2020-2021学年度苏科版八年级上册数学3.1勾股定理 专题培优综合训练卷(word版 含解析)

2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学3.1勾股定理
专题培优综合训练卷
一、选择题
1、在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(????
)
A.?a2+b2=c2
???????????????????????B.?b2+c2=a2???????????????????????C.???
a2+c2=b2???????????????????????D.?c2-
a2=
b2
2、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
（2）
（3）
（4）
3、如图，带阴影的长方形的面积是(
)
A.
9
cm2
B.
24
cm2
C.
45
cm2
D.
51
cm2
4、如图，在中，和都是等腰直角三角形，若，，则AC的长为（
）
A.
12
B.
7
C.
5
D.
13
5、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
（5）
（6）
（7）
6、历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是(
)
A.
B.
C.
D.
7、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．13
B．19
C．25
D．169
8、如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
9、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（?????）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
10、在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P.Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（　　）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二、填空题
11、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90?，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于
点D，则________．
（11）
（12）
（13）
（14）
12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为　
　．
13、如图，ΔABC中，∠A=∠ABC，AC=6，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE,则DE=_______．
14、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站____________千米处？
15、如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为　
　．
（15）
（16）
（17）
16、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是___________
17、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，
则PB+PE的最小值是________．
18、在中,∠A=30?,
,点D在线段AB上,且,点P为射线AC边上一动点,
则ΔPBD周长的最小值是________．
三、解答题
19、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长．
20、如图，长方形纸片ABCD中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，求的面积．
21、如图在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，
求：（1）△ABC的面积；
（2）DE的长？
22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，
求证：F是DE的中点．
23、如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点
在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．
②求AF的长．
24、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE=90°，AD=AE．连接CE．
(1)如图1，若点D在BC边上，则∠BCE=
?；
(2)如图2，若点D在BC的延长线上运动.
①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC=3，CD=6，则△ADE的面积为
图1
图2
25、如图，（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间的关系________．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在
一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请判断∠AEB的度数，并说明理由；
②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．
26、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交
AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学3.1勾股定理
专题培优综合训练卷（答案）
一、选择题
1、在△ABC，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B=90°，则下列等式中成立的是(????C
)
A.?a2+b2=c2
???????????????????????B.?b2+c2=a2???????????????????????C.???
a2+c2=b2???????????????????????D.?c2-
a2=
b2
2、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，
故选C．
3、如图，带阴影的长方形的面积是(
C
)
A.
9
cm2
B.
24
cm2
C.
45
cm2
D.
51
cm2
4、如图，在中，和都是等腰直角三角形，若，，则AC的长为（
）
A.
12
B.
7
C.
5
D.
13
解：是等腰直角三角形，，，
，，
是等腰直角三角形，，
中，由勾股定理可得．
5、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，∴EC=BE=BC=4，∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，∴点D的个数共有3个，
故选：C．
6、历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是(
D
)
A.
B.
C.
D.
7、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．13
B．19
C．25
D．169
【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故选C
8、如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选：D．
9、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（?????）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
【答案】矩形纸片ABCD中，AD=BC，，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，
根据折叠的特征，AB=AF，BE=EF，；
已知AD=8，EF=3，所以BE=3，BC=8，CE=BC-BE=8-3=5，
在中，由勾股定理得，解得CF=4；
在中，由勾股定理得，，所以，解得AB=6
故选择D。
10、在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P.Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（　　）
B.
1
B.
2
C.
3
D.
4
解答：解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=5，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，即5=（5-A′B）+3，解得A′B=1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=3，
∵3-1=2，∴点A′在BC边上可移动的最大距离为2．
故选B．
二、填空题
11、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90?，，，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于
点D，则____4____．
12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为　
　．
【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴9+BC2＝25，∴BC2＝25﹣9＝16，
∴BC＝4，∴Rt△ABC的面积＝42＝6．
故答案为：6．
13、如图，ΔABC中，∠A=∠ABC，AC=6，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE,则DE=___3____．
14、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站____________千米处？
【答案】设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．
15、如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝14，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为　
　．
【解答】作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC＝BC＝25，AB＝14，∴AH＝BHAB＝7，
在Rt△BCH中，，
∵OC≥CH﹣OH（当点C、O、H共线时取等号），∴OC的最小值为24﹣7＝17．
故答案为17．
16、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是___________
【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积
=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．
推而广之，即：每次“生长”的正方形面积和为1，“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2021×1=2021．
17、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，
则PB+PE的最小值是________．
解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。
∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称。
∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。
∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8。∴
。
∴PB+PE的最小值是10。
18、在中,∠A=30?,
,点D在线段AB上,且,点P为射线AC边上一动点,
则ΔPBD周长的最小值是___15+5(或15+)_____．
三、解答题
19、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BD＝9，CD＝12，求AB和AC的长．
【解析】∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∵BD＝9，CD＝12，由勾股定理得，
设AD＝x，则AC=AD+CD=AB-BC,x+12=(x+9)-15
解得：x＝16
∴AB＝16+9＝25．AC＝20，
20、如图，长方形纸片ABCD中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，求的面积．
解：设，由折叠可知：，
在中，
，
21、如图在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，
求：（1）△ABC的面积；
（2）DE的长？
【答案】（1）解：过A作AF⊥BC于F，
△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC=
BC=5；
Rt△ABF中，AB=13，BF=5；
由勾股定理，得AF=12；
∴S△ABC=
BC?AF=60；
（2）解：连接CD，
∵AD=BD，∴S△ADC=S△BCD=
S△ABC=30；
∵S△ADC=
AC?DE=30，
即DE=
=
．
22、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ADC和△ABE是等边三角形，DE交AB于点F，
求证：F是DE的中点．
解：如图所示，过点E作EG⊥AB，
∵△ABE是等边三角形，EG⊥AB，∴AG=BG=AB，
由勾股定理得：EG=AG，
∵∠BAC=30°，∴BC=AB，∴AG=BC=AB，
∵由勾股定理得：AC=BC，∴EG=AC，
∵∠DAB=60°+30°=90°，∴DA⊥AB．∴DA∥EG．
∴∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，
在△ADF与△GEF中，∵∠ADE=∠FEG，∠DAF=∠FGE=90°，EG=AD，∴△ADF≌△GEF（AAS），
∴DF=EF．即F为DE的中点．
23、如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点
在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．
②求AF的长．
【答案】（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF=EF，∵AB=8，∴EF=8-AF，
①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF=∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF=∠EFG，∴∠EGF=∠EFG，∴EF=EG；
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，∴AF=FH=6；
24、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE=90°，AD=AE．连接CE．
(1)如图1，若点D在BC边上，则∠BCE=
?；
(2)如图2，若点D在BC的延长线上运动.
①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC=3，CD=6，则△ADE的面积为
图1
图2
解：（1）90…………………2分
（2）①不发生变化.
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°…………………3分
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE…………………4分
在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD…………………5分
∴∠ACE=∠ABD=45°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°
∴∠BCE的度数不变，为90°…………………6分
②
(作AH⊥BC,AD=)
…………………8分
25、如图，（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间的关系________．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请判断∠AEB的度数，并说明理由；
②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．
【答案】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°，
故答案为：60°；相等；
（2）解：①∠AEB=90°，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
②∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=5．
在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2
，
设：BE=AD=x，则AC=（6+x），
（x+5）2+52=（x+6）2
，
解得：x=7．
所以可得：AE=AD+DM+ME=17
26、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交
AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
【答案】（1）解：△DBF、△ECF以说明△DBF为例：
?
∵BF平分∠ABC??，∴∠DBF=∠CBF
?
∵DF∥BC??，?????∴∠CBF=∠DFB，??
∴∠DBF=∠DFB,即△DBF为等腰三角形。
（2）解：BD=DE+CE
理由如下：
因为△DBF、△ECF为等腰三角形
BD=FD，CE=EF
DF=DE+EF=DE+CE
所以BD=DE+CE
（3）解：如图，做DG⊥BF与G
∵BD=FD，∴FG=BF=12cm
又DF=DE+CE=5+8=13cm，由勾股定理得DG=5cm
S△BDF=BF×DG=×24×5=60cm
答：△BDF的面积为60cm。