(共16张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第2课时
三角形的高
知识点导学
A．从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
B.锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点.
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点.
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
解：如答图11-2-1.
1.画出图1-11-2-1中每个三角形的所有高.
典型例题
C
知识点1：三角形的高
【例1】下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（
）
变式训练
1.
在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是(
)
C
典型例题
解：（1）
8×5÷2=40÷2=20.
（2）15×12÷2=180÷2=90.
知识点2：三角形的面积
【例2】如图1-11-2-2，求图中三角形的面积．
变式训练
解：（1）9×12÷2=108÷2=54.
（2）2.4×1.8÷2=4.32÷2=2.16.
2.
计算图1-11-2-3中三角形的面积．
典型例题
知识点3：等面积法的运用
【例3】
如图1-11-2-4，AD，BE分别是△ABC的高，AD=4，BC=6，AC=5，求BE的长.
解:∵AD,BE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=
BC·AD=
AC·BE.∴BC·AD=AC·BE.
∵AD=4，BC=6，AC=5，
∴BE=
变式训练
3.
如图1-11-2-5，在△ABC中，BC,AC边上的高分别是AD,BE．已知BC=5
cm，AD=6
cm，AC=7
cm，求BE的长度．
解:∵AD,BE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=
BC·AD=
AC·BE.
∴BC·AD=AC·BE.
∵BC=5
cm，AD=6
cm，AC=7
cm，
∴BE=
(cm)．
分层训练
C
A组
4.
在△ABC中，画出边AC上的高，下列画法正确的是（
）
5.
已知图1-11-2-6的△ABC，画出△ABC中AC边上的高.
解：如答图11-2-2，BD为AC边上的高.
B组
6.
三角形三条高的交点在（
）
A．三角形内部
B．三角形外部
C．三角形内部或外部
D．三角形内部、外部或顶点
D
7.
如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
C
C组
8.
如图1-11-2-7，若AB=CD=2
cm，AE=3
cm，求△AEC的面积及CE的长．
解：∵AE=3
cm，CD=2
cm，
∴S△AEC=
AE·CD=3
cm2.
∵S△AEC=
CE·AB=3
cm2，
∴CE=3
cm．
故S△AEC=3
cm2，CE=3
cm．
9.
如图1-11-2-8，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12
cm，AD=6
cm，BE=9
cm.
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长.
解：（1）∵AD⊥BC，
BC=12
cm，AD=6
cm，
∴S△ABC=
BC·AD=
×12×6=36（cm2）.
（2）∵BE⊥AC，
∴S△ABC=
AC·BE.
即36=
AC×9.
解得AC=8.
故AC的长是8
cm．(共7张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
九年级
●全一册●
配人教版
第二十一章
一元二次方程
第4课时解一元二次方程（3）——公式法
本章知识结构图
核
心
内
容
三角形的分类
按角分：三角形
按边分：
锐角三角形（三个内角均小于90°）
直角三角形（有一个内角等于90°）
钝角三角形（有一个内角大于90°）
三角形三边都不相等的三角形
等腰三角形（至少有两边相等的三角形）
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形与三角形有关
核
心
内
容
等边三角形与三角形有关
的线段
三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边.
三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点之间的线段叫做三角形的中线．
续表
核
心
内
容
等边三角形与三角形有关
的线段
三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形具有稳定性
三角形有三条中线，有三条高，有三条角平分线，它们都是线段．
续表
核
心
内
容
与三角形有关的角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
直角三角形的性质：(1)有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形；
(2)在直角三角形中，两个锐角互余．
三角形外角的性质：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
(2)三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角．
续表
核
心
内
容
多边形及其内角和多边形内角和
定理：n边形内角和等于（n-2）×180°（n≥3,且n为整数）.
多边形的外角和等于360°.
正n边形的每个外角的度数为
,每一个内角的度数是
或
.
续表(共25张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第4课时
三角形的内角和
知识点导学
A．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
1.
在△ABC中，∠A=20°，∠B=80°，则∠C的度数为__________.
80°
典型例题
知识点1：根据数量关系求内角的度数
【例1】
已知三角形三个内角的度数比是2∶3∶4，求这个三角形的三个内角度数.
解：设三角形三个内角的度数是2x，3x，4x，则2x+3x+4x=180°.
∴x=20°.
∴这个三角形的三个内角度数分别为40°，60°，80°.
变式训练
1.
在△ABC中，若∠A=
∠B=
∠C，求∠A,∠B,∠C的度数.
解：∵∠A=
∠B=
∠C，
∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴6x=180°.
∴x=30°.
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°.
典型例题
知识点2：
三角形内角和定理的简单运用
【例2】如图1-11-4-1，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=70°，
∴∠BAD=
∠BAC=
×70°=35°.
在△ABD中，∠B=60°，∠BAD=35°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-35°=85°．
变式训练
2.
如图1-11-4-2，AD是△ABC边BC上的高，∠1=∠2，∠C=65°．求∠BAC的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴∠DAC=180°-90°-65°=25°，
∠1=∠2=
=45°.
∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+25°=70°．
典型例题
知识点3：三角形内角和定理的综合运用
【例3】
如图1-11-4-3，在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．
解：∵AD是BC边上的高，∠C=60°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°.
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE=
∠BAC=
×80°=40°.
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°．
变式训练
3.
如图1-11-4-4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数.
解：∵AD是BC边上的高，
∠EAD=5°，
∴∠AED=180°-5°-90°=85°.
∴∠AEB=95°.
∵∠B=50°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=35°.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-70°=60°.
典型例题
知识点4：三角形内角和定理的实际应用
【例4】如图1-11-4-5，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数.
解：由题意，得∠EAB=45°，∠EAC=20°，则∠BAC=65°.
∵BD∥AE，
∴∠DBA=∠EAB=45°.
又∵∠DBC=80°，
∴∠ABC=35°.
∴∠ACB=180°-65°-35°=80°．
变式训练
4.
如图1-11-4-6，有一艘渔船上午九点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2
h到达B处，测得灯塔C在北偏东15°方向，求∠C的度数．
解：∵在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，
∴∠MAC=60°.
∴∠CAB=30°.
∵行驶2
h到达B处，测得灯塔C在北偏东15°方向，
∴∠NBC=15°.
∴∠ABC=90°+15°=105°.
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-105°=45°．
分层训练
钝角
A组
5.
如图1-11-4-7，△ABC被撕去了一角，经测量得∠A=66°，∠B=23°，则△ABC是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
A
6.
已知△ABC的两个内角∠A=30°，∠B=70°，则△ABC是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°．
B组
7.
如图1-11-4-8，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在AB和AC上，且DE∥BC．求∠ADE的度数.
解：在△ABC中，
∵∠A=60°，∠C=70°，
∴∠B=180°-60°-70°=50°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°．
8.
如图1-11-4-9，已知DF⊥AB于点F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB的度数．
9.
如图1-11-4-10，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如答图11-4-1，连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，
∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°.
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°．
10.如图1-11-4-11，在△ABC中，∠A=50°，∠1=30°，∠2=40°，求∠D的度数.
解：在△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-
∠1-∠2=130°-30°-40°=60°.
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-60°=120°.
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°.
∵∠DAC=26°，
∴∠C=90°-26°=64°.
∵BE平分∠ABC，∠CBE=22°,
∴∠ABC=2∠CBE=2×22°=44°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°．
C组
11.
如图1-11-4-12，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠DAC=26°，∠CBE=22°．求∠BAC的度数．
12.如图1-11-4-13，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为点F．若∠ABC=36°，∠C=44°，求∠EAC的度数.
解：∵∠ABC=36°，
∠C=44°，
∴∠BAC=180°-36°-44°=100°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=
∠ABC=18°.
∵AE⊥BD，
∴∠BFA=90°.
∴∠BAF=180°-90°-18°=72°.
∴∠EAC=∠BAC-∠BAF=100°-72°=28°.(共21张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第6课时
三角形的外角
知识点导学
A．三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
133°
1.
如图1-11-6-1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠A=68°，∠B=65°，则∠ACD=________.
典型例题
C
知识点1：三角形的外角
【例1】如图1-11-6-2，是三角形的外角的是(
)
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
变式训练
△AOB和△COD
1.
如图1-11-6-3，以∠AOD为外角的三角形有________________.
典型例题
A
知识点2：三角形外角性质与三角板问题
【例2】将一副三角板按图1-11-6-4中的方式叠放，则∠1的度数为(
)
A．105°
B．100°
C．95°
D．110°
变式训练
D
2.
将一副三角板按图1-11-6-5中的方式叠放，则∠α的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
典型例题
解：∵∠EAC=∠B+∠C，
∴∠EAC=130°.
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠CAD=12∠EAC=65°.
知识点3：三角形外角性质的简单计算
【例3】
如图1-11-6-6，AD平分∠EAC，∠B=70°，∠C=60°，求∠CAD的度数．
变式训练
解：∵∠B=25°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=55°.
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD=55°.
∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°．
3.
如图1-11-6-7，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，∠B=25°，∠E=30°，求∠BAC的度数．
典型例题
知识点4:三角形外角性质与方程思想
【例4】
如图1-11-6-8，在△ABC中，D是BC边上的一点,∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=69°，求∠DAC的度数．
典型例题
解：∵∠1=∠2，∠3=∠4，而∠3=∠1+∠2，∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠1.
在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4=180°，∴∠DAC+4∠1=180°.∵∠BAC=∠1+∠DAC=69°，∴∠1+180°-4∠1=69°，解得∠1=37°.∴∠DAC=69°-37°=32°．
变式训练
解：由三角形的外角性质,知∠ADC=∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1=∠B+40°①.
同理，得∠2=∠EDC+∠C.
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴∠1=∠EDC+∠B②.
②代入①,得2∠EDC+∠B=∠B+40°.
即∠EDC=20°．
4.
如图1-11-6-9,∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°，求∠EDC的度数．
分层训练
C
A组
5.
如图1-11-6-10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，点D是AB延长线上的一点,则∠CBD的度数是（
）
A．125°
B．135°
C．145°
D．155°
40°
6.
如图1-11-6-11，在△ABC中，∠B=60°，外角∠ACD=100°，则∠A=__________.
D
B组
7.
将一副直角三角板如图1-11-6-12放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(
)
A．75°
B．105°
C．135°
D．165°
解：∵∠A=27°，
∠C=38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°.
∵∠B=45°，
∴∠DFE=65°+45°=110°.
8.
如图1-11-6-13，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，求∠DFE的度数.
解：∵∠B=∠1，∠BAC=74°，
∴∠B+∠BAD=∠BAC=74°．
∵∠2是△ABD的外角，
∴∠2=∠B+∠BAD=74°．
9.如图1-11-6-14，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=74°，求∠2的度数.
解：在△ABC中，
∵∠A=56°，∠ACB=70°，
∴∠ABC=54°.
∵∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=24°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=
∠ACB=35°.
∴在△BCE中，∠DEC=∠CBD+∠BCE=59°．
10.如图1-11-6-15，在△ABC中，∠A=56°，∠ABD=30°，∠ACB=70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．
C组
11.
如图1-11-6-16，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC．求∠4的度数．
解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，
∴∠3=20°.
∵∠2=
∠3，
∴∠2=10°.
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-100°-10°=70°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=
∠ABC=35°.
∴∠4=∠2+∠ABE=10°+35°=45°.
12.
如图1-11-6-17，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点E．
（1）已知∠A=60°，求∠E的度数；
（2）写出∠A与∠E的数量关系：__________.
∠A=2∠E
解：（1）∵CE,BE分别平分∠ACD,∠ABC，
∴∠ECD=12∠ACD，
∠EBC=
∠ABC.
∴∠E=∠ECD-∠EBD=
（∠ACD-∠ABC）=
∠A=30°.(共21张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第3课时
三角形的中线、角平分线及稳定性
知识点导学
A．三角形一边的中点与此边所对顶点之间的线段叫做三角形的中线．
1.
画出图1-11-3-1中每个三角形的所有中线.
解：如答图11-3-1.
B．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点之间的线段叫做三角形的角平分线．
2.
画出图1-11-3-2中每个三角形的所有角平分线.
解：如答图11-3-2.
C．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
稳定性
3.
如图1-11-3-3，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的__________．
典型例题
5
知识点1：三角形的中线与面积
【例1】
如图1-11-3-4，在△ABC中，AD是BC边中线，若△ABC面积为10，则△ABD的面积为__________．
变式训练
4
1.
如图1-11-3-5，D是BC的中点，E是AC的中点，若S△ADE=1，则S△ABC=__________．
典型例题
2
知识点2：三角形的中线与周长
【例2】
如图1-11-3-6，BD是△ABC的边AC上的中线，AB=8，BC=6，则△ABD和△BCD的周长的差是_______．
变式训练
10
2.
如图1-11-3-7，AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8
cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2
cm，则AC=__________cm．
典型例题
知识点3：三角形的稳定性
【例3】下列图形具有稳定性的是（
）
A.
平行四边形
B.
等腰三角形
C.
长方形
D.
梯形
B
变式训练
3.
如图1-11-3-8，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是(
)
A．两点之间的所有连线中线
段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短
B
分层训练
B
A组
4.
如图1-11-3-9，AD是△ABC的角平分线，则下列结论正确的是(
)
A．AD⊥BC
B．∠BAD=∠CAD
C．AB=AC
D．BD=CD
8
5.
如图1-11-3-10，AE是△ABC的中线（点E在BC所在直线上），且BE=4
cm，那么BC=__________
cm．
A
6.
下列图形具有稳定性的是（
）
12
7.
如图1-11-3-11，AD是△ABC的边BC上的中线，AE是△ABD的边BD上的中线，若CE=9
cm，则BC=__________
cm．
B
B组
8.
下列图形中，具有稳定性的是(
)
1
9.
如图1-11-3-12，在△ABC中，AB=2
020，AC=2
019，AD为边BC上的中线，则△ABD和△ACD的周长的差为__________.
8
C组
10.
如图1-11-3-13，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=6
cm，S△ABD=12
cm2，则BC=__________cm．
4
11.
如图1-11-3-14，在△ABC中，点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为__________.(共19张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第7课时
多边形及其内角和
知识点导学
A．多边形内角和定理：n边形内角和等于（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）
1
440°
1.
正十边形的内角和为__________.
典型例题
D
知识点1：
多边形的相关概念
【例1】下列图形不是凸多边形的是（
）
变式训练
1.
下列图形是正多边形的是（
）
A.
等腰三角形
B.
长方形
C.
正方形
D.
五边都相等的五边形
C
典型例题
知识点2：多边形的内角和
【例2】填空：
（1）四边形的内角和为__________；
（2）五边形的内角和为__________；
（3）六边形的内角和为__________；
（4）七边形的内角和为__________.
360°
540°
720°
900°
变式训练
2.
填空：
（1）正八边形的内角和为__________；
（2）正九边形的内角和为__________；
（3）正十一边形的内角和为__________；
（4）正十二边形的内角和为__________.
1
080°
1
260°
1
620°
1
800°
典型例题
解：∵AB∥CD，∠C=60°，
∴∠B=180°-60°=120°.
∴（5-2）×180°=x+150°+125°+60°+120°.
解得x=85°.
知识点3：根据多边形内角和求某个角的度数
【例3】如图1-11-7-1，已知AB∥CD，求x的值.
变式训练
解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°,
∴x+x+x+30°+x-30°+60°=540°.
解得x=120°.
3.
如图1-11-7-2,根据数量关系求x的值.
分层训练
720
A组
4.在如图1-11-7-3所示的“北京2008年奥运会开幕小型张”中，邮票的形状是一个多边形．这个多边形的内角和等于______°．
40°
5.
如图1-11-7-4，在四边形ABCD中，∠A=50°，∠B=100°，∠C=70°，延长AD到点E，则∠CDE的度数是__________.
144°
6.
正十边形每个内角的度数为__________.
130°
7.
图1-11-7-5中x的值为__________.
60°-α
B组
8.
如图1-11-7-6，直线l1,l2分别经过正六边形ABCDEF的顶点A，B，且l1∥l2，若∠1=α，则∠2=__________.（用含α的代数式表示）
108°
9.
如图1-11-7-7所示是两个完全一样的正五边形，则∠α=__________.
30°
10.
如图1-11-7-8，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为__________.
11.
一个多边形的内角和为1
260°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n.
则（n-2）·180°=1
260°.
解得n=9．
故这个多边形的边数为9．
C组
12.
一个正多边形的各内角都等于120°，求它的边数.
解：设这个正多边形的边数为n.
∵一个正多边形的各内角都等于120°，
∴
=120°.
解得n=6.
故这个正多边形的边数为6.
13.
如图1-11-7-9，在六边形ABCDEF中，AB∥ED，AF∥CD，∠BAF=106°，求∠CDE的度数.
解：如答图11-7-1，连接AD.
∵AF∥CD，
∴∠FAD=∠ADC．
∵AB∥ED，
∴∠BAD=∠ADE.
∴∠ADC+∠ADE=∠FAD+∠BAD.
∴∠CDE=∠BAF=106°.(共20张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第5课时
直角三角形
知识点导学
A．有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．在直角三角形中，两个锐角互余．
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，则∠A=__________.
50°
典型例题
知识点1：求直角三角形中锐角的度数
【例1】若直角三角形两锐角之差为20°，求两个锐角的度数.
解：设其中较小的一个锐角的度数是x，则另一个锐角的度数是x+20°.
∵直角三角形的两个锐角互余，∴x+x+20°=90°.解得x=35°.
∴x+20°=55°.
∴两个锐角的度数分别为35°和55°.
变式训练
1.
如图1-11-5-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=3∠A，求∠B的度数．
解：∵∠B=3∠A，∴∠A=
∠B.
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.
∴
∠B+∠B=90°.
解得∠B=67.5°．
典型例题
知识点2：直角三角形的相关计算
【例2】如图1-11-5-2，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，且∠A=30°，∠B=40°．求∠BFD和∠AEF的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∴∠C=90°-∠A=90°-30°=60°，∠BFD=90°-∠B=50°.
在△BCE中，∠BEC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°.
∴∠AEF=180°-∠BEC=100°．故∠BFD=50°，∠AEF=100°.
变式训练
解：∵MN∥EF，
∴∠BCD=∠1=50°．
在△BCD中，∠BCD=50°，∠2=60°，
∴∠ABC=180°-∠BCD-∠2=70°．
在Rt△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠ABC=20°．
2.
如图1-11-5-3，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1=50°，∠2=60°，求∠A的度数．
典型例题
知识点3：直角三角形的相关证明
【例3】如图1-11-5-4，在△ABC中，AD⊥BC，∠1=∠B.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B=90°.
∵∠1=∠B,
∴∠1+∠BAD=∠BAC=90°.
∴△ABC是直角三角形.
变式训练
3.
如图1-11-5-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠ADC=90°.
∴CD⊥AB．
分层训练
C
A组
4.
在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（
）
A．
115°
B．
125°
C．
25°
D．
35°
A
6.
直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（
）
A．
22.5°
B．
45°
C．
67.5°
D．
135°
55°
7.
如图1-11-5-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为__________．
解：∵CD∥AB，∠D=29°，
∴∠ABD=∠D=29°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=58°.
∴∠1=90°-∠ABC=32°.
B组
8.
如图1-11-5-8，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠D=29°，求∠1的度数．
解:依题意可知，∠ACB+∠EBC=
90°，∠ABC+∠FCB=90°.
∵∠ABC=48°,∠ACB=76°,
∴∠FCB=42°，∠EBC=14°.
∵∠BDC=180°-∠CBE-
∠FCB=124°，
∴∠FDE=∠BDC=124°.
9.
如图1-11-5-9，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC=48°，∠ACB=76°，求∠FDE的度数.
证明：∵CD⊥AB，
∴在△ADF中，∠DAF=90°-
∠AFD=90°-∠CFE．
∵∠ACE=90°，
∴在△AEC中，∠CAE=90°-∠CEF．
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠DAF=∠CAE，即AE平分∠CAB．
C组
10.
如图1-11-5-10，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE=∠CEF．求证：AE平分∠CAB．
11.
如图1-11-5-11，在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．
解：∵∠A=40°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-40°-70°=70°．
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE=
∠ACB=
×70°=35°．
∵CD⊥AB，即∠CDB=90°,
∴∠BCD=90°-70°=20°.
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=35°-20°=15°．
∵DF⊥CE，即∠DFC=90°,
∴∠CDF=180°-90°-15°=75°.
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°.
∵∠DAC=26°，
∴∠C=90°-26°=64°.
∵BE平分∠ABC，∠CBE=22°,
∴∠ABC=2∠CBE=2×22°=44°.
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°．
C组
11.
如图1-11-4-12，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠DAC=26°，∠CBE=22°．求∠BAC的度数．
12.如图1-11-4-13，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为点F．若∠ABC=36°，∠C=44°，求∠EAC的度数.
解：∵∠ABC=36°，
∠C=44°，
∴∠BAC=180°-36°-44°=100°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=
∠ABC=18°.
∵AE⊥BD，
∴∠BFA=90°.
∴∠BAF=180°-90°-18°=72°.
∴∠EAC=∠BAC-∠BAF=100°-72°=28°.(共23张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第9课时
三角形单元复习课
知识点导学
A．三角形的三边关系.
B.三角形的高、中线、角平分线.
C.三角形的稳定性.
D.三角形的内角和定理与外角的性质.
E．多边形的内角和与外角和.
75
1.
如图1-11-9-1，在△ABC中，高AD，BE交于点O．若∠C=75°，则∠AOE=__________°．
知识点1：三角形的三边关系
【例1】下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位：cm），用它们能摆出三角形的是（
）
A.
1，2，1
B.
1，2，2
C.
2，2，5
D.
2，3，5
典型例题
B
变式训练
1.
已知三角形三边长为2，3，x，则x的取值范围是（
）
A．x＞1
B．x＜5
C．1＜x＜5
D．-1＜x＜5
C
典型例题
A
知识点2：三角形的高、中线和角平分线
【例2】
如图1-11-9-2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC的斜边AB上的高为（
）
A．CD
B．AC
C．BC
D．BD
变式训练
D
2.
如图1-11-9-3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5
cm，AC=3
cm，则△ABD的周长比△ACD的周长多（
）
A．5
cm
B．3
cm
C．8
cm
D．2
cm
典型例题
A
知识点3：三角形的稳定性
【例3】
下列图形中具有稳定性的是（
）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
变式训练
三角形具有稳定性
3.
如图1-11-9-4，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是______________________.
典型例题
知识点4：三角形的内角和定理与外角的性质
【例4】如图1-11-9-5，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．求∠EDA的度数．
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-50°-70°=60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=
∠BAC=30°.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.
∴∠EDA=180°-∠AED-∠EAD=180°-90°-30°=60°.
变式训练
4.
如图1-11-9-6,在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠EAD的度数．
解：在△ABC中，
∵∠B=20°，∠ACB=110°，
∴∠BAC=180°-20°-110°=50°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=
∠BAC=25°.
∴∠AEC=∠B+∠BAE=20°+25°=45°．
∵AD⊥BC，∴∠D=90°.
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°．
典型例题
知识点5：多边形的内角和与外角和
【例5】
填空：（1）若一个多边形的内角和是
1
080°，则此多边形的边数为__________;
（2）五边形的外角和为__________.
8
360°
变式训练
5.填空：
（1）若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是__________；
（2）若一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是__________.
18
6
分层训练
A组
6.
一个三角形的两边长分别为3
cm和8
cm，则此三角形第三边的长可能是（
）
A.
3
cm
B.
5
cm
C.
7
cm
D.
11
cm
C
B
7.
如图1-11-9-7，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°，则外角∠BCD的度数是（
）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
C
8.
若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
BC
9.
如图1-11-9-8，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则AC边上的高是__________，CD是_____边上的高．
AB
解：∵AD平分∠CAB，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°.
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-40°=50°.
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.
∴∠EDB=90°-50°=40°.
B组
10.
如图1-11-9-9，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E．若∠CAD=20°，求∠EDB的度数.
解：∵EF∥BC，
∴∠ECD=∠CEF=50°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ECD=100°.
∴∠ACB=180°-∠ACD=
80°.
∴∠B=180°-(∠A+∠ACB)=180°-(60°+80°)=40°.
11.
如图1-11-9-10,CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠CEF=50°，求∠B的度数．
65°
C组
12.如图1-11-9-11，△ABC的外角∠EBC,∠FCB的平分线OB,OC相交于点O.
（1）若∠A=50°，则∠BOC=__________；
（2）此时∠A与∠BOC有怎样的关系，请说明理由.
解：∠BOC=90°-
∠A．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∴∠EBC+∠FCB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A.
∵OB平分∠EBC，OC平分∠FCB,
∴∠OBC+∠OCB=
(∠EBC+∠FCB)=
(180°+
∠A)=90°+
∠A.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°+
∠A)=90°-
∠A.(共17张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第8课时
多边形的外角和
知识点导学
A．多边形的外角和等于360°.
360°
1.
正十边形的外角和为__________.
知识点1：多边形的内角和与外角和的相关计算
【例1】填空：
（1）七边形的内角和等于__________，外角和是__________；
（2）十二边形的内角和等于__________，外角和是__________；
（3）正五边形的每个内角等于__________，每个外角等于__________；
（4）正八边形的每个内角等于__________，每个外角等于__________.
典型例题
900°
360°
1
800°
360°
108°
72°
135°
45°
变式训练
1.
填空：
（1）一个多边形的每个内角都为144°，则它的边数是__________；
（2）一个多边形的每个内角都等于150°，则它的边数是__________；
（3）一个多边形的每个外角都等于45°，则它的边数是__________;
(4)一个多边形的每个外角都等于36°,则它的边数是__________.
10
12
8
10
典型例题
知识点2：多边形内角和与外角和的综合运用
【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和.
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得（n-2）×180=3×360-180.
解得n=7.
∴这个多边形的内角和为（7-2）×180°=900°.
答：这个多边形的边数是7，内角和是900°.
变式训练
2.
某多边形内角和与外角和共1
080°，求这个多边形的边数.
解：∵多边形内角和与外角和共1
080°，
∴这个多边形内角和=1
080°-360°=720°.
设这个多边形的边数是n，
∴（n-2）×180°=720°，解得n=6．
答：这个多边形的边数是6.
典型例题
120
知识点3:多边形外角和的实际应用
【例3】
如图1-11-8-1，小亮从A点出发，沿直线前进10
m后向左转30°，再沿直线前进10
m，又向左转30°，…,照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了__________m．
变式训练
40°
3.
如图1-11-8-2，李明从A点出发沿直线前进5
m到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5
m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45
m，则每次旋转的角度α为__________.
分层训练
A组
4.
填空：
（1）三角形的外角和是__________；
（2）2
020边形的外角和为__________°．
360°
360
5.
填空：
(1)
一个n边形的每一个内角都等于108°，那么n=__________.
(2)
一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__________.
5
720°
180
B组
6.
如图1-11-8-3，小华从A点出发，沿直线前进12
m后向左转24°，再沿直线前进12
m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是__________m．
220°
7.
如图1-11-8-4，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B=220°，则∠1+∠2+∠3=
_________.
8.
若某多边形的内角和比外角和大900°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n.
则（n-2）×180°-360°=900°.
解得n=9．
答:这个多边形的边数是9.
9.
一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大60°，求这个多边形每个内角的度数及边数.
解：设每个内角是x°，每个外角是y°.
依题意，得
解得
而任何多边形的外角和是360°，则多边形的边数是360÷120=3.
答：这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是3.
D
C组
10.
如图1-11-8-5，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，如果∠1=40°，∠2=30°，那么∠A=(
)
A．40°
B．30°
C．70°
D．35°
11.
若正n边形的内角和与其中一个外角的和为1
125°，求n的值.
解：设这个外角的度数为x.
根据题意，得（n-2）×180°+x=1
125°.
解得x=1
125°-180°n+360°=1
485°-180°n.
由于0＜x＜180°，即0＜1
485°-180°n＜180°.
解得7
＜n＜8
.
∵n为正整数，∴n=8．(共24张PPT)
第一部分
新
课
内
容
数学●
八年级
●全一册●
配人教版
第十一章
三
角
形
第1课时
三角形的边
知识点导学
A．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
B．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
△ABC
三角形ABC
线段AB,BC,CA
点A，B，C
∠A,∠B,∠C
BC
AC
AB
1.如图1-11-1-1所示的三角形可以记作__________，读作__________.
（1）三角形的三条边是______________;
（2）三个顶点是__________;
（3）三个内角是_____________;
（4）顶点A所对的边为__________，顶点B所对的边为__________，顶点C所对的边为__________.
C．三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
2.
长度为2,3,5的三条线段，能否组成三角形？
__________（填“能”或“不能”）
不能
典型例题
知识点1：三角形的三边关系——求第三边的取值范围
【例1】一个三角形的两边分别为4
cm和8
cm，则第三边长x的取值范围是_______________.
4
cm＜x＜12
cm
变式训练
1.
设三角形三边之长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为__________.
2＜a＜6
典型例题
知识点2：三角形的三边关系——判断能否构成三角形
【例2】以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是(
)
A．1
cm，1
cm，2
cm
B．3
cm，4
cm，5
cm
C．1
cm，4
cm，6
cm
D．2
cm，3
cm，7
cm
B
变式训练
2.
下列长度（单位：cm）的三条线段，不能围成三角形的是(
)
A．3，8，4
B．9，15，8
C．15，20，8
D．6，4，9
A
典型例题
知识点3：三角形的三边关系——求满足条件的边长
【例3】已知三角形的三边长分别为1，x，5，且x为整数，则x=__________.
5
变式训练
3.
△ABC的两边长分别是2和5，且第三边长为奇数，则第三边长为__________.
5
典型例题
知识点4：等腰三角形周长和腰长的计算
【例4】一个等腰三角形的两边长分别为3
cm和6
cm，求这个等腰三角形的周长．
解：①当腰长为3
cm,底边为6
cm时,
∵3+3=6，构成不了三角形，故舍去；
②当腰长为6
cm时，则三角形的三边长分别是
6
cm，6
cm，3
cm，
∵3+6＞6，可构成三角形，
∴三角形的周长为6+6+3=15（cm）.
答：这个等腰三角形的周长是15
cm．
变式训练
4.
等腰三角形的一边长为2，周长为5，求它的腰长.
解：若等腰三角形的腰长为2，
则底边长为5-2-2=1，
∵2+1＞2，能组成三角形，
∴它的腰长可以为2；
若等腰三角形的底边长为2，
则腰长为
=1.5，
∵1.5+1.5＞2，能组成三角形，
∴它的腰长可以为1.5．
答：这个等腰三角形的腰长为1.5或2．
分层训练
A组
5.
下列各组数可作为一个三角形三边长的是（
）
A．4，6，8
B．4，5，9
C．1，2，4
D．5，5，11
A
6.
如果线段a，b，c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（
）
A．1∶2∶4
B．2∶3∶4
C．3∶4∶7
D．1∶3∶4
B
7.
在△ABC中，AB=4，BC=10，则第三边AC的长可能是（
）
A．5
B．7
C．14
D．16
B
8.
已知线段a=5，b=3，线段c与a，b构成三角形，则线段c的长度的取值范围是(
)
A．c＞2
B．c＜8
C．2＜c＜8
D．无法确定
C
B组
9.
已知三角形的三边长分别为2,x,10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
C
10.
等腰三角形的两边长是5
cm和3
cm，那么它的周长是（
）
A．11
cm或13
cm
B．11
cm
C．8
cm
D．13
cm
A
11.
已知等腰三角形的一边长为4
cm，周长为
20
cm，求其他两边的长.
解：∵等腰三角形的周长为20
cm，三角形的一边长为4
cm，分以下两种情况.
①若4
cm是底边长，则腰长为（20-4）÷2=
8（cm）.
∵4
cm，8
cm，8
cm能组成三角形，
∴此时其他两边长分别为8
cm，8
cm.
②若4
cm为腰长，则底边长为20-4×2=12（cm）.
∵4+4＜12，∴不能组成三角形，故舍去.
∴其他两边的长分别为8
cm，8
cm.
12.
有一条长为21
cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？
（2）能围成一边长为5
cm的等腰三角形吗？请说明理由．
解：（1）设底边长为x
cm，则腰长为3x
cm.
根据题意,得x+3x+3x=21.
解得x=3.∴底边长为3
cm．
（2）①若底边长为5
cm时，则腰长为
×（21-5）=8(cm)，
三角形的三边长分别为5
cm,8
cm,8
cm，能围成三角形；
②若腰长为5
cm时，则底边长为
21-5×2=11(cm)，
三角形的三边长分别为5
cm,5
cm,11
cm，
∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形.
综上所述，能围成一个底边长是5
cm，腰长是
8
cm的等腰三角形．
13.已知a,b,c是三角形三边长，试化简：
|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|．
解：∵a,b,c是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0.
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b．
证明：在△ABP中，
PA+PB＞AB.
同理，得
PB+PC＞BC，PA+PC＞AC.
以上三式相加，得到
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC＞
（AB+BC+AC）.
14.
如图1-11-1-2，已知点P是△ABC内一点，试证明PA+PB+PC＞
（AB+BC+AC）.
