2020年秋人教版数学九年级上册《24.1.2　垂直于弦的直径》教案

《24.1.2　垂直于弦的直径》教案
教学目标
1．通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法——作弦心距。
2．通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3．通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质。
4．培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。
教学重点
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点
垂径定理及其推论的运用。
课时安排
1课时
教学方法
启发引导、合作探究、拓展新知
课前准备
课件、课本等
教学过程
一、导入新知
同学们，赵州桥位于现在的历史文化名城河北省赵县，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.23米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
这节课，我们就一起来学习《24.1.2　垂直于弦的直径》。（板书课题）
二、探究新知
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，＝，＝，即直径CD平分弦AB，并且平分及.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.
求证：AM＝BM，＝，＝.
分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．
证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴点A和点B关于CD对称，
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴＝，＝.
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
例1　有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60
m，水面到拱顶距离CD＝18
m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32
m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32
m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.
解：不需要采取紧急措施，
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4，
∴不需采取紧急措施．
三、归纳新知
垂径定理及其推论以及它们的应用．
四、教后反思