沪教版数学八年级秋季班-第17讲：垂直平分线、角平分线及轨迹学案-教师版(1)

1333500139700辅助线的添加
辅助线的添加
-247650442595内容分析
内容分析




当几何题难以证明或者比较繁时，可以考虑添加辅助线，帮助解题，添加辅助线的目的是把分散的条件集中到一个三角形或者两个三角形中，构造出全等三角形或者等腰三角形，运用它们的判定或者性质解决问题，本节主要是对几何证明做一总结和拓展．
-371475133985 知识结构
知识结构


386080147320模块一：根据图形补形添线
模块一：根据图形补形添线

-217170335280知识精讲
知识精讲



常用的辅助线有：
联结两个点得到线段；
过某一点做平行线或者垂线；
延长某一条线段，构造特殊的三角形．



-12065048895例题解析
例题解析
3808095346710A
B
C
D
A
B
C
D
如图，已知AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD．下列添加辅助线不正确的是
（ ）．
A．延长BA、CD交于点E；
B．过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F；
C．联结AC、BD；
D．过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F．
【难度】★
【答案】C
【解析】A、B、D都能够通过全等三角形得到结论．
【总结】考察三角形全等的判定．
3344694102140B
C
D
A
B
C
D
A
如图，AB=AD，BC=CD，求证：∠ABC=∠ADC．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】联结AC
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC
∴
∴∠ABC=∠ADC．
【总结】考察三角形全等的判定及全等三角形的性质．
3837562175098A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
求证：∠BCD=∠EDC．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】联结AC、AD
∵AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，
∴
∴，
∴
∵
∴∠BCD=∠EDC．
【总结】考察三角形全等的判定和性质．
348088158582A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，AB∥EF，∠B+∠C+∠D+∠E=____________．
【难度】★★
【答案】540°
【解析】联结BD、BE
∵AB∥EF，∴
∴∠B+∠C+∠D+∠E




【总结】考察平行线的性质及三角形内角和的性质定理．
3616987337104A
B
C
D
E
F
M
A
B
C
D
E
F
M
如图，△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长 线于点F，且BE=CF．求证：AE=AF．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过C作CM∥AB交EF于M
∵CM∥AB，∴
∵，，
∴
∴
∵BE=CF，∴CM=CF
∴
∵CM∥AB
∴
∴
∴AE=AF．
【总结】考察平行线辅助线的添加以及平行线的性质和全等三角形性质的综合运用．

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE．
325501036830A
B
C
D
E
F
0A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】延长BA、CE交于点F
∵，
∴
∵，，AB=AC，
∴
∴
∵，，EB=BE，
∴
∴，即
∵，∴BD=2CE
【总结】考察等腰三角形的性质．
如图，在△ABC中，CE是∠ACB的平分线，AF⊥CE于点F，
311074411349A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
F
D
求证：∠CAF=∠EAF+∠ABC．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】延长AF交BC于D
∵，，CF=CF，
∴
∴
∵
∴∠CAF=∠EAF+∠ABC．
【总结】考察等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用．
如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且C是AE的中点，
3229802227954A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
E
M
∠B+∠D=180°，求证：AB=DE．
【难度】★★
【答案】略．
【解析】过A作AM∥ED交BD于M
∵AM∥ED，∴
∵，，
∴
∴
∵AM∥ED，∴
∵∠B+∠D=180°，∴∠B+∠AMC=180°，
∵∠AMB+∠AMC=180°，∴
∴
∵，
∴AB=DE．
【总结】考察平行线辅助线的做法．
两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并求证．
324093242153A
B
C
D
E
M
A
B
C
D
E
M
【难度】★★
【答案】△EMC是等腰直角三角形，证明见解析．
【解析】△EMC是等腰直角三角形，联结AM
∵，
∴
∵
∴
∴△DAB是等腰直角三角形
∵M是BD的中点
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∴△EMC是等腰直角三角形．
【总结】考察三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定．



如图，△ABC中，BD、CE相交于点O，∠1=∠2=∠A，求证：BE=CD．
304038088900A
B
C
D
E
F
O
1
2
A
B
C
D
E
F
O
1
2
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】延长CE到F，使得OF=OD，联结BF
∵∠1=∠2，∴
又∵，OF=OD，
∴
∴，
∵，
∴
∵，∴，∴．
∵，∴BE=CD．
【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用，注意辅助线的合理添加．
如图，在直角△ABC和直角△ADE中，∠C=∠E =90°，BC=DE，
326038792305A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
∠BAE=∠DAC，BC与DE交于点F，求证：BF=DF．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】联结AF
∵∠BAE=∠DAC，
∴，即
∵∠C=∠E ，，BC=DE，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴BF=DF．
【总结】考察三角形全等判定和性质的综合运用．
如图，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，连接MN交AB于点P．
（1）当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系?试证明你的结论．
（2）过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗?若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由．
342900019455A
B
C
P
N
M
D
00A
B
C
P
N
M
D
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）线段PQ的长能确定，为．
【解析】(1)．
过M作DM∥CB交BA于D
∵DM∥CB，∴
∴，∴
∵AM=BN，∴
∵，，
∴
∴
线段PQ的长能确定，为．
∵∠A=45°，，∴△AMD为等腰直角三角形
设，则
由（1）可得：
∵
∴
∵
∴
∴线段PQ的长能确定，为．
【总结】考查全等三角形的判定和性质，勾股定理以及等腰直角三角形性质的综合运用．

已知：如图，△ABC是等边三角形，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，
3846830100965A
B
C
D
M
N
E
A
B
C
D
M
N
E
求证：．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】证明：延长至点，使得，联接．
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴
∵
∴
∴
∵BD =DC，，
∴
∴
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴
∵
∴，即
∴
∵，
∴，可得：，
则．
【总结】考察截长补短辅助线的添加及等腰三角形的性质．
如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF = 45°，
求证：AE+CF = EF；
357759061595A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
若BF=，BC=1，求BE的长．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）延长至点，使得，连接BG．
∵，，
∴
∴．
∵∴
∵，∴即
∴
∵，
∴∴，
∵，，
∴AE+CF = EF；
∵BF=，BC=1，
∴由勾股定理可得：， ∴．
设，则由（1）可得：，
∵，
∴， 解得：
∴．
【总结】考察截长补短辅助线的添法和勾股定理的综合运用．
882015190500模块二：倍长中线
模块二：倍长中线

-15113028575知识精讲
知识精讲
常做辅助线：
遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形．
27305-104140例题解析
例题解析

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_______．
354520510795A
B
C
D
A
B
C
D
【难度】★★
【答案】．
【解析】延长AD至点E，使得，联结BE
∵，，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法以及三角形三边关系的判定．

如图，△ABC中，BD=DC=AC， E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
3085289148077A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】延长AE至点F，使得EF=AE，联结DF
∵，，
∴
∴，
∵DC=AC， ∴
∵，
∴
∵BD=AC，， ∴
∵，，， ∴
∴，即AD平分∠BAE．
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法以及三角形全等的判定与性质的运用．
已知：如图，AD是△ABC的BC边上的中线，且BE=AC，延长BE交AC于点F．
3267994158115A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
求证：AF=EF．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】延长ED至点G，使得DG = DE，联结CG
∵，，DG=DE，
∴
∴，
∵BE=AC，∴，∴
∵，∴
∵，∴，
∴AF=EF．
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法．
已知：如图，AD是△ABC的中线，AB = BD，点E在BD上且BE =ED．
3419333163235A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
求证：AC =2AE．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】延长AE至点F，使得EF=AE，联结DF
∵，，
∴ ，∴，
∵，AB = BD，∴AB = CD，
∵，∴DC= FD，
∵AB = BD，∴
∵，，∴
∵，，
∴，∴
∵，∴
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法．
已知，如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．
303989464851A
B
C
D
E
M
G
F
N
A
B
C
D
E
M
G
F
N
求证：．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】延长AM至点N，使得NM =AM，联结CN
∵，，
∴
∴，
∵，∴AE = CN，
∵，
∴
∵
∴
∵，，AE = CN，
∴，∴
∵，∴
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及全等的综合运用．
已知：如图，在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE+CF >EF．
293871237533A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】延长FD至点G，使得，联结BG、GE
∵，，
∴，∴
∵，，
∴，∴
∵，，
∴BE+CF >EF．
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的三边关系的运用．
已知：如图，点M是△ABC的边BC的中点，射线ME、MF互相垂直，且分别交AB、AC于E、F两点，连接EF．
求证：线段BE、CF、EF能够成一个三角形；
若∠A=120°，且BE=CF，试判断BE、CF、EF所构成三角形的形状，并证明 ．
3344478226695A
B
C
M
E
F
G
0A
B
C
M
E
F
G
【难度】★★★
【答案】（1）见解析；（2）等边三角形．
【解析】（1）延长FM至点G，使得，联结BG、GE．
∵，，
∴， ∴
∵，，
∴， ∴
∵，
∴线段BE、CF、EF能够成一个三角形；
（2）等边三角形．
∵∠A=120°， ∴，
∵BE=CF，， ∴，
由（1）可得：．
∴
∵， ∴BE、CF、EF所构成三角形的形状是等边三角形．
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法及三角形的成立条件．
804545-174625模块三：角平分线翻折
模块三：角平分线翻折
-15113028575知识精讲
知识精讲
遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形．
-67310145415例题解析
例题解析
如图，在三角形ABC中，O是AC边上的一点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F，求证：OE=OF．
291338034290E
O
F
A
C
B
N
M
E
O
F
A
C
B
N
M
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵MN∥BC，∴
∵，∴
∴
∵MN∥BC，∴
∵，∴
∴
∴OE=OF．
【总结】考察平行线的性质的综合运用．
如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分，
356933598425A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
求证：．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】在上截取一点E，使得，联结．
∵，，
∴
∴，
∵AD=CD，∴ED=CD，
∴
∵，，
∴．
【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法．
如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C．求证：AB+BD=AC．
344582151628A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】在AC上截取一点E，使得AE=AB，联结DE．
∵，，
∴
∴，
∵，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵，，
∴AB+BD = AC．
【总结】考察截长补短辅助线的添加及运用．
3578157447472A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且，求∠ABC+∠ADC等于多少度?
【难度】★★
【答案】180°．
【解析】在上截取一点F，使得，联结
∵，，
∴，∴，
∵，∴
∴
∵，，，∴
∴
∵，，
∴．
【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法．
如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
346387459055A
B
C
D
E
O
F
A
B
C
D
E
O
F
求证：OE=OD．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】在AC上截取一点F，使得，联结．
∵∠B=60°，∴
∵
∴，∴，∴
∵，，，∴
∴，
∵，∴
∴，∴
∵，，
∴，∴
∵，OE=OD．
【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法．
2942617447472A
B
C
D
E
F
M
N
A
B
C
D
E
F
M
N
如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，MF//DA交BA的延长线于点E，交AC于点F，求证：BE=CF．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】延长FM至点N，使得FM=MN，联结BN．
∵，，FM=MN，
∴
∴，，∴CF//BN
∵MF∥DA， ∴，
∵，∴
∵CF//BN，∴
∵，∴，∴
∵，∴BE=CF．
【总结】考察倍长中线辅助线的添加方法．
3253619321187A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH∥AB，交BC于H．
求证：CE=BH．（提示：平行四边形的对边相等，对角相等）
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】过E作EG⊥AB，垂足为G．
∵，，
，
∴
∵，∴，∴
∵，，
∴，∴
∵，∴
∵FH∥AB，∴，
∵，，
∴， ∴
∵，∴CE=BH．
【总结】考察构造全等三角形辅助线的做法．
-13335097155随堂检测
随堂检测

3111027557962A
B
C
D
E
00A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，∠A=120°∠ABC=∠C，BD是∠ABC的角平分线，如果将△ABD沿BD翻折过来，点A与BC边上的点E重合，那么△CDE是___________三角形．
【难度】★
【答案】直角．
【解析】∵∠A=120°，∠ABC=∠C，
∴
∵，
∴．
【总结】考察三角形的外角性质及内角和定理的综合运用．
3208506149157A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，已知AC=BD，∠D=∠C，求证：∠A=∠B．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】延长CA、DB交于点E
∵∠D=∠C，∴
∵AC=BD ，∴
∴
∵
∴∠A=∠B．
【总结】考察等腰三角形的辅助线的添法．
如图，在三角形ABC中，∠ABC =2∠C，AD⊥BC，求证：AB+BD=DC．
3041487160514A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】在CD上截取一点E使得DE=DB，联结AE
∵，，
∴
∴，
∵∠ABC=2∠C，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵DE+CE = CD，，，
∴AB+BD=DC．
【总结】考察截长补短的辅助线的添加．
如图，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD，∠C=30°．求∠BAC的度数．
【难度】★★
332422552705A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【答案】见解析
【解析】在CA上截取一点E使得AE=AB，联结DE
∵，，
∴
∴，
∵AC=AB+BD，AE=AB，AC=AE+EC，
∴
∵，∴
∴
∴
∵，∴∠B =2∠C．
∴．
【总结】考察截长补短的辅助线的添法．
3117715246434A
C
B
D
E
F
G
Q
P
M
A
C
B
D
E
F
G
Q
P
M
以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE、ACGF，DP⊥BC于点P，GQ⊥BC于点Q，求证：DP+GQ=BC．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】过A作AM⊥BC，垂足为M
∵，，
∴
∵，，
∴
∴
也可以用同样的方法证明出∴，∴
∵，，
∴DP+GQ=BC．
【总结】考察三角形全等的构造方法及全等三角形性质的综合运用．
3610583339387A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE+CF=EF， 求证：∠EBF=45°．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】证明：延长至点，使得，联接．
∵BA=BC，，
∴
∴
∵AE+CF=EF，AE=CG，∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴，即
∵，
∴∠EBF=45°．
【总结】考察截长补短辅助线的添法及全等三角形性质的运用．

3487366343711A
B
C
D
P
A
B
C
D
P
已知，如图，D为等边△ABC内一点，DA=DC，P为等边△ABC外一点，PC=AC，且CD平分∠BCP，求∠P的度数．
【难度】★★
【答案】30°．
【解析】连接BD．
∵PC=AC，BC=AC， ∴PC=BC
∵PC=BC，DC=DC，
∴
∴
∵DA=DC，DB=DB，AB = CB，
∴
∴，即
∵，∴
【总结】考察全等三角形的判定和性质的综合运用．

3526277294424A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，在△ABC中，，∠C=90°，AD⊥BD交于点D，BD与AC相交于点E，当BE =2AD时，求证：BD平分．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】延长BC、AD交于点F
∵，
∴
∵，，AC=BC，
∴
∴
∵BE =2AD，∴AF =2AD，即AD =FD
∵，AD=FD，DB=BD，
∴
∴，即BD平分．
【总结】考察等腰三角形的性质．
如图，已知在正方形ABCD中，E是AD的中点，BF=CD+DF，若∠ABE为，求∠CBF的度数．
【难度】★★
【答案】
【解析】延长BC到G，使得CG=DF，连接FG交CD于点H，连接BH
3331198137160A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
F
G
H
∵，，CG=DF，
∴
∴
∵AE=CH，AB=BC，
∴
∴
∵BF=CD+DF，BG=CB+CG，BC=CD，CG=DF，
∴BF=BG，∵FH=GH，∴
∵，∴
【总结】考察截长补短辅助线和等腰三角形的性质的综合运用．
在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°．
3208506148077A
B
C
D
F
00A
B
C
D
F
求证：BD+DC=AB．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】延长BD到F，使得BF=BA，连接AF、CF
∵∠ABD=60°，BF=BA
∴△ABF为等边三角形
∴
∴
∵∠ACD=60°，∴
∴，∴
∴，即BD+DC=AB．
【总结】考察截长补短辅助线的做法．
3111230389106A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
如图，在△ABC中，E是BC边上一点，点D在BC的延长线上且CD=AB，∠BAE =∠D，AC平分∠EAD．求证：AD =2AE．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】在AD上取一点F，使得AF=AE，连接CF
∵AE=AF，，AC=AC，
∴
∴
∵，，∠BAE=∠D，
∴
∵AB=CD，，∠BAE=∠D，
∴
∴
∵AF=AE，
∴
【总结】考察截长补短辅助线的添法．
-18415080010课后作业
课后作业
3584575375920A
B
C
D
A
B
C
D
如图，将△ABC的中线AD加倍到点E，联结CE后，以下结论错误的是
（ ）．
A．； B．AD=DC；
C．CE=AB； D．AB∥CE．
【难度】★★
【答案】B
【解析】A、C、D都可以根据三角形全等得到是正确的．
已知：AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B，将△ACD沿AD翻折，点C落在AB边上的E处，△EBD是____________；AB、AC、CD之间的数量关系是_____________．
336414969174A
B
C
D
0A
B
C
D
【难度】★★
【答案】等腰三角形；．
【解析】∵，，
∴
∴，
∵∠C=2∠B，，∴
∵，∴，∴
∵，∴
∵，，
∴
【总结】考察截长补短辅助线的添法．
已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
3733800175530A
B
C
D
E
0A
B
C
D
E
求证：AB=AC+CD．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E
∵，，
∴
∴，
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴
∵DE⊥AB，∴，∴
∵，∴
∵，，
∴AB=AC+CD．
【总结】考察截长补短辅助线的添法．
已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD+DC=AD．
370713018415A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵
∴，即
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴BD+DC=AD．
【总结】考察三角形全等三角形判定和性质．
3204723391795A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
已知直角△ABC中，∠CAB=90°点D、E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平分∠BAE；求证：BD=AC．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】∵∠CAB=90°，∴
∵∠CAE=∠B，∴，∴
∵∠CEA=∠AED，，
∴
∴，
∵∠CAE=∠B，∴∠B=∠DAE，
∵∠DAE=∠DAB，∴∠B=∠DAB
∴
∵，∴BD=AC．
【总结】考察角度之间的关系的处理方法主要利用三角形的外角性质和角的和差进行说明．
如图，已知点C是AB的中点，点E在CD上，AE=BD，求证：∠AEC=∠CDB．
348736696196A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】延长EC至点F，使得CF=CE，联结BF
∵，，
∴
∴，
∵AE=BD，∴BF=BD，∴
∵，∴∠AEC=∠CDB．
【总结】考察倍长中线辅助线的做法．
3234447367489A
B
C
D
M
E
F
00A
B
C
D
M
E
F
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，E是AC延长线上一点，联结DE交BC于点M，DM =ME，求证：BD=CE．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】过D作DF∥AE交BC于F
∵DF∥AE，∴
∵DM=ME，，
∴
∴
∵DF∥AE，∴
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴
∴
∵，∴BD=CE．
【总结】考察平行线辅助线的做法．
已知，如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点F，∠C=60°，
求证：AB =AE+BD．
【难度】★★
3418840220345A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
【答案】见解析
【解析】在AB上截取一点G，使得，联结FG
∵∠C=60°，∴
∵
∴，∴，∴
∵，，
∴，∴，
∵，∴
∴，∴
∵，，
∴，∴
∵，，
∴AB =AE+BD．
【总结】考察通过角平分线构造全等辅助线的做法．
3042676180127A
B
C
D
E
F
O
1
2
A
B
C
D
E
F
O
1
2
如图，已知在△ABC中，BD、CE相交于点Q，BE=CD，∠1=∠2．
求证：∠A=2∠1．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】延长CE到F，使得OF=OD，联结BF
∵∠1=∠2，∴
又∵，OF=OD，
∴，∴，
∵BE = CD，∴BE = BF，∴
∵，∴，∵，∴
∵，
∴，∵，
∴，∴
【总结】考察三角形全等的判定和性质的综合运用．
如图所示，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AP⊥EF于点P，求证：AP=AB．
3526277128621A
B
C
D
E
F
P
G
A
B
C
D
E
F
P
G
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】延长至点，使得，连接AG
∵，，
∴
5177954266322∴．
∵∴
∵，∴，
即
∴
∵，，
∴∴，
∵，，
∴
∴AP=AB．
【总结】考察截长补短辅助线的添法．
以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABEF、ACGH，联结FH，
3506821245353A
B
C
D
E
F
G
H
M
O
A
B
C
D
E
F
G
H
M
O
AD⊥BC于点D，延长DA交FH于点M．
求证：（1）FM =MH；（2）BC =2AM．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）过F作AH的平行线交DA的延长线于点O．
∵，
∴
∵，
∴
∵，∴
∵，∴
∵，，
∴
∴，
∵，，
∴
∴FM =MH
由（1）可得：，
∴BC =2AM．
【总结】考察平行线辅助线的添法．