23.4三角的中位线-华东师大版九年级数学上册课件（16张PPT）

(共16张PPT)
§23.4三角形的中位线
知识回顾
1.如图，在?ABC中，DE∥BC，由预备定理可得_____________.
D
A
B
C
E
?ADE∽?ABC
AE
2.在上题中，如果D为AB的中点，则
即AE=____AC
E也为AC的中点
E
A
B
C
D
过三角形一边中点作另一边的平行线一定平分第三边
知识探索
猜想
E
A
B
C
D
如图，在?ABC中，如果D、E分别是AB与AC的中点，是否有：
①DE∥BC,②
【证明】
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
又∵∠A=
∠A
∴?ADE∽?ABC
∴∠ADE=
∠ABC,
∴DE∥BC,
知识概括
知识点1
三角形中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
E
A
B
C
D
三角形的中位线和中线有何不同？
如图，如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE叫做?ABC的中位线.
动动脑
一个三角形有多少条中位线？
F
知识点2
三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
E
A
B
C
D
如图，D、E分别为AB、AC的中点（中位线）
①DE∥BC
表明
位置关系
表明
数量关系
三条中位线分原三角形为四个全等三角形，且都与原三角形相似，周长为原三角形的一半，面积为原三角形的四分之一
F
例题解析
例1
求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
F
A
B
C
D
E
已知：如图，在?ABC中，AD=BD，
BE=CE，AF=CF.
求证：AE、DF互相平分.
∵AD=BD，BE=CE
∴DE∥AC(
)
三角形中位线平行于第三边
同理可得EF∥AB
∴ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分.
思考：还有方法证明ADEF是平行四边形没有？
连结DE、EF.
【证明】
对应练习
1.在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=_________.
E
A
B
C
D
O
5
2.
□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则?DOE的周长为_________.
E
A
B
C
D
O
15
3.如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的一个动点，点Q是边BC上的一个定点，连接PA和PQ，点E和F分别是PA和PQ的中点，则随着点P的运动，线段EF的长（　　）
A．逐渐变大
B．逐渐变小
C．先变小再变大
D．始终不变
D
4.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是______.
20°
5.求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
H
E
F
G
已知：在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、AD的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【证明】
连结AC
∵E、F是AB、BC的中点，
∴四边形EFGH是平行四边形
判断下列图形四边中点围成的是什么图形？
平行四边形
平行四边形
矩
形
菱
形
菱
形
矩
形
正方形
正方形
拓
展
E
A
B
C
D
G
例2
如图，在?ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，
【证明】
连结DE.
∵D、E分别是边BC、AB的中点
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
拓
展
实际上，AD、CE
是?ABC的中线，如果再作一条中线BF，同样有：
F
知识概括
知识点3
三角形重心的定义及性质
重心定义：
三角形三边中线的交点
叫做三角形的重心
重心性质：
三角形的重心到一边中点的
距离等于对应中线长的三分之一
E
A
B
C
D
G
F
如图，G为?ABC的重心，则
AG=2GD，BG=2GF
,
CG=2GE
或
AD=3GD，BF=3GF，CE=3GE
对应练习
1.已知如图，AD、BE是?ABC的中线，且AD与BE相交于点P，若AD=6，则AP=_________.
P
A
B
C
D
E
4
2.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG＝6，GC＝8，则△ABC的面积为　
　．
72
3.如图，在?ABC中，D、E、F分别为边BC、AC、AB的中点，AD、BE、
CF相交于点O，AB=6，BC=10，AC=8.
试求出线段DE、OA、OF的长及∠EDF的大小.（结果保留根号）
O
A
B
C
D
E
F
课堂小结
三角形中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形重心
三角形三边中线的交点叫做三角形的重心
三角形中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
三角形重心
三角形的重心到一边的中点的距离等于对应中线长的三分之一