人教版数学八年级上册12.3角的平分线的判定课件（16张）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册12.3角的平分线的判定课件（16张） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 532.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-22 11:55:06 | ||
图片预览
文档简介
(共16张PPT)
角的平分线的判定
P到边OA的距离
P到边OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB.
∴
PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理
不必再证全等
D
C
B
O
P
A
E
知识回顾
垂线段PD长
垂线段PE长
角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
O
D
P
A
C
B
E
新知引入
如图，已知PD⊥OA，
PE⊥OB，且PD=PE.
则∠AOC与∠BOC
是否相等?
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：OP平分∠AOB.
证明：作射线OP，
即OP平分∠AOB.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
OP=OP，
PD=
PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠AOP=∠BOP.
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴OP
平分∠AOB.
新知讲解
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
新知讲解
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量
每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段的长度相等.
你能证明这个结论吗？
新知讲解
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
新知讲解
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，称为三角
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
例1
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
分析与：∵O到三角形三边的距离相等，
∴O是内心，即三条角平分线的交点，
即BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO=∠ABO=
∠ABC，
∠BCO=∠ACO=
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=180°－40°=140°，
∠OBC＋∠OCB=70°，
∠BOC=180°－70°=110°.
新知应用
例2
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥AD，FM⊥BC，垂足为G，H，M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC.
∴FG=FM.
同理可得，∴FM=FH，
∴FH
=FG
，
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
新知应用
例3
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(1)
求证：AM平分∠BAD；
证明
:
(1)作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠BAD．
新知应用
例3
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(2)
线段CD、AB、AD间有怎样的关系？
解:
(2)CD+AB=AD；理由如下：
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL)，
∴CD=DE，
同理可证
AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
DM=DM，
MC=ME，
新知应用
例4
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
解：作OA，OB夹角的角平分线，与MN
的交点就是所求作的超市P的位置.
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
方法
点拨：
新知应用
角的平分线的性质
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
图形
已知条件
结论
课堂总结
角平分线的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
作用
判断一个点是否在角的平分线上.
结论
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
课堂总结
感谢聆听
角的平分线的判定
P到边OA的距离
P到边OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB.
∴
PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理
不必再证全等
D
C
B
O
P
A
E
知识回顾
垂线段PD长
垂线段PE长
角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
O
D
P
A
C
B
E
新知引入
如图，已知PD⊥OA，
PE⊥OB，且PD=PE.
则∠AOC与∠BOC
是否相等?
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：OP平分∠AOB.
证明：作射线OP，
即OP平分∠AOB.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
OP=OP，
PD=
PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠AOP=∠BOP.
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴OP
平分∠AOB.
新知讲解
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
新知讲解
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量
每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段的长度相等.
你能证明这个结论吗？
新知讲解
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
新知讲解
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，称为三角
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
例1
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
分析与：∵O到三角形三边的距离相等，
∴O是内心，即三条角平分线的交点，
即BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO=∠ABO=
∠ABC，
∠BCO=∠ACO=
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=180°－40°=140°，
∠OBC＋∠OCB=70°，
∠BOC=180°－70°=110°.
新知应用
例2
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥AD，FM⊥BC，垂足为G，H，M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，FM⊥BC.
∴FG=FM.
同理可得，∴FM=FH，
∴FH
=FG
，
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
新知应用
例3
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(1)
求证：AM平分∠BAD；
证明
:
(1)作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠BAD．
新知应用
例3
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(2)
线段CD、AB、AD间有怎样的关系？
解:
(2)CD+AB=AD；理由如下：
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL)，
∴CD=DE，
同理可证
AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
DM=DM，
MC=ME，
新知应用
例4
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
解：作OA，OB夹角的角平分线，与MN
的交点就是所求作的超市P的位置.
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
方法
点拨：
新知应用
角的平分线的性质
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
图形
已知条件
结论
课堂总结
角平分线的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
作用
判断一个点是否在角的平分线上.
结论
三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
课堂总结
感谢聆听