人教版2020年数学九年级上册21.1 一元二次方程课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
21.1
一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数。
2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型。
3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题。
学习目标
情景引入
雷锋是共产主义战士、最美奋斗者，他无私奉献的精神影响了一代又一代的中国人．在国内有多处雷锋雕像，那么你知道这些雕像是怎么设计的吗？
导入新知
设计师在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2
m，下部BC=x
m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得　x
2
+
2x
-
4
=
0．①
x
2
=
2(2
-
x
)，
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
x
m
(2
-
x
)
m
等量关系：
AC：BC=BC：AB
即BC2=2AC
问题1
有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
3600cm2
新知一
一元二次方程的概念
探究新知
解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为(100－2x)cm，
宽为(50－2x)cm，
根据方盒的底面积为3600cm2，得
化简，得
②
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
③
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②都只含一个未知数;
③未知数的最高次数都是2.
x2-75x＋350=0
②
x2
+
2x
-
4
=
0
①
x2-x-56=0
③
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识要点
一元二次方程的概念
ax2+bx
+c
=
0(a，b，c为常数，
a≠0)
ax2
称为二次项，
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项，
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
一元二次方程的一般形式是
想一想
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
，
ax2
=
0
总结：只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
典例精析
例1
下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成
x2-3x+2=0
化简整理成12x+10=0
提示
判断一元二次方程的步骤，首先看是不是整式方程；如果是，则进一步整理化简，看化简后的方程中是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2)
x3+
x2=36
(3)x+3y=36
(5)
x+1=0
?
×
×
×
×
?
×
×
(1)
x2+
x=36
注意：未限定a≠0
例2
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2；
(2)
(a－1)x|a|+1
－2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由|a|+1
=2，且a－1
≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a－4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时，是一元二次方程；
（2）当a=2
且b
≠0时，是一元一次方程．
方法点拨：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：
1.相同点：都是整式方程，只含有一个未知数；
2.不同点：一元一次方程未知数最高次数是1，一元二次方程未知数最高次数是2.
例3
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b
(a≠0)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知二
一元二次方程的根
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
试一试：下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4，-3，
-2，-1，0，1，2，3，4
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2
–
x
–
6
14
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
例4
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
9+4a=0,
4a=-9,
方法点拨：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程会得到一个关于这个字母的一元一次方程，求解即可得到字母的值.
变式：已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根，求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得：
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，代入求值．
问题
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
新知三
建立一元二次方程模型
1.若设小路的宽是xm，则横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是
m2,两者重叠的面积是
m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
32
20
x
想一想：
还有其他的方法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
32
20
审
建立一元二次方程模型的一般步骤
设
找
列
审题，弄清已知量与未知量之间的关系
设未知数
找出等量关系
根据等量关系列方程
课堂练习
1.
下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
0
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
3.关于x的方程(k2－1)x2
＋
2(k－1)x＋2k＋
2＝0，
当k
　　　时，是一元二次方程．
当k
　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
4.（1）已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则m的值
为___________;
（2）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将x=0代入方程得m2-4=0，
解得m=±2.
∵
m+2
≠0，
∴
m
≠-2，
综上所述：m
=2.
5.(1)
如图，已知一矩形的长为200cm，宽为150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2
cm2.
整理，得
根据题意，得
200cm
150cm
(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x，
整理，得
根据题意，得
拓广探索
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根为1，
求a+b+c的值.
解：由题意得
思考：1.若
a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是x=1.
2.
若
a-b
+c=0，4a+2b
+c=0
，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根吗?
x=-1
x=2
归纳新知
一元二次方程
概念
是整式方程；
只含一个未知数；
未知数的最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0
(a
≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
建立一元二次方程模型
审→设→找→列