人教版七年级上数学第一章有理数复习教学案（无答案）

有理数
正数和负数
1.
正数、负数的概念
正数：像2008,
3，0.
7,
36%这样大于0的数叫做正数。任何正数的前面都可以加上一个“＋”号（读作“正”号），
但正数前面的“＋”号往往省略不写。
负数：像－2008,
-3，
-0.
7,
-36%这样在正数前面加上“－”号（读作“负”号）的数叫做负数，负数都小于0,
负数前面的“－”号不能省略。
2.
对于“0”的认识
0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。0的意义不仅仅是表示“没有”，
例如：0℃是标准大气压下水结冰的温度，0m表示海平面的平均高度，
有理数
1.
有理数的有关概念
（1)
整数：正整数、零、负整数统称为整数。
（2)
分数：正分数、负分数统称为分数。
（3)
有理数：整数和分数统称为有理数，
说明：①整数可以看作分母为“1”的分数，但我们所说的分数不包括分母为“1”的分数；②0.5=，=，，像0.
5,
0.
这种有限小数和无限循环的小数可以转化为分数，因此分数包括上述小数；③π和0.
101001....（相邻两个1之间0的个数逐次加1)
这样的无限不循环小数不是有理数。
数轴
1.
数轴的概念
通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1)
在直线上任取一个点表示数0,
这个点叫做原点；
（2)
通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3)
选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,
2,
3,
”；
从原点向左，用类似方法依次表示－1,
-2,
-3,
···.
分数或小数也可以用数轴上的点表示。
2.
数轴的画法
画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。其步骤如下：
（1)
画一条直线（一般画成水平的直线）；
（2)
在直线上选取一点为原点，并用这点表示数0
（在原点下边标上0)
;
（3)
确定正方向（一般取向右为正），
用箭头表示出来；
（4)
确定单位长度，并标数。
例题：
1.
若数轴上表示－4和8的两点分别是点A和点B,
则点A和点B之间的距离是（
)
A.
-4
B.
4
C.
8
D.
12
2.
数轴上，到原点距离是8的点表示的数是
A.
8和－8
B.
0和－8
C.
O和8
D.
-4和4
3.
(2019~2020赣州章贡区期中）如图，A,B分别为数轴上的两点，点A对应的数值为－20,
点B对应的数值为100.
（1)
请写出到A,
B两点距离相等的点M所对应的数；
（2)
现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒6个单位的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，你知道点C对应的数是多少吗？
相反数
1.
相反数的意义
（1)
相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0.
（2)
相反数的几何意义：在数轴上的原点两旁，到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
2.
相反数的性质
两个数互为相反数，等价于这两个数的和为0.
若m与n互为相反数，则m+n=0;
反之，若m+n=0,
则m与n互为相反数。
3.
多重符号的化简
（1)
双重符号的化简规律：同号得正，异号得负，
（2)
多重符号的化简规律：如果前面有奇数个“＿”号，那么结果为负；如果前面有偶数个“－”号，那么结里为正，即“偶正奇负”，
例题
-8的相反数是（
）
-8
B.
C.8
D.-
化简下列各数中的符号
-(-2)
(2)
-(+3)
(3)
+(-)
(4)
-[-(+2)]
-(-b)
3.
如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是它本身，则m+n的值为（
）
A.
1
B.
0
C.
2
D.
-1
4.
在数轴上确定某一点的位置，小宇同学在数轴上表示－4时，由于粗心，将－4画在了它的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（
）
A.
向左移动8个单位
B.
向右移动8个单位
C.
向左移动4个单位
D.
向右移动4个单位
5.p、q互为相反数，那么P+
(-1)
+q+
(-3)
的值为多少？
6.
数轴上点A表示－7,
B.
C两点所表示的数互为相反数，且点B到点A的距离为4,
求点B和点C对应什么数？
7.
如图，数轴上每相邻两刻度之间的距离为1个单位长度，请回答下列问题：
（1)
如果点A,
B
表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2)
如果点E,
B
表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？图中其他点表示的数分别是多少？
绝对值
1.
绝对值的意义
（1)
绝对值的几何意义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a|
如图所示，在数轴上表示－3的点与原点的距离是3,
即－3的绝对值是3,
记作｜－3|=3;
在数轴上表示3
的点与原点的距离是3,
即3的绝对值是3,
记作｜3|=3;表示0的点与原点的距离是0,
即0|=0.
（2)
绝对值的代数意义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值0.
如：｜+6|=6,｜-4|=4,｜0|=0
绝对值的代数意义用式子可以表示为：
a
(a>
0)
,
｜a|=
0
(a=0)
,
-a
(a
<0)
.
2.
绝对值的性质
无论是绝对值的几何意义，还是代数意义，都揭示之绝对值的一个重要性质一一非负性。也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取什么有理数，都有｜a|≥0.
例题
已知3｜x-2|+｜3-y|=0,求x,y的值
计算
｜-7.25|×｜-4|+｜-32|÷｜-8|
（3-｜-|+0.5）×｜-6|
若｜-a|=｜-3|，则a的值为
若x为任意有理数，则-｜-x|一定是
（
）
负数和零
B.负数
C.正数和零
D.正数
已知｜a-2|＋｜b-4|＋｜c-5|=0，求式子a＋2b＋4c的值
有理数的加减法
有理数的加法法则
同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
5＋2=7
；-5＋（-2）=-7
异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.
(-5)＋7=｜7|
－｜5|
=2
一个数同0相加，仍得这个数。
例题：
计算：
-10＋（+6）
（2）（-）＋（-2）
已知｜a|=5,｜b|=8,求a+b的值
已知｜x-3|与｜y-11|的值互为相反数，试求-x＋y的值
有理数的减法法则
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+
(一b)
.
在用减法法则进行运算时，注意以下两点：
（1)
进行减法运算时，首先弄清减数的符号（是“＋”号，还是“一”号）。
（2)
将有理数的减法转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号，减号变为加号；二是性质符号，减数变为它的相反数。（减负=加正，减正=加负）
例题
计算
（-3）-（+7）
-(-)
(-2)-
0-(-5)
(-5.5)-(-3.2)-(-2.5)-(-4.8)
(-8)-[-(+6.5）-（3.3）-6]
2.（1)
①数轴上表示2和5两点之间的距离可列算式为
，
结果为
②数轴上表示－2和－5两点之间的距离可列算式为
，结果为
；
③数轴上表示－2和5两点之间的距离可列算式为
，
结果为
；
④数轴上表示a和b两点之间的距离可列算式为
（2)
利用上述规律，解决问题。
①若数轴上点M表示的数为－17,
点N表示的数为8,求M,
N两点间的距离；
②若数轴上点
M
表示的数为－1,
且数轴上点N到点M之间的距离为3,
求点N表示的数。
有理数的加减混合运算
对于有理数的加减混合运算中的减法，可根据法则进行转化，如：
(-11)
-7+
(-9)
-
(-6)
可转化为（－11)
+
(-7)
+
(-9)
+
(+6)
,
这样就把有理数的加
减混合运算统一成加法运算，再根据有理数加法法则及运算律进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式，
例题：
(1)
(-8)-(-15)+(-9)-(-12);
（2)
(-18)-(-12)+(+14)+(-9)-(-3).
2、阅读下面的解题过程，然后解答相关问题。
计算：53.
27-
(+18)
+
(-21)
+
(+46.
73)
-（－15)
+
(+21)
.
解：原式＝53.
27-18-21+46.
73+15+21
(第一步）
＝
(53.
27+46.
73)
+
(21-21)
+
(-18+15)
(第二步）
＝100+0+3
(第三步）
＝103
(第四步）
（1)
以上解题过程中，第一步是把原式化成了
的形式；
（2)
第二步的根据是
；
3)
以上解题过程是否止确？如果不正确，指出首次出现错误的是哪一步，并给出正确答案
有理数的乘除法
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘都得0
多个有理数相乘的法则
几个有理数相乘，只要有一个数为0，则乘积为0
几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶数个时，积为正，然后再将几个数的绝对值相乘。
例题：
（1）1.25×1×（-2.5）×（-）
(+4)×（-5）×（-）×0×（+4.25）
（-36）×（-+）
（4）（-9）×4×（-1）×（-2.5）
25×-（-25）×+25×（-）
有理数的除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，用字母表示为a÷b=a·
(b≠0)
.
从有理数除法法则容易得出：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0.
例题：
（-）÷0.25÷（-）
（2）（-125）÷(-)÷（-）
（-）÷（-）÷（-）÷（-6）
2.
已知x=-3,y=-，求3xy+－｜x-y｜的值。
3.
当a=-2,b=-4,c=-7,d=-3.
5时，计算下列各式：
（1)
a÷b-c÷d;
（2)
(d-c)÷(b-a).
有理数的加减乘除混合运算
有理数的混合运算
（1)
因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。
（2)
有理数乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（3)
有理数的加减乘除混合运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，若有括号，先算括号内的。
例题：
｜-3.75｜＋（-5.25）×（-1）-｜-2.5｜
-6×（-）÷
（3）
（-3）-[-5+(1-2×）÷（-2）]
有理数的乘方
1.
乘方的意义
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。一般地，n个相同的因数a相乘，即a.a.a.
.
.
-.a.记作an”，
读作a的n次方，当它看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂，在an”中，a叫做底数，n叫做指数，例如
（－2)
3
表示（－2)
x
(-2)
x
(-2)
,
-2是底数，3是指数。
2.
有理数乘方的运算方法
（1)
根据乘方的意义，先把乘方转化成乘法，再利用乘法的运算方法进行计算。
（2)
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例题
(-3)4
（2）（-3）4
（3）（-）3
3.有理数的混合运算
有理数的混合运算
在有理数的运算中含有加、减、乘、除、乘方的运算叫做有理数的混合运算。
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1)
先乘方，再乘除，最后加减。
（2)
同级运算，从左到右进行。
（3)
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
例题
（1）（-2）3÷｜-｜-（2-5）2
（-2）3-22-｜-｜×（-4）2
科学计数法
科学记数法
（1)
科学记数法：把一个大于10的数表示成ax10"的形式（其中a是整数位数只有一位的数，n是正整数）。
（2)
一个大于10的数记为ax10”时应注意：①a的范围：1≤a《10;
②n的取值：n为原数的整数位数减1.
（3)
负数也可以用科学记数法表示，“－”照写，其他与正数的写法一样。
（4)
用科学记数法表示一个数时不能改变原数的大小
【例1】
(2020北京海淀区期末）2019年10月1日国庆阅兵是中国特色社会主义进入新时代的首次阅兵，也是人民军队改革重塑后的首次集中亮相。此次阅兵编59个方（梯）队和联合军团，总规模约1.
5万人。“1.
5万”用科学记数法表示应为（
）
1.
5x103
B.
15x103
C.
1.
5x104
D.
15x104
十、近似数
1.
准确数与近似数
在实际问题中，与实际相符的数是准确数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，得到的数是近似数。
2.
精确度
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。对一个准确数取近似值时都是根据四舍五入法
例题
1.
由四舍五入法得到的近似数0.
01020是精确到
A.
千分位
B.
万分位
C.
十万分位
D.
百万分位
2.
下列说法中，正确的个数有
①近似数7.
4与7.
40是一样的；
②近似数8.
0精确到十分位；
③近似数9.
62精确到百分位；
④由四舍五人得到的近似数6.
96
x10
精确到百
分位。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
3.
数3.
456精确到百分位的近似数是
4.
近似数6.
30x104精确到
位。