北师大版八年级上册1.2 一定是直角三角形吗 课件（22张）

(共22张PPT)
1.2
一定是直角三角形吗
学习目标
1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力.（重点）
2.掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用．（难点）
复习旧知
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。
A
B
C
a
b
c
情景引入
如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形吗？
A
B
C
a
b
c
用a，b，c分别表示三角形的三边
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
问题情景
合作探究
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
回答这样两个问题:
1.这三组数都满足
a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，它们都是直角三角形吗？
实验结果：
①
5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
②
7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③
8,15,17满足a2+b2=c2
,可以构成直角三角形.
进入
合作探究
验证方法一（量角器测量法）
验证方法二
利用上节课（课本第6页）“议一议”的结论：锐角三角形和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平方，所以三角形三边满足a2+b2=c2的关系的只能是直角三角形.
验证方法三
操作活动：以3和4为邻边，构造三角形，观察随着夹角的增加第三边的变化趋势，随着夹角的增加第三边的长度越来越大，夹角是直角时，第三边的长度等于5.
合作探究
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理得:
a2+b2=
A1B12=AB2
.
∴
A1B1=AB
.
∴
△ABC≌△A1B1C1
（SSS）
∴
∠C=∠C1=90°
.
∴
△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
C1
M
N
B1
A1
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
你能否判断
△ABC是直角三角形？并说明理由.
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
验证方法四：论证法
合作探究
1.勾股定理的逆定理：
（1）文字描述：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
合作探究
结论：
∵在△ABC中,a2+b2=c2
(2)符号语言：
∴∠C=90°(勾股定理逆定理)
A
B
C
a
b
c
2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
1、勾股数是正整数
2、勾股数扩大相同整数倍数后，仍为勾股数。
你还能找出哪些勾股数呢？
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
例1：给出下列说法：
①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾股数；
②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的平方必为25；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是斜边长，那么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
C
例2．一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b）所示，这个零件合格吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
13
(a)
(b)
例3
：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边a，b，c满足a:b:c＝3:4:5.
解：(1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－25°－65°＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)设a=3k，则b=4k，c=5k．
∵(3k)2+(4k)2=25k2
c2=
(5k)2
，
即a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形
.
C
变式1：
已知△ABC，AB=n?-1，BC=2n，AC=n?+1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB?+BC?
=(n?-1)?+(2n)?
=n4
-2n?+1+4n?
=n4
+2n?+1
=(n?+1)?
=AC?，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
先确定AB、BC、AC、
的大小
变式2：
若三角形ABC的三边
a,b,c
满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.
试判断△ABC的形状.
解：∵
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴
a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.
即
(a－3)?+
(b－4)?+
(c－5)?=0.
∴
a=3,
b=4,
c=5
即
a2+b2=c2.
∴△ABC直角三角形.
例4：下列数组中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5
B．9，12，15
C．7，24，25
D．1.5，2，2.5
D
注意：判断一组数是否为勾股数的一般步骤：
(1)“看”
看是不是三个正整数.
(2)“找”
找最大数.
(3)“算”
计算最大数的平方与两个较小数的平方和.
(4)“判”
若两者相等，则这三个数是一组勾股数；
否则，不是一组勾股数．
例5．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求∠ABC的度数．
∵AB2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AC2＝52＝25，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∴∠ABC＝90°.
练习.如图，哪些是直角三角形，哪些不是，说说你的理由？
①
②
③
④
⑤
⑥
解：
④⑤是直角三角形
①②③⑥不是直角三角形
只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
例6：在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝
CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由.
解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
1.“勾股定理”逆定理：
(1)文字语言：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
a
b
c
(2)符号语言：
∴∠C=90°(勾股定理逆定理)
2.“勾股定理”逆定理的应用：
已知三边特殊关系，判定直角三角形。
3.“勾股数”的定义：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
课堂小结
∵在△ABC中,a2+b2=c2