【2012优化方案 精品课件】苏教版 数学 必修5：第一章1.1第一课时

(共25张PPT)
1．1　正弦定理

第一课时
课标要求：1.通过对三角形中边角关系的探索，掌握正弦定理的推导过程．
2．理解正弦定理及适用范围，会用正弦定理及其变式解决一些简单的解三角形问题．
重点难点：本节重点：对正弦定理的推理的理解及正弦定理的掌握．
本节难点：正弦定理的推理．
课标定位
基础知识梳理
1．正弦定理
在一个三角形中，各_____和它所对角的_____的_____相等，即__________________.
说明：(1)各边和它所对角的正弦之比为一个定值，这个定值为该三角形的外接圆直径；
(2)定理的变式(R为△ABC外接圆的半径)：
边
正弦
比
2．解斜三角形
解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求出其余三个未知元素的过程．
3．正弦定理在解三角形中的作用
(1)如果已知三角形的任意两个____与一____，由三角形________________，可以计算出三角形的另一____，并由正弦定理计算出三角形的另两____．
(2)如果已知三角形的任意_______与其中一边的_____，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角，进而确定这个三角形其他的__________．
角
边
内角和为180°
角
边
两边
对角
边和角
课堂互动讲练
题型一
已知两角及一边解三角形
如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．
已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.
【分析】　已知两角及一边，先利用内角和为180°，求出B，再利用正弦定理求解．
例1
【点评】　在运算过程中，要用到三角函数中的公式，此题中对75°角作了“拆角”变换．
1．在△ABC中， a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.
变式训练
已知三角形中两边和其中一边的对角解三角形问题，首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦值求角时，需对角的情况讨论是否有解，如果有解，是一解还是两解．
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
例2
【分析】　△ABC中已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求出另一边对角的正弦值，然后再求解其他边角．
【点评】　在△ABC中，已知两边a、b和边b的对角B，解三角形时可先用正弦定理求出角A的正弦值，确定角A时解不确定，应注意讨论，往往利用已知边a、b的大小关系，得到角A与B的大小关系，从而确定角A的解的个数．
互动探究
判断三角形的形状主要有两条途径：①化边为角；②化角为边．
题型三
利用正弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，若acosA＝bcosB，求证：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【分析】　观察已知条件，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解．
【证明】　由正弦定理的变式得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∵acosA＝bcosB，
∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
例3
【点评】　利用正弦定理判断三角形的形状，关键是将已知条件中的边角关系转化为角或边的关系．本题应利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边角统一后，再利用两角和与差的正弦公式进行化简、判断，但由sin2A＝sin2B，得角A和B的关系时容易漏掉2A＝π－2B.
3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
变式训练
规律方法总结
常用的公式、结论
△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c.
(1)A＋B＋C＝180°；
(2)a＜b A＜B 2RsinA＜2RsinB sinA＜sinB；
(3)若角A为最小角，则0°＜A＜60°；若角A为最大角，则A＞60°；
(4)勾股定理：
△ABC是以角C为直角的直角三角形 a2＋b2＝c2 sin2A＋sin2B＝sin2C C＝90°.
△ABC是以角A为直角的直角三角形 b2＋c2＝a2 sin2B＋sin2C＝sin2A A＝90°.
△ABC是以角B为直角的直角三角形 a2＋c2＝b2 sin2A＋sin2C＝sin2B B＝90°.
随堂即时巩固
课时活页训练