形ABC中，底边长为8，面积是S，底边上高AD为h，试求出S与h的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．
【难度】★★
【答案】；图像略．
【解析】．
【总结】考察根据图形求函数解析式，注意画本题的图像时对定义域的要求．
（1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3．5元，求买水笔余下的钱y与买水笔的数量x之间的函数关系式；
x
y
墙
（2）靠墙（墙长为18cm）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm，求养鸡场的一边长为y（cm）与另一边长x（cm）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2），定义域为：．
【解析】（1）；
（2），由，解得：．
【总结】考察求函数解析式及定义域．
已知直线过点（ ，3），A为图像上的一点，过点A向x轴引垂线，垂足为点B，
求函数的解析式；
在平面直角坐标系内画出函数的图像；
求点A、B的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）图略；
（3）A（，），B（，0）或者A（，），B（，0）．
【解析】（1）将点（ ，3）代入中，得：，所以函数解析式为：；
（2）图略；
（3）该直线经过第二、四象限，假设A在第二象限，坐标为（x，），
由，解得：，
则A在第二象限坐标为（，），B的坐标为（，0）；
同理A在第四象限时，A、B坐标分别为（，），（，0）．
【总结】考察求函数解析式及已知面积条件下求点的坐标．
已知正比例函数图像上的一点Q在第二象限，
（1）化简的值；
（2）若a的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点在不在函数图像上．
【难度】★★★
【答案】（1）3；（2），在．
【解析】点Q在第二象限，所以，，解得：
（1）原式=；
（2）假设比例系数为k，则， 由题意a是整数并且，可得：a=4，
所以，所以，所以点在函数图像上．
【总结】考察化简求值及根据题意求解析式并判断点是否在函数图像上．
已知正比例函数过点A（4，-2），点P在正比例函数图像上，B（0，4）且，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】（，）或（9，）．
【解析】假设比例系数为k，，正比例函数为，
第一种情况：点P在第二象限，设P（x，），
，，
=，，则点P坐标为（，）；
第二种情况：点P在第四象限，设P（x，），
=10=，x=9，则点P坐标为（9，）
【总结】考察正比例函数图像中的面积问题，注意本题有两种情况讨论．
内容分析
函数是描述变化过程中的数量关系的工具，我们本章将以研究数量问题为起点，以正比例函数和反比例函数为载体，学习函数的初步知识．本节课的主要内容是对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数及正比例的概念理解，难点是正比例函数的图象和性质．
知识结构
模块一： 函数的概念
知识精讲
函数的概念
（1）在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；
（2）在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量．函数用记号表示，表示时的函数值；
（3）表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
2．函数的定义域和函数值
（1）函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．
（2）函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．
例题解析
填空：
（1）在正方形的周长公式中，a是自变量，_______是________的函数，_____是常量；
（2）面积是的正方形地砖边长为（cm），S与之间的函数关系式是_________， 其中自变量是____________．
（3）圆的周长C与半径r之间的函数关系是______________，其中常量是__________，变量是____________．
【难度】★
【答案】（1），a，4； （2），； （3），，r和C．
【解析】函数的概念，变量和常量的理解．
【总结】考察函数的概念．
在匀速运动中，若用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么式子，下列说法中正确的是 （ ）
A．s、v、t三个量都是变量 B．s与v是变量，t是常量
C．v与t是变量，s是常量 D．s与t是变量，v是常量
【难度】★
【答案】D
【解析】在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量．匀
速运动中速度v不变．
【总结】考察函数中变量和常量的理解．
下列各式中，x是自变量，y表示对应的值，判断是否是的函数？为什么？
（1）； （2）；
x
1
2
3
4
y
1
1
2
2
y
1
2
3
4
x
1
1
2
2
（3） （4）
347980245110
（5）
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）是；（4）、（5）不是 ．
【解析】（4）、（5）中一个自变量对应两个不同的函数值．
【总结】考察函数的概念．
下列各式中，不是函数关系式的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】C中一个自变量对应两个不同的函数值．
【总结】考察函数的概念．
判断下列变量之间是不是函数关系，如果是，写出函数关系式，如果不是，说明理由：
长方形的宽a（cm）固定，其面积S与长b；
长方形的长a固定，面积S与周长c；
三角形一边上的高为4，三角形的面积y与这边长x；
等腰三角形顶角的度数x与底角的度数y．
【难度】★★
【答案】（1）是，；（2）是，；（3）是，；（4）是，．
【解析】（2）中，设宽为b，可得：，消去b，可得：，
当c变化时，S也随之变化，并且a是固定值，所以S是c的函数．
【总结】考察函数的概念．
填空：
函数，当x =___________，函数y的值等于0；
若函数的自变量x的取值范围是一切实数，则c的取值范围是________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），可得；
（2），所以．
【总结】考察函数值为0的情况以及求定义域的相关练习．
求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】函数定义域要注意分母不为0；被开方数非负；中底数不为0等情况．
【总结】考察求函数的定义域的几种情况．
将写成的形式，并求，
的值．
【难度】★★
【答案】，，，，．
【解析】，可得：，指的是当时所对应的函数值．
【总结】考察的形式下的函数值的表示方法．
A、B两地路程为160千米，若汽车以50千米/小时的速度从A地驶向B地，写出汽车距离B地的路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】汽车离A地距离为，所以
【总结】考察求简单的函数关系式．
已知水池的容量为100，每小时灌水量为Q，灌满水池所需时间t小时，求t关于Q的函数关系式，当每小时的灌水量为5时，灌满水池需多少时间?
【难度】★★
【答案】，20小时．
【解析】当每小时的灌水量为5时，小时．
【总结】考察根据题意列函数关系式并求值．
A
C
B
D
E
F
如图，△ABC与正方形BDEF，其中∠C=90°，AC=BC=BD=8，且BC与BD均在直线L上，将△ABC沿直线以2个单位/秒向右平移，设移动的时间为t，△ABC与正方形BDEF在移动的过程中重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出定义域?
【难度】★★
【答案】．
【解析】时，重合部分为直角梯形，
此时．
【总结】考察根据图形的运动情况分类求函数关系式．
已知等腰三角形周长为24cm，
若腰长为x，底边长为y，求y关于x的函数关系式及定义域；
若底边长为x，腰长为y，求y关于x的函数关系式及定义域．
【难度】★★★
【答案】（1），定义域：；（2），定义域：．
【解析】（1），由三角形两边之和大于第三边，得：，即，
所以，又，得：，所以．
（2）以及三角形两边之和大于第三边：，，，
又，所以．
【总结】考察等腰三角形中求函数关系式的两种情况．
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，BC = AC = 12，∠C = 90°，D、E分别是边BC、BA上的动点（不与端点重合），且DE⊥BC，设，将△BDE沿DE进行折叠后与梯形ACDE重叠部分的面积是y：
求y和x的函数关系式，并写出定义域；
当x为何值时，重叠部分的面积是△ABC面积的．
【难度】★★★
【答案】(1) ；
(2) 6或10．
【解析】(1) 当时，重叠部分面积始终是△BDE的面积，即，
当时，重叠部分为一梯形，；
(2) ，由；
由．
【总结】考察根据图形的运动情况求面积的表达式．
模块二 正比例函数
知识精讲
1．正比例函数的概念
(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．
(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式
2．正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；
(2)图像画法：列表、描点、连线．
3．正比例函数的性质
(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．
(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的
值则随着逐渐减小．例题解析
下列各变量成正比例函数关系的是（ ）
A．圆的面积与它的半径 B．长方形的面积一定时，长与宽
C．正方形的周长与边长 D．三角形面积和高
【难度】★
【答案】C
【解析】A中圆的面积与它的半径的平方成正比例函数关系；
B成反比例函数关系；
D不确定，还与底有关．
【总结】考察两变量成正比例函数关系的条件．
下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】把看成一整体，满足正比例函数的定义．
【总结】考察正比例函数的定义．
（1）已知函数是正比例函数，则m=_________；
（2）当a_________时，函数是正比例函数．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由 ，又；
（2）因为是正比例函数，所以．
【总结】考察正比例函数的定义．
（1）已知函数y与x成正比例关系，且当，当 _________；
（2）已知成正比例，且当，则y与x之间的函数关系式是__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）比例系数为，；
（2）比例系数为，，则．
【总结】考察正比例函数的定义的理解．
（1）若点B（b，-9）在函数 的图像上，则b = _________；
（2）若将点P（5，3）向下平移1个单位后，落在直线的图像上，
则k =_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2）P（5，3）向下平移1个单位坐标为P（5，2），
【总结】考察正比例函数的定义的理解及平移的知识．
（1）如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么m的取值范围是_________；
（2）函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为图像过二、四象限，所以，即；
（2）因为图像过一、三象限，所以，即．
【总结】考察正比例函数的图像．
（1）已知y与x之间的函数关系式是，那么y与x___________（填“是”或“不是”）正比例关系；
（2）已知，y与_____________成正比例关系，k=___________．
【难度】★★
【答案】（1）不是；（2），．
【解析】（1）不满足正比例函数的定义(是常数，)；
（2），y与成正比例关系，比例系数为．
【总结】考察成正比例及正比例函数的意义．
（1）已知成正比例，且当，求y与x的函数关系式；
（2）已知为正比例函数，求k的值及函数解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）常数，所以；
（2）因为是正比例函数，所以，并且，可得：，
所以函数解析式为：．
【总结】考察成正比例及正比例函数的意义．
若是正比例函数，又，当x取何值时．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为函数是正比例函数，所以，则，
所以．当时，则，解得：
【总结】考察正比例函数的意义及解一元一次不等式．
已知y是x的正比例函数，且当时，：
求出这个函数的解析式；
在直角坐标平面内，画出这个函数的图像；
如果点P（a，4）在这个函数图像上，求a的值；
试问：点关于原点对称的点B是否在这个图像上?
380047512700【难度】★★
【答案】（1）；（2）如图；（3），（4）在．
【解析】（1）比例系数，所以；
（3）； （4）在这个函数图像上．
【总结】考察正比例函数的解析式相关练习．
已知正比例函数的图像过第四象限且过和两点，求此正比例函数的解析式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由，可得：，因为图像经过第四象限，所以，所以，
故此正比例函数的解析式为：．
【总结】考察正比例函数的解析式．
点燃的蜡烛，缩短的长度按照与时间成正比例缩短，一支长15cm的蜡烛，点燃3分钟后，缩短1.2cm，设蜡烛点燃x分钟后，剩余长度y cm ，求y与x的函数解析式及x的取值范围．
【难度】★★
【答案】，定义域为：．
【解析】，由，得：，所以．
【总结】考察正比例函数的解析式．
已知三角形ABC的底边AB的长为3，AB边上的高为x，面积为y，
2857500153670写出y和x之间的函数关系式；
画出函数的图像．
【难度】★★
【答案】（1），（2）如图．
【解析】（1）；
（2）如图．
【总结】考察正比例函数的解析式及作图，本题注意定义域为x>0．
（1）已知直线是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义，求a的取值范围；
（2）已知函数的值随x的增大而减小，且函数的值随着x的增大而增大，求m的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题目可得，解得：；
（2）由正比例函数的性质可得：，解得：．
【总结】考察正比例函数的性质．
正比例函数的解析式为，
当时，y的值随x值的增大是增大还是减小？
若正比例函数的图像经过第一、三象限，k的取值范围是什么？
【难度】★★
【答案】（1）减少；（2）或．
【解析】（1）当时，，；
（2）因为图像过一、三想想，所以，解得：或．
【总结】考察正比例函数的性质．
已知正比例函数的自变量增加4时，对应的函数值增加6，
求这个函数解析式； （2）当时，求y的值；
（3） 当时，求x的值； （4）当时，求y的取值范围；
（5） 当时，求x的取值范围．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）；（5）．
【解析】（1）设此函数解析式为(是常数， )，，可得：；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；（将端点值分别代入即可）
（5）当时，（将端点值分别代入即可）．
【总结】考察正比例函数的解析式及性质相关练习．
m取何值时，y关于x的函数是正比例函数．
【难度】★★
【答案】或0．
【解析】①当，即时，函数解析式为：，是正比例函数；
②当，即时，函数解析式为：，是正比例函数，
综上，当m的值为或0时，函数是正比例函数．
【总结】考察正比例函数的概念，注意两种情况的分类讨论．
已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=12，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与三角形ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为点H，设CE = x，BF = y，求y与x之间的函数关系式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由题意可得：(A.S.A)，所以，
可得：，所以．
【总结】考察根据图形找等量关系得出函数关系式．
已知一正比例函数图像上的一点P的纵坐标是3，作PQ⊥y轴，垂足为点Q，三角形OPQ的面积是12，求此正比例函数的解析式．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】因为PQ⊥y轴，垂足为点Q，所以 PQ长度就是点P的横坐标的绝对值，
由三角形面积可得：PQ ==8，所以．
所以此正比例函数的解析式为：．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
如图，在直角坐标系中，OA = 6，OB =8，直线OP与线段AB相交于点P，
（1） 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的解析式；
（2）若点P是直线OP与线段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的3倍？若存在，求直线OP的解析式；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
3810000336550【答案】（1）；（2）或者．
【解析】（1）三角形△ABO的面积为：=24，设点P坐标为（x， y），
，可得=3，y=4．
因为点P在第二象限，所以P坐标为（-3，4），
所以．
（2）第一种情况：当△AOP的面积是△BOP面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，6），
，所以；
第二种情况，当△BOP的面积是△AOP的面积的三倍时，
，，可得点P的坐标为（，2），
所以，所以．
【总结】考察正比例函数图像与坐标轴面积相关练习．
师生总结
正比例函数的图像与k的关系？性质与k又有什么关系？
常见的求正比例函数的解析式的方法有哪些？
随堂检测
下列图像中，是函数图像的是（ ）．
A
B
C
D
【难度】★
【答案】A
【解析】由函数概念可得，在自变量变化过程中，只有一个函数值与之对应．
【总结】考察函数的概念．
在函数中，自变量x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．任意实数
【难度】★
【答案】C
【解析】根据被开方数非负，可得．
【总结】考察二次根式有意义的条件．
下列各点，不在函数图像上的是（ ）．
A．（1，） B．（3，-2） C．(，) D．（-6，4）
【难度】★
【答案】C
【解析】C中比例系数．
【总结】考察正比例函数的意义．
（1）若函数是正比例函数，则m的值是_________________；
（2）已知是正比例函数，且当x =2时y =3，则比例系数是_____________．
【难度】★
【答案】（1）-1；（2）．
【解析】（1）因为函数是正比例函数，所以，解得：；
（2）由，得：．
【总结】考察正比例函数的意义．
求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且．
【解析】（1）； （2）；
（3）； （4）且， ∴且．
【总结】考察求函数的定义域．
若，用含x的式子表示y；若，试求，，，的值．
【难度】★★
【答案】；=，=，，．
【解析】由解得；求，，，的值
即将x换成括号里的数或字母即可．
【总结】考察求函数的解析式以及求函数值．
已知正比例函数的值随自变量的增大而减小，求k的值及函数解析式．
【难度】★★
【答案】，．
【解析】由，可得：，又因为，所以k=，所以函数解析式为：．
【总结】考察求正比例函数的解析式．
（1）已知成正比例，当x=3时，y=7，求y=9时，x的值；
（2）正比例函数的图像过A（1，a）、B（a+1，6），求函数的解析式．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可得：x=；
（2）由，可得：a =2或者，所以比例系数，
所以函数解析式为：．
【总结】考察成正比例的相关练习以及求正比例函数的解析式．
已知，成正比例，成正比例．且当，当，求y关于x的函数关系式．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，，则，
将与，代入得
，解得：，所以y关于x的函数关系式为：．
【总结】考察复合函数的解析式的求法．
已知正比例函数的图像过点．
若点，在图像上，求a、b的值；
过图像上一点P作y轴 的垂线，垂足为Q，试求三角形OPQ的面积．
【难度】★★
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）比例系数为，由，可得：，；
（2）因为该正比例函数经过第二、四象限，所以点P只能在第四象限，
设点P（x，），由，
得：，
所以三角形OPQ的面积为．
【总结】考察正比例函数的图像、解析式及面积相关练习．
P
A
B
C
D
在直角三角形ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，在CD上取一点P（不与C、D重合），设三角形APB的面积是y，CP的长为x，求y和x的函数关系式，并写出函数的定义域．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由直角三角形的面积，可得：
，
所以．
【总结】考察根据图形求面积的函数关系式．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD=5，AD=7，BC=13，，P是一动点，沿AD、DC由A经D点向C点移动，设P点移动的路程是x．
当P在AD上运动的时候，设，求y与x之间的函数关系式及定义域，并画出函数图像；
当点P继续沿DC向C移动时，设，求y与x之间的函数关系式．
A
B
C
D
P
【难度】★★★
【答案】（1），图像如下；
（2）．
【解析】设梯形的高为h，
3727450276860 由，得h=4．
（1），
定义域为：；
图像如右图所示．
（2）由题可知：，，
点P将梯形的高分成两部分：和，
则，
，
所以
=
=．
【总结】考察根据图形求面积的函数关系式．
课后作业
三角形ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，P是AC边上一动点，点P不与A、C重合，则该图中线段____________是常量，线段_______________是变量；若AP=x，设，写出关于的函数关系式______________，自变量的取值范围是______________．
【难度】★
【答案】AB、BC、AC；AP、PC；．
【解析】，．
【总结】考察函数的相关概念．
下列变量之间的变化是函数关系的是______________（只填序号）．
正方形的面积和它的周长； （2）长方形的面积和它的周长；
（3）； （4）；
（5）
【难度】★
【答案】（1）、（4）是函数关系．
【解析】（2）中长方形的面积和长宽乘积有关，与二者之和无关；
（3）一个x对应两个y值；
（5）无意义．
【总结】考察函数的概念．
填空：（1）已知，则a的值是_____________；
（2）已知___________．
【难度】★
【答案】（1）5；（2）．
【解析】（1）由题意，可得：，解得：；
（2）．
【总结】考察求函数值的相关练习，重点是对于的理解．
填空：（1）函数的定义域为______________；
函数的定义域为______________；
函数的定义域为________________．
【难度】★★
【答案】（1）一切实数；（2）且；（3）且．
【解析】（1）一切实数；
（2）由且，解得：且；
（3）由且，解得：且．
【总结】考察求函数的定义域．
成正比例，当x=2时，y=11，求y与x之间的函数关系．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
将x = 2，y =11代入，得：，解得：．
所以y与x之间的函数关系：．
【总结】考察求函数的解析式．
（1）已知直线是正比例函数，求mk的值；
（2）已知是正比例函数，求m的值；
（3）已知直线经过原点，且y的值随x的值的增大而减小，求k的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）0．
【解析】（1）因为函数是正比例函数，所以，解得：，所以；
（2）因为函数是正比例函数，所以可得：，解得：；
（3）由正比函数的性质可得：，解得：
【总结】考察正比例函数的概念和性质．
A
B
C
D
等腰钝角三角形ABC中，底边长为8，面积是S，底边上高AD为h，试求出S与h的函数关系式及函数的定义域，并画出函数的图像．
【难度】★★
【答案】；图像略．
【解析】．
【总结】考察根据图形求函数解析式，注意画本题的图像时对定义域的要求．
（1）某同学用20元钱买水笔，其单价为3．5元，求买水笔余下的钱y与买水笔的数量x之间的函数关系式；
x
y
墙
（2）靠墙（墙长为18cm）的地方围成一个矩形的养鸡场，另三边用篱笆围成，如果竹篱笆总长为35cm，求养鸡场的一边长为y（cm）与另一边长x（cm）之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2），定义域为：．
【解析】（1）；
（2），由，解得：．
【总结】考察求函数解析式及定义域．
已知直线过点（ ，3），A为图像上的一点，过点A向x轴引垂线，垂足为点B，
求函数的解析式；
在平面直角坐标系内画出函数的图像；
求点A、B的坐标．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）图略；
（3）A（，），B（，0）或者A（，），B（，0）．
【解析】（1）将点（ ，3）代入中，得：，所以函数解析式为：；
（2）图略；
（3）该直线经过第二、四象限，假设A在第二象限，坐标为（x，），
由，解得：，
则A在第二象限坐标为（，），B的坐标为（，0）；
同理A在第四象限时，A、B坐标分别为（，），（，0）．
【总结】考察求函数解析式及已知面积条件下求点的坐标．
已知正比例函数图像上的一点Q在第二象限，
（1）化简的值；
（2）若a的值是整数，求正比例函数的解析式，并判断点在不在函数图像上．
【难度】★★★
【答案】（1）3；（2），在．
【解析】点Q在第二象限，所以，，解得：
（1）原式=；
（2）假设比例系数为k，则， 由题意a是整数并且，可得：a=4，
所以，所以，所以点在函数图像上．
【总结】考察化简求值及根据题意求解析式并判断点是否在函数图像上．
已知正比例函数过点A（4，-2），点P在正比例函数图像上，B（0，4）且，求点P的坐标．
【难度】★★★
【答案】（，）或（9，）．
【解析】假设比例系数为k，，正比例函数为，
第一种情况：点P在第二象限，设P（x，），
，，
=，，则点P坐标为（，）；
第二种情况：点P在第四象限，设P（x，），
=10=，x=9，则点P坐标为（9，）
【总结】考察正比例函数图像中的面积问题，注意本题有两种情况讨论．