2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学第3章 3.1勾股定理 巧用勾股定理列方程求边长 专题培优训练卷（word版含答案）

2020-2021学年苏科版八年级上学期数学第3章巧用勾股定理列方程求边长
专题培优训练卷
一、选择题
1、如图，纸片的两直角边长分别为6和8，，折叠，使、两点重合，折痕为，连接，则的长为　　
A．
B．
C．
D．
2、如图，在中，，BC=13，AD、CE分别是的高线与中线，点是线段CE的中点，连接．若，则（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
二、填空题
3、已知，，，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，
则的长为　　．
4、如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，的长=__________
5、如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，为折痕．已知，，则的长为　
　．
三、解答题
6、如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，
求的长．
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8,AB=4,求DE的长.
8、如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．
9、矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，求的长．
10、如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点
在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．
②求AF的长．
11、已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．
（1）求的度数；（2）若,，求的长．
12、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'
处，点A的对应点为A'，且B'
C＝3，求AM、NC的长．
13、某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？
14、如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的周长，
15、如图，（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间的关系________．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请判断∠AEB的度数，并说明理由；
②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．
2020-2021学年苏科版八年级上学期数学第3章巧用勾股定理列方程求边长专题培优训练卷
（答案）
一、选择题
1、如图，纸片的两直角边长分别为6和8，，折叠，使、两点重合，折痕为，连接，则的长为　D　
A．
B．
C．
D．
2、如图，在中，，BC=13，AD、CE分别是的高线与中线，点是线段CE的中点，连接．若，则（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
【解析】解：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB的中点，
∴AB=2DE，
∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点，∴DE=DC，
∴AB=2CD，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，∴，
即，解得，CD=5，
∴AB=2CD=10，故选：A．
二、填空题
3、已知，，，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，
则的长为　　．
答案：3
4、如图，把长为的纸条沿，同时折叠，、两点恰好落在边的点处，且，，的长=__________
【答案】解：由翻折不变性可知：，，
设，则，
在中，，
，，，的长是．
5、如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，为折痕．已知，，则的长为　
　．
答案：3
三、解答题
6、如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，
求的长．
答案：4
7、如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8,AB=4,求DE的长.
答案：5
8、如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高．
答案：8
9、矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，求的长．
答案：6
10、如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点
在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．
②求AF的长．
（1）∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF=EF，∵AB=8，∴EF=8-AF，
①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF=∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF=∠EFG，∴∠EGF=∠EFG，∴EF=EG；
②∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，∴AF=FH=6；
11、已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．
（1）求的度数；（2）若,，求的长．
【答案】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．
∵BE2?AE2＝AC2，∴AE2＋AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE＝＝5．所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2?AE2，所以AC2＝25?x2．
∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2，
即64＝（5＋x）2＋25?x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．
12、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'
处，点A的对应点为A'，且B'
C＝3，求AM、NC的长．
答案：AM=2,
NC=4
13、某地区为了开发农业，决定在公路上相距的、两站之间点修建一个土特产加工基地，使点到、两村的距离相等，如图，于点，于点，，，求土特产加工基地应建在距离站多少的地方？
【答案】解：设千米，则千米，
在中，，
在中，，
，，，解得，千米．
答：基地应建在离站10千米的地方．
14、如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求的周长，
【解答】（1）证明：在中，，，．
，，是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，即，
，的周长是．
15、如图，（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD、BE之间的关系________．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①请判断∠AEB的度数，并说明理由；
②当CM=5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．
【答案】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°，
故答案为：60°；相等；
（2）解：①∠AEB=90°，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
②∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME=5．
在Rt△ACM中，AM2+CM2=AC2
，
设：BE=AD=x，则AC=（6+x），
（x+5）2+52=（x+6）2
，
解得：x=7．
所以可得：AE=AD+DM+ME=17