沪教版数学八年级秋季班-第15讲：举例证明（二）学案教师版(1)

1333500139700几何证明（二）
几何证明（二）
-247650442595内容分析
内容分析




命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．
-371475133985 知识结构
知识结构

865978147320 模块一：证明垂直
模块一：证明垂直

-217170335280知识精讲
知识精讲



证明垂直：
证明两直线垂直的一般方法为：
通过夹角是90°；
垂直的传递性；
等腰三角形底边上三线合一．

-12065048895例题解析
例题解析
以下依据不能得到两直线垂直的是（ ）．
A．夹角是90度；
B．邻补角的角平分线互相垂直；
C．等腰三角形底边上的中线垂直于底边；
D．同旁内角的角平分线互相垂直．
【难度】★
【答案】D
【解析】D正确答案为平行线同旁内角的角平分线互相垂直
【总结】主要考查证明垂直的方法．
如图，AB =AC，D是BC上一点，当 ________或___________时，AD⊥BC．
3609461100965A
B
C
D
A
B
C
D
【难度】★
【答案】；．
【解析】等腰三角形的底边上的高线、顶角的角平分线
和底边上的中线三线合一．
【总结】考察等腰三角形的三线合一的性质．
如例2图，在△ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，则下列结论不正确的
是（ ）．
A．；
B．；
C．的平分线；
D．是等边三角形．
【难度】★
【答案】D
【解析】由可知两个三角形全等，则可得A、B、C正确．
【总结】考察三角形全等的判定．
3448050278765A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
E
H
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，在高AD上截取DH=DC，联结BH并延长交AC于点E，求证：
BH =AC；
BH⊥AC．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】（1）∵，，∴．
∵，
∴，∴，．
（2）∵，∴，
∴，
∴BH⊥AC．
【总结】考察全等三角形的判定及其性质，注意等腰直角三角形的性质的运用．
如图，点D、E、F在BC上，∠B =∠C，∠1 =∠2，BD=EC，F是DE的中点．
3156207101223A
B
C
D
2
E
F
1
A
B
C
D
2
E
F
1
求证：AF⊥BC．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵∠B =∠C，∠1 =∠2，BD=EC，
∴，
∴．
∵F是DE的中点，
∴AF⊥BC．
【总结】考察三角形全等的判定以及等腰三角形的三线合一．
3759200331470A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CF分别是AC、AB边上的高，BD与CF交于点O，延长AO交BC于点E，求证：AE⊥EC．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】∵，，=90°
∴
∴
∵AB=AC，∴
∴，∴
∵，，
∴
∴
∵AB=AC，
∴AE⊥EC．
【总结】考察三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的三线合一．
3435350349885A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明．
【难度】★★★
【答案】，；证明过程见解析．
【解析】∵∠DAB=∠EAC=90°，
∴，
即
∵
∴
∴，
∵，
∴，即．
【总结】考察全等三角形的判定．两个等腰直角三角形共直角顶点则可产生全等三角形．



如图，三角形ABC中，AC = BC，∠ACB =90°，AD是BC边的中线，CE⊥AD ，BF⊥BC，CF与AB、BF分别相交于点E、F，联结DE，求证：∠1 =∠2．
304101563500A
B
C
D
E
F
1
2
A
B
C
D
E
F
1
2
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】∵，
∴
∵，，
∴，∴，
∵，∴
∵AC = BC，∠ACB =90°，∴
∵，
∵，∴
∵，∴
【总结】考察全等三角形判定以及等腰直角三角形的性质．

533400190500模块二：证明边、角关系
模块二：证明边、角关系

-15113028575知识精讲
知识精讲
证明边角关系的常用方法：
利用等腰三角形的性质；
利用三角形全等的性质得出边或者角的关系，得出要求解的边角关系；
利用两次全等得出结论．
-14097076835例题解析
例题解析

具备下列条件的两个三角形中，一定全等的是（ ）．
A．有一边对应相等的等腰三角形；
B．有两边对应相等的等腰三角形；
C．有一边相等的等边三角形；
D．有两边对应相等的两个直角三角形．
【难度】★
【答案】C
【解析】A、B、D不确定是否是对应边．
【总结】考察全等三角形的判定方法．
2807970238125A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠B+∠C =_________．
【难度】★
【答案】100°
【解析】∵若∠BAE =120°，∠BAD =40°，
∴．
∵△ABC≌△ADE，∴
∴．
【总结】考察全等三角形的性质及三角形的内角和．
3044190290195A
B
C
D
E
P
F
A
B
C
D
E
P
F
如图，P是∠BAC平分线AD上的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，下列结论中不正确的是（ ）．
A．PE=PF；
B．AE=AF；
C．△APE≌△APF；
D．AP=PE+PF．
【难度】★★
【答案】D
【解析】由可知：，
则可知A、B、C正确．则可知D不正确．
【总结】考察全等三角形的判定．
3046095297180A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
已知，如图，E是等腰△ABC的腰AC上任意一点，DE⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F．
求证：△AEF为等腰三角形．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】∵△ABC是等腰三角形， ∴
∵DE⊥BC，∴，
∴， 又∵，
∴，
∴，即△AEF为等腰三角形．
【总结】考察角度之间关系的转换以及等腰三角形的性质和判定．
3296406309934A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知，如图E是四边形ABCD的边AD上的一点，且△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：BE =AD．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，
∴，即
∵，，
∴，∴
【总结】考察三角形全等的判定以及等边三角形的性质．
3584061291248A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
已知，如图，在△ABC中，∠DEF=∠B=∠C，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD =CE．
求证：DE =EF．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，，
，∴
∵，，
∴，∴
【总结】本题主要考察三角形的外角性质以及三角形全等的判定．
已知：如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC．
求证：∠ABE=∠C;
3049270211455A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
若∠BAE的平分线AF交BF于点F，FD∥BC交AC于点D，设AB=5，AC=8，求DC的长 ．
【难度】★★
【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】（1）∵，
，
∴．
（2）∵，∴
由（1）可得：，∴
∵，，
∴， ∴，
∴．
【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用．
已知：如图，△ABC是等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与MA的延长线交于点Q，求∠BQM的大小．
373380029845M
A
B
C
N
Q
M
A
B
C
N
Q
【难度】★★
【答案】60°．
【解析】∵，，
∴
∴
∴．
【总结】考察三角形全等的判定和性质以及三角形的外角的
性质的综合运用．
在△ABC中，∠ABC =∠C，BD⊥AC于D，求证：∠A =2∠DBC．
33426405651500【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过A作AE⊥BC，垂足为E．
∵，，
∴．∵∠ABC =∠C，∴
∵，∴，∴∠A =2∠DBC．
【总结】考察等腰三角形的性质的运用．
已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC．
求证：AB+BD = AC．32607395128800
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】在AC上截取一点E，使得AE=AB，联结DE．
∵，，
∴
∴，
∵，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵，，
∴AB+BD = AC．
【总结】考察截长补短辅助线的添法以及三角形外角性质和三角形全等的性质的综合运用．
3041015390525A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知，在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD≠CE，试问：
（1）AD与CE的大小关系如何?并证明；
（2）DE、BD、CE的数量关系如何?并证明．
【难度】★★
【答案】（1）相等，证明见解析；
（2），证明见解析．
【解析】（1）∵，=90°
∴． ∵，，
∴， ∴．
（2）．
由（1）可得：，∵，，，
∴
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．
2932430436245A
B
C
D
E
M
N
3
4
2
1
A
B
C
D
E
M
N
3
4
2
1
已知A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】∵，
∴，
即．
∵，，
∴，∴，
∵M、N分别是AD、BE的中点，，∴．
∵，，，∴，
∴，
∵，∴，即
∵，∴△CMN是等边三角形．
【总结】考察三角形全等三角形判定和性质以及等边三角形的性质与判定的综合运用．
如图，在△ABC中，°，点D在AC上且．
求证：BD平分．
319468515176500【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】在BC上截取一点E使得BE=AB，联结ED、AE．
∵°，∴．
∵，，∴
∵，∴
∴，∴
∵， ∴
∴，即，∴．
∵，，，∴．
∴，即BD平分．
【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形全等判定的综合运用．
342392024066500如图，已知，°，BD平分．求证：．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】在BC上截取一点E使得BE=BD，
截取一点F使得BF=AB，联结ED、DF．
∵°，∴，
∵BD平分，∴
∵，∴
∵，∴，∴，∴
∵，，，∴
∴，，∴．
∵，∴，∴
∵，∴
∵，∴
∵，，
∴
【总结】本题综合性较强，主要考查截长补短辅助线的添加以及等腰三角形性质的综合运用．
已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB是等边三角形，点C在△ADB的内部，DE⊥AC交直线AC于点E．
求证：DE=CE；
若点C在△ADB外部，DE=CE的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如成立，请证明．
33115256540500【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）联结DC并延长交AB于F．
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明方法同（1）一样．
【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质的综合运用．
804545-174625模块三：文字题的证明
模块三：文字题的证明
-15113028575知识精讲
知识精讲
文字题的证明解决的步骤是：
已知（条件）．不要漏写、多写，尽量多用几何符号表示；
求证（结论）．不能写错，画图要精准；
证明．


-6731059690例题解析
例题解析
求证：三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等 ．
【难度】★★
【答案】见解析．
352552029781500【解析】如图，已知△ABC中，D为BC的中点，过C作AD的垂线，垂足为F，过B作 AD的垂线，垂足为E．
求证：CF=BE．
证明：∵，，
∴，∴CF=BE．
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．






求证：等腰三角形的顶点到两腰中线的距离相等．
【难度】★★
【答案】见解析．
364299542100500【解析】如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，E为AB的中点，过A作CE的 垂线，垂足为N，过A作BD的垂线，垂足为M．
求证：AM=AN
证明：∵，，
∴，∴
∵，，
∴，∴AM=AN
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．

求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
【难度】★★
【答案】见解析．
366903032385000【解析】如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
求证：
证明：联结AD
∵，，
∴
∵，∴
【总结】本题主要考察利用面积相等证明线段相等的方法．



求证：有两角及夹边上的高对应相等的两个三角形全等．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】如图，在△ABC和△DEF中，，，CM是AB边上的高，NF是 DE边上的高，且．
求证：．

证明：∵，，
∴，∴
同理可证：，∴
∴，∵，
∴．
【总结】本题主要考察全等三角形的判定．
-133350111760随堂检测
随堂检测

381063539370A
B
C
D
A
B
C
D
如图，在△ABC中，∠B=∠C，下列结论正确的是（ ）．
A． B．AB=AC
C．AD是△ACD的高 D．△ABC是等边三角形
【难度】★
【答案】B
【解析】因为∠B=∠C，所以AB=AC，由于不知点D是否为中点，
因此其余选项都不对．
【总结】考察等腰三角形的等角对等边的性质的运用．



如习题1图所示AB =AC，D为BC上一点，若AD⊥BC，则BD =______________，∠BAD =_____________．
【难度】★
【答案】，
【解析】等腰三角形三线合一性质可得答案．
【总结】考察等腰三角形三线合一性质．


已知：如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC. DE交AB于点F，求证：AF=BF．
345494078902A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵AD=BC，AB=DC，
∴
∴，∴
∴
∵，AD=BC，∴
∵，，
∴，∴AF=BF．
【总结】考察全等三角形的判定和性质以及平行线的性质与判定的综合运用．

3584575421005A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
△ABC中，AB=AC，E在BC上，D在AE上（不与A重合），则下列说法中正确的有（ ）．
①若E为BC的中点，则有BD=CD;
②若BD=CD，则E为BC中点；
③若AE⊥BC，则有BD=CD；
④若BD=CD，则AE⊥BC．
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】D
【解析】可由等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质得四个选项全对．
【总结】本题主要考察等腰三角形的三线合一的性质．


3448050457200A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB上一点，AE⊥CD于点E，BF交CD的延长线于点F，且CF=AE．求证：BF⊥DC．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，，
∴．
∵AC=BC，，CF=AE ，
∴
∴，即BF⊥DC．
【总结】考察全等三角形的判定和性质以及证明两直线垂直的方法．


3201670354330A
C
B
D
E
F
G
O
A
C
B
D
E
F
G
O
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，过点E作EF⊥AD于点O，交BC的延长线于点F，联结AF，求证：AF=DF．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵AD平分∠BAC，DE∥AC， ∴
∵EF⊥AD，∴
∵，，
∴，∴AF=DF．
【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的三线合一．
已知：如图，∠D =∠E，DN =CN =EM =AM，求证：点B是AC的中点．
3356610128270NG
M
A
B
C
D
E
NG
M
A
B
C
D
E
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵∠D =∠E，，，
∴，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，即点B是AC的中点．
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．


有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 .
【难度】★★
【答案】见解析．
287274038544500【解析】如图，在△ABC和△DEF中，，，M为BC的中点，N为EF 的中点，且．
求证：．
证明：分别延长AM、DN到点P和点Q，使，
，连接、．
∵M为BC的中点， ∴．
∵，，
∴．
∴，．
同理，可证：，
∴，．
∵， ∴，．
又∵， ∴， ∴，．
∴， ∴
∵，， ∴．
【总结】本题一方面考察中线倍长辅助线的添加，另一方面考查全等三角形的判定和性质的综合运用．


已知，如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB+BD = CD，求证：∠B =2∠C．
304228523114000【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】在CD上截取一点E使得DE=DB，联结AE．
∵，，
∴
∴，
∵AB+BD = CD，DE=DB，CE+ED = CD，
∴， ∵，∴
∴．
∴
∵，∴∠B =2∠C．
【总结】考察截长补短的辅助线的添法以及三角形外角性质的综合运用．
如图，已知，BD平分且，求证：．
【难度】★★
327342512128500【答案】见解析．
【解析】在BC上截取一点E使得BE=AB，联结ED．
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
设，∴
∴，∴
∵，∴
∵，
∴，则
∴
【总结】考察截长补短辅助线的添法以及三角形内角和的综合运用．
如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠ACB=90°，D是BC边上一点，CE⊥AD，BF⊥BC，CE与AB、BF分别相交于点E、F，联结DE，且有∠1=∠2．
求证：D是BC的中点．
359346580645A
B
C
D
E
F
1
2
A
B
C
D
E
F
1
2
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】∵，，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∵，∴
∵AC = BC，∠ACB =90°，∴
∵，
∵，
∴，∴
∵，∴，即D是BC的中点．
【总结】本题综合性较强，要多次利用全等证明线段相等．
已知：如图，△ABC的高AD所在的直线与高BE所在的直线相交于点F
如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC、交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD；
如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC、交直线AB于点G， FG、DC、AD之间的数量关系是___________，并证明．
【难度】★★★
3446118167640A
B
C
D
E
F
G
图1
A
B
C
D
E
F
G
图1
【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析．
【解析】（1）∵∠ABC=45°，
∴，
∵FG∥BC，∴， ∴
∵，，
∴
∵，，
∴∴，
∵，，， ∴FG+DC=AD．
360108562230A
B
C
D
E
F
G
图2
A
B
C
D
E
F
G
图2
．
∵∠ABC=135°，
∴，
∵FG∥BC，∴，
∴
∵，
∴
∵，，
∴
∴
∵，，
∴．
【总结】考察全等三角形的性质和判定以及等腰直角三角形性质的综合运用．
-18415080010课后作业
课后作业
以下命题的逆命题是真命题的是（ ）．
A．等边三角形的三个角相等；
B．同角的补角相等；
C．在三角形中，钝角作对的边长最长；
D．同位角相等．
【难度】★
【答案】A
【解析】A的逆命题为：三个内角相等的三角形为等边三角形，为真命题；
B的逆命题为：两个角的补角相等，则这两个角为同一个角，为假命题；
C的逆命题为：在三角形中，边长最长的边所对的角为钝角，为假命题；
D的逆命题为：两个相等的角为同位角，为假命题．
【总结】考察逆命题的概念以及对真假命题的判定．

已知：在△ABC中，BD是AC上的中线，BD =AC．
求证：△ABC是直角三角形．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】∵BD是AC上的中线，BD =AC． ∴
∴．
∵
∴，即
∴△ABC是直角三角形．
【总结】本题主要考察三角形内角和的运用，另外这个命题也可以在作为判定一个三角形是直角三角形的方法．


已知：如图，AC =BD，AB = CD．求证：OB=OC．
356060775443A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】联结AD．
∵AD=AD，AC =BD，AB = CD， ∴
∴， ∵，，AB = CD
∴， ∴．
【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用．


等腰△ABC中，AB=AC，取腰AC上一点E，取AB的反向延长线上的一点D，使AE =AD，联结DE交BC于F．
求证：DF⊥BC．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵AB=AC，∴， ∵AE =AD，∴．
∵，∴，
∵，， ∴．
∵，∴，即DF⊥BC．
【总结】考察等腰三角形的性质的综合运用．
3790964185050A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知，如图，AE =AC，BE =BD，∠EAD =∠CAD. 求证：∠ABC=2∠C．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵AE =AC，AD =AD，∠EAD =∠CAD.
∴， ∴
∵BE =BD，
∴
∴
∵，
∴∠ABC=2∠C．
【总结】考察三角形的外角性质和三角形全等的判定和性质的综合运用．




求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC延长线上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，
33216857302500CG⊥AB，
求证：．
证明：联结AD
∵，，

∴
∵，∴．
【总结】本题主要考察利用面积相等证明线段相等，这是一种
常见的证明方法，注意归纳总结．





如图，在△ABC中，°，点D在AC上且BD平分．
求证：．333953312802700
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】在BC上截取一点E使得BE=AB，联结ED、AE
∵°，
∴
∵，，
∴，∴
∴， ∵，∴．
∴， ∵，，
∴．
【总结】考察截长补短辅助线的做法以及三角形内角和和等腰三角形性质的综合运用．
3571240330200A
B
C
D
Q
P
O
A
B
C
D
Q
P
O
已知：如图，在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，点O在线段AD上，延长CO交AB于点Q，延长BO交AC于点P，求证：OP =OQ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，，
∴，∴．
∵，∴
∴
∵，，
∴，∴．
∵AB =AC，AD⊥BC，
∴
∵，，
∴
∴．
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．


3260090468630A
B
C
D
E
Q
P
A
B
C
D
E
Q
P
如图，CE、BD 分别是△ABC的边AB、AC上的高，点P在BD的延长线上，
BP =AC，点Q在CE上，CQ =AB．
求证：（1）AP =AQ； （2）AP⊥AQ．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，，
∴
∵BP =AC，，CQ =AB
∴
∴，
∵
∴，即AP⊥AQ
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．
已知△ABC中，∠BAC=90°，AB =2AC，AD平分∠BAC，AD =BD．
求证：CD⊥AC．
3152045-1081A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过D作DE⊥AB．
∵∠BAC=90°，AD平分∠BAC
∴
∵DE⊥AB，AD =BD， ∴E是AB中点，即．
∵DE⊥AB，， ∴，
∴， ∴．
∵， ∴．
∵AB =2AC，∴
∵，，
∴
∴，即CD⊥AC．
【总结】考察全等三角形的判定和性质及等角对等边性质的综合运用．
操作：在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角形板绕P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、E两点，如图（1）（2）（3）是旋转三角板所得到的图形中的3种情况，研究：
三角形绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?结合图形3说明理由．
3288665166370A
B
C
D
E
P
图2
A
B
C
D
E
P
图1
图3
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
P
图2
A
B
C
D
E
P
图1
图3
A
B
C
D
E
P
【难度】★★★
【答案】相等，证明见解析．
【解析】．
∵AC=BC，∠C=90°，P为AB的中点
∴CP=PB，CP⊥AB，
∵，
∴
∵，CP=PB，
∴
∴
【总结】考察全等三角形的判定和性质．

已知：如图所示在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，CD =BE，DE交BC于点P．
判断DP与EP有怎样的数量关系，并证明你的结论；
设等边三角形ABC的边长为a，当D为AC的中点时，求BP的长．
3119336190040C
A
B
D
E
P
F
C
A
B
D
E
P
F
【难度】★★★
【答案】（1），证明见解析；（2）．
【解析】（1）．
过D作DF∥AB交CB于F
∵等边三角形ABC，DF∥AB
∴△CDF是等边三角形．
∴
∵CD =BE，∴
∵，，
∴
∴
由（1）可得：．
∵D为AC的中点， ∴
∵，， ∴
∴．
【总结】考察全等三角形的判定和性质以及等边三角形性质的综合运用．